福建省泉州市鲤城区北大培文学校2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷（含解析）

福建省泉州市鲤城区北大培文学校2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共40分）

1. 计算的结果是

A.  B.  C.  D.

2. 下列几何体中，其主视图、左视图、俯视图完全相同的是

A.  B.  C.  D.

3. 被誉为“新世界七大奇迹”之首的北京大兴国际机场建筑面积约为平方米，则数据用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

4. 下列计算正确的是

A.  B.  C.  D.

5. 下列事件中是不可能事件的是

A. 抛掷一枚硬币次，出现正面的次数为次
B. 从一个装有只黑球的不透明袋子中摸出一个球为黑球
C. 抛掷两枚质地均匀的普通正方体骰子，出现点数之和等于
D. 从一副没有大小王的扑克牌中任意抽出一张牌恰为黑桃

6. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由元降为元，求平均每次降价的百分率设平均每次降价的百分率为，可列方程得

A.  B.
C.  D.

7. 若一个多边形的内角和与外角和总共是，则此多边形是

A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形

8. 反比例函数图象的分支分别位于第二、四象限，则一次函数的图象大致是

A.  B.
C.  D.

9. 如图，在中，，平分交于，交延长线于点，若，则的度数为

A.  B.  C.  D.

10. 抛物线，点，，，则、、的大小关系是

1.  B.  C.  D. 无法比较大小

二．填空题（本题共6小题，共24分）

11. 因式分解： ______ ．
12. 名同学分钟踢毽子比赛，成绩如下单位：个，，，，，，，，这组数的中位数是______．
13. 在中，，的垂直平分线分别交，于点，，若，则______
14. 正比例函数和反比例函数交于、两点．若点的坐标为，则点的坐标为______ ．
15. 如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”若，，则正方形的面积为______ ．
     

16. 如图，四边形是正方形，点，分别在边，上，且，，交于点，的中点为点，连接，现有以下结论：
    ；
    ∽；
    ；
    ∽．
    其中正确的结论有______填写所有正确结论的序号

三．计算题（本题共2小题，共16分）

17. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
18. 解不等式组：．
    
    
    
    
    
    
     

四．解答题（本题共7小题，共70分）

19. 如图，在▱中，，分别是，边上的点，且，直线分别与，的延长线交于点，求证：．
    
     

20. 为了防控新冠病毒肺炎，某校积极进行校园环境消毒，第一次购买甲、乙两种消毒液分别用了元和元，每瓶乙种消毒液的价格是每瓶甲种消毒液价格的倍，购买的乙种消毒液比甲种消毒液多瓶．
    求甲、乙两种消毒液每瓶多少元？
    该校准备再次购买这两种消毒液，使再次购买的乙种消毒液瓶数是甲种消毒液瓶数的一半，且再次购买的费用不多于元，求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，是的角平分线，过点作交于点，交于点．
    求证：四边形为菱形；
    如果，，，求菱形的面积．

22. 如图，在中，点，分别在边，上，且，点与点关于直线成轴对称．
    求作点；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
    连接，若，判断点是否在直线上，并说明理由．
    
    
     

23. 某印刷厂每五年需淘汰一批旧打印机并购买同款的新机．购买新机时，若同时配买墨盒，每盒元，且最多可配买盒；若非同时配买墨盒，则每盒需元．根据该厂以往的记录，台同款打印机正常工作五年消耗的墨盒数量如表：

以这台打印机五年消耗的墨盒数量为样本，估计“一台该款打印机正常工作五年消耗的墨盒数量不大于”的概率；
如果每台打印机购买新机时配买的墨盒只能供本机使用，试以这台打印机消耗墨盒所需费用的平均数作为决策依据，说明购买台该款打印机时，应同时配买盒还是盒墨盒．






 

24. 如图，等边三角形中，为边上一点点不与点，重合，连接，将平移到其中点和对应，连接将绕着点逆时针旋转至，延长交于点．
    连接，求证：是等边三角形；
    求证：，，三点共线；
    当时，求的值．

25. 已知抛物线的图象过点．
    当，时，求抛物线的顶点坐标；
    若为该抛物线上一点，且，求的取值范围；
    如图，直线：交抛物线于，两点，点是抛物线上点，之间的一个动点，作轴交直线 于点，作轴于点，连接设，当时， 恰好满足，求的值．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：，
故选：．
根据绝对值的性质判断即可得解．
此题考查了绝对值，熟记绝对值的性质是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】

解：圆柱的主视图和左视图都是矩形，但俯视图是一个圆形，不符合题意；
B.圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆带圆心，不符合题意；
C.三棱柱的主视图和左视图都是矩形，但俯视图是一个三角形，不符合题意；
D.球的三视图都是大小相同的圆，符合题意．
故选：．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
 

3.【答案】

【解析】

解：将用科学记数法表示为：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】

【解析】

解：，故本选项不合题意；
B.，故本选项符合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意．
故选：．
分别根据同底数幂的除法法则，幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则以及合并同类项法则逐一判断即可．
本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
 

5.【答案】

【解析】

解：“抛掷一枚硬币次，出现正面的次数为次为”随机事件；
“从一个装有只黑球的不透明袋子中摸出一个球为黑球”为必然事件；
“抛掷两枚质地均匀的普通正方体骰子，出现点数之和等于”为不可能事件；
“从一副没有大小王的扑克牌中任意抽出一张牌恰为黑桃“为随机事件．
故选：．
利用随机事件、必然事件和不可能事件的定义对各选项进行判断．
本题考查了随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．也考查了必然事件和不可能事件．
 

6.【答案】

【解析】

解：根据题意得：，
故选：．
设该药品平均每次降价的百分率为，根据降价后的价格降价前的价格降价的百分率，则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，据此即可列方程求解．
此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．
 

7.【答案】

【解析】

解：多边形的内角和与外角和的总和为，
多边形的外角和是，
多边形的内角和是，
多边形的边数是：


．
故选：．
本题需先根据已知条件，再根据多边形的外角和是，解出内角和的度数，再根据内角和度数的计算公式即可求出边数．
本题主要考查了多边形内角与外角，在解题时要根据外角和的度数以及内角和度数的计算公式解出本题即可．
 

8.【答案】

【解析】

解：反比例函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，
，
，
一次函数的图象图象经过第一、二、四象限，
故选：．
根据反比例函数的性质可得，从而可判断出，然后再判断一次函数的图象所经过象限即可．
此题主要考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，关键是掌握反比例函数，当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限．
 

9.【答案】

【解析】

解：，
，
，
，
平分，
，
，
，
故选：．
由平行线的性质和角平分线的性质可得，由等腰三角形的性质可得，即可求解．
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，求出的度数是本题关键．
 

10.【答案】

【解析】

解：二次函数的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
、，，
点离直线最远，离直线最近，
而抛物线开口向上，
；
故选：．
先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，然后比较三个点都直线的远近得到、、的大小关系．
此题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
 

11.【答案】

【解析】

解：原式．
故答案为：．
直接提取公因式，进而分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
 

12.【答案】

【解析】

解：个数据按从小到大排列：
、、、、、、、、、，


．
所以这组数的中位数是．
故答案为：．
先把这组数据从小到大的顺序排列起来，在这组数据中最居中的那个数就是中位数或最中间两个数据的平均数，解答即可．
本题考查了学生对中位数的意义的掌握与理解，考查了学生分析观察解决问题的能力．
 

13.【答案】

【解析】

解：如图，连接，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
如图，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，求得，由三角形外角的性质得到，根据三角形的内角和定理即可得到答案．
本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】

解：正比例函数和反比例函数交于、两点，
、两点关于原点对称，
又点的坐标为，
点的坐标为．
故答案为：．
由反比例函数图象的对称性可知、两点关于原点对称，再由点的坐标结合关于原点对称的点的坐标的特征即可得出结论．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据反比例函数的对称性得出点的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数的对称性即可得出结论．
 

15.【答案】

【解析】

解：直角三角形直角边的较短边为，
正方形的面积．
故答案为：．
利用勾股定理求得直角边的较短边，进一步根据正方形的面积大正方形面积个直角三角形面积即可求得正方形的面积．
此题考查勾股定理的证明，掌握勾股定理的推导过程是解决问题的关键．
 

16.【答案】

【解析】

解：四边形是正方形，
，，
又，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，故正确；
，，
∽，故正确；
如图，连接，

，
点，点，点，点四点共圆，
，
点是的中点，
，
，
，
当时，则，
，
，
又点是上任意一点，
不一定等于，
与不一定平行，故错误；
，
是等腰三角形，
点，点，点，点四点共圆，
点是动点，
不一定是等腰三角形，
不一定与相似，故错误；
故答案为．
由“”可证≌，可得，，由余角的性质可得，故正确；由，，可证∽，故正确；当时，可证，而不一定等于，则与不一定平行，故错误；由是等腰三角形，不一定是等腰三角形，可得不一定与相似，故错误，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定等知识，证明三角形相似是解题的关键．
 

17.【答案】

解：原式

．
 

【解析】

此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
首先利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质和零指数幂等知识分别化简各数，即可得出答案．
 

18.【答案】

解：，
解不等式，得．
解不等式，得．
故不等式组的解集是．
 

【解析】

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】

证明：四边形为平行四边形，
，
，
又，
，
在和中，
，
≌，
，
，
即．
 

【解析】

由平行四边形的性质可得，由，则有，再利用“”证明≌，从而，所以，即．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，证明≌是解题的关键．
 

20.【答案】

解：设甲种消毒液每瓶元，乙种消毒液每瓶元，
根据题意得，，
解得：，
经检验：是原方程的解，
，
答：甲种消毒液每瓶元，乙种消毒液每瓶元；
设甲种消毒液再购买瓶，
根据题意得，，
解答：，
答：甲种消毒液最多能再购买瓶．
 

【解析】

根据题意，可以列出相应的分式方程，从而得到结论；
根据题意列出不等式，解答即可得到结论．
本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．
 

21.【答案】

解：，
四边形是平行四边形


平分


且四边形为平行四边形
四边形为菱形；
如图：过点作于点

，，



，


，
，且，


四边形为菱形


 

【解析】

由题意可证，四边形是平行四边形，即可证四边形为菱形；
过点作于点，由题意可得，根据度所对的直角边等于斜边的一半，可求，即可求的长，即可得菱形的面积．
本题考查了菱形的性质与判定，度所对的直角边等于斜边的一半，熟练运用菱形的性质与判定是本题的关键．
 

22.【答案】

解：如图，

点即为所求．
点在直线上，理由如下：
如图，连接，设线段与交于点，

点与点关于直线成轴对称，
垂直平分．
，．
，
．
四边形是菱形．
．
，．
∽．
．
，
设，则．
，．
．
．
，
．
．
．
又点在上，
点与点重合．
点在直线上．
 

【解析】

根据尺规作图可得点的位置；
连接，根据轴对称可得，再利用三角形相似可得结论．
本题考查基本的尺规作图，根据轴对称的性质得到四边形是菱形是解题关键．
 

23.【答案】

解：因为台“打印机正常工作五年消耗的墨盒数不大”的台数为，
所以台“打印机正常工作五年消耗的墨盒数不大”的频率为，
故可估计“一台打印机正常工作五年消耗的墨盒数不大”的概率为；
每台应统一配盒墨更合算，理由如下：
台打印机五年消耗的墨盒数的平均数为：盒，
若每台统一配买盒墨，则这台打印机所需费用为：元；
若每台统一配买盒墨，则这台打印机所需费用为：元．
因，
所以每台应统一配盒墨更合算．
 

【解析】

直接利用概率公式求解即可；
分别求出购买盒墨，盒墨的费用即可判断．
本题考查利用频率估计概率，加权平均数，列表法等知识，解题的关键是理解题意，熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

24.【答案】

证明：连接，如图，

是等边三角形，
，，
绕点逆时针旋转至，
，，
是等边三角形，
连接，如图，

是等边三角形，
，
平移得到，其中点和对应，
，，
，
，
点在上，
即，，三点共线，
解：延长，交于点，如图，

，
，，
∽，
．
，
，
，，
，
设，，
，
．
，
∽，
，
即，
解得，舍去，
，即为中点，
，
，
，
，
，
，
在中，．
 

【解析】

利用平移旋转的性质及等边三角形的性质即可得到；
利用平移旋转的性质及等边三角形的性质即可得到；
由平移的性质可得，得到∽，再利用边之间的关系得到∽，利用相似三角形的性质得到与的长度，进而解答．
本题考查了平移旋转的性质及等边三角形的性质，根据平移旋转的性质找到不变的量是关键．
 

25.【答案】

解：当，时，，点的坐标为，
．
解得 ．
抛物线的表达式为．
即．
抛物线的顶点坐标为．

的对称轴为直线，
点关于对称轴的对称点为．
，
当，随的增大而增大； 当，随的增大而减小．
又，
当点在对称轴左边时，；
当点在对称轴右边时，．
综上所述：的取值范围为或．

点在抛物线上，
．
又轴交直线 ：于点，
点的坐标为．
又点是抛物线上点，之间的一个动点，
．
，
在中，．
是关于的一次函数，
，
随着的增大而减小．
又当时，恰好满足，且随着的增大而增大，
当时，；当时，．

解得 
．
 

【解析】

利用待定系数法求得抛物线解析式，然后利用配方法将抛物线解析式转化为顶点式，可以直接得到答案；
利用抛物线的增减性和对称性解答；
将点代入抛物线解析式得到：结合一次函数解析式推知：则由两点间的距离公式知在中，由锐角三角函数的定义推知所以随着的增大而减小．结合已知条件列出方程组，解该方程组即可求得的值．
考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，二次函数解析式的三种性质，一次函数的性质，锐角三角函数的定义等知识点，综合性较强，难度较大．