初中数学浙教版九年级下册第二章 直线与圆的位置关系综合与测试单元测试随堂练习题

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第2章质量评估试
[时间：90分钟　分值：120分]
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列命题：①圆的切线垂直于经过切点的半径；②经过同一直径两端的两条切线平行；③经过半径外端点的直线是圆的切线；④经过切点且垂直于切线的线段是半径，其中正确的有(　A　)
A．①②　 　B．③④　 　C．①③　 　D．②④
2．如图1，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连结BC.若∠C＝25°，则∠A＝(　A　)
A．40° B．25° C．50° D．80°

图1 　　图2
3．如图2，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝90°，AO的延长线交BC于点D，AC＝4，CD＝1，则⊙O的半径等于(　A　)
A. B. C. D．1

　第3题答图
【解析】 设⊙O与AC的切点为M，圆的半径为r，如答图，过点O作OF⊥BC于点F，连结OM，
∴∠OMA＝∠OFC＝90°，
∵∠C＝90°，OM＝OF，
∴四边形OMCF是正方形，
∴CM＝r，
∵△AOM∽△ADC，
∴OM∶DC＝AM∶AC，
即r∶1＝(4－r)∶4，
解得r＝.故选A.
4．如图3，AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点，过点C作⊙O的切线，切点为B，连结AC交⊙O于点D，∠C＝38°.点E在AB右侧的半圆周上运动(不与点A，B重合)，则∠AED的大小是(　B　)
A．19° B．38° C．52° D．76°
　　
图3　　　　　　　　　图4
5．[2015·厦门]如图4，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，一个圆过点A，交边AB于点E，且与边BC相切于点D，则该圆的圆心是(　C　)
A．线段AE的中垂线与线段AC的中垂线的交点
B．线段AB的中垂线与线段AC的中垂线的交点
C．线段AE的中垂线与线段BC的中垂线的交点
D．线段AB的中垂线与线段BC的中垂线的交点
6．等边三角形的内切圆半径、外接圆半径、高线长之比为(　D　)
A．1∶∶ B．1∶2∶
C．1∶∶2 D．1∶2∶3
【解析】 如答图，设OD＝1，等边三角形ABC的内切圆半径为r，外接圆半径为R，高线长为h.

　第6题答图
在Rt△OBD中，∠OBD＝30°，
∴OB＝2，
∴OA＝2，AD＝3，
∴r＝1，R＝2，h＝3，
∴r∶R∶h＝1∶2∶3.故选D.
7．如图5，AB切⊙O于点B，OA＝2，∠OAB＝30°，弦BC∥OA，劣弧的弧长为(结果保留π)(　A　)
A. B. C. D.
　
图5　　　　　　　　　　图6　　
8．[2016·潍坊]如图6，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A(8，0)，与y轴分别交于点B(0，4)与点C(0，16)，则圆心M到坐标原点O的距离是(　D　)
A．10 B．8 C．4 D．2

　第8题答图
【解析】 如答图，过点M作MD⊥y轴于点D，连结MA，MB，MO.
∵⊙M与x轴相切于点A(8，0)，
∴MA⊥OA，OA＝8，∴∠OAM＝∠AOD＝∠ODM＝90°，
∴四边形OAMD是矩形，
∵点B，C的坐标是B(0，4)，C(0，16)，
∴BD＝CD＝6，∴OD＝10，
在Rt△OMA中，OM＝＝2.故选D.
9．如图7，P为⊙O的直径BA延长线上一点，PC与⊙O相切，切点为C，D是⊙O上一点，连结PD.已知PC＝PD＝BC.下列结论：①PD与⊙O相切；②四边形PCBD是菱形；③PO＝AB；④∠PDB＝120°.其中正确的个数为(　A　)

图7
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．如图8，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，连结AD，下列结论：①CD＝BD；②DE为⊙O的切线；③△ADE∽△ACD；④AD2＝AE·AC，其中正确结论的个数为(　D　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

图8 　　　　第10题答图
【解析】 ∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，∴AD⊥BC，
又∵AB＝AC，
∴BD＝CD，选项①正确；
如答图，连结OD，∵D为BC中点，O为AC中点，
∴DO为△ABC的中位线，∴OD∥AB，
又∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴DE为⊙O的切线，选项②正确；
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD.∵∠DEA＝∠CDA＝90°，
∴△ADE∽△ACD，选项③正确；
∴＝，即AD2＝AE·AC，选项④正确．
综上所述，正确结论的个数为4个．故选D.
二、填空题(每题4分，共24 分)
11．如图9，C为⊙O外一点，CA与⊙O相切，切点为A，AB为⊙O的直径，连结CB.若⊙O的半径为2，∠ABC＝60°，则BC＝__8__．

图9 　图10
12．[2016·洪泽一模]如图10，⊙O的半径为1，点O到直线l的距离为3，P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为__2__．
【解析】 ∵PQ切⊙O于点Q，
∴∠OQP＝90°，∴PQ2＝OP2－OQ2，
∵OQ＝1，
∴PQ2＝OP2－1，即PQ＝，
当OP最小时，PQ最小，
∵点O到直线l的距离为3，
∴OP的最小值为3，
∴PQ的最小值为＝2.
13．如图11，⊙O为Rt△ABC的内切圆，D，E，F为切点，若AD＝6，BD＝4，则△ABC的面积为__24__．

图11
14．[2016·攀枝花]如图12，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB，BC均相切，则⊙O的半径为 ．

图12 　　第14题答图
【解析】 如答图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，连结OB.
∵AB，BC是⊙O的切线，∴E，F是切点，
∴OE，OF是⊙O的半径，∴OE＝OF.
在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，
由勾股定理，得BC＝4.
又∵D是BC边的中点，∴S△ABD＝S△ACD，
又∵S△ABD＝S△ABO＋S△BOD，
∴BD·AC＝AB·OE＋BD·OF，
即5OE＋2OE＝2×3，
解得OE＝，
∴⊙O的半径为.
15．如图13，PA，PB，DE分别切⊙O于点A，B，C，DE交PA，PB于点D，E，已知PA长8 cm.则△PDE的周长为__16__cm__；若∠P＝40°，则∠DOE＝__70°__．
　　
图13　　　　　　　　　第15题答图
【解析】 ∵PA，PB，DE是⊙O的切线，
∴DA＝DC，EC＝EB，PA＝PB，
∴△PDE的周长为PD＋DC＋EC＋PE＝PA＋PB＝2PA＝16 (cm)．
如答图，连结OA，OB，OD，OE，OC，
则∠AOB＝180°－∠P＝140°，
∴∠DOE＝∠COD＋∠COE＝(∠AOC＋∠BOC)＝×140°＝70°.
16．如图14，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，切点为C.连结AC，BC，作∠APC的平分线交AC于点D.下列结论正确的是__②③④__(写出所有正确结论的序号)．

　　　图14
①△CPD∽△DPA；
②若∠A＝30°，则PC＝BC；
③若∠CPA ＝30°，则PB＝OB；
④无论点P在AB延长线上的位置如何变化，∠CDP为定值．
三、解答题(共66分)
17．(6分)如图15，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠A.

图15
(1)求∠D的度数；
(2)若CD＝2，求BD的长．
解：(1)∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA.
∴∠COD＝∠A＋∠OCA＝2∠A.
又∵∠D＝2∠A，∴∠COD＝∠D.
∵PD与⊙O相切于点C，
∴OC⊥PD，即∠OCD＝90°，∴∠D＝45°；
(2)由(1)可知△OCD是等腰直角三角形，
∴OC＝CD＝2.
由勾股定理，得OD＝＝2.
∴BD＝OD－OB＝2－2.
18．(6分)[2015·临沂模拟]如图16，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5.⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点E，F，G.
(1)求证：内切圆的半径r＝1；
(2)求tan∠OAG的值．

图16 　　　　第18题答图
解：(1)证明：如答图，连结OE，OF，OG.
∵⊙O是△ABC的内切圆，∠C＝90°，
∴四边形CEOF是正方形，
∴CE＝CF＝r.
又∵AG＝AE＝3－r，BG＝BF＝4－r，AG＋BG＝5，
∴(3－r)＋(4－r)＝5.
解得r＝1；
(2)如答图，连结OA，在Rt△AOG中，
∵r＝1，AG＝3－r＝2，∴tan∠OAG＝＝.
19．(8分)[2016·黄石]如图17，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于点A，B)，AD⊥CD.

图17
(1)若BC＝3，AB＝5，求AC的值；
(2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．
解：(1)∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∴∠ACB＝90°.
又∵BC＝3，AB＝5，∴AC＝4；
(2)证明：∵AC是∠DAB的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，
又∵AD⊥DC，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB，∴∠DCA＝∠CBA，
又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠OAC＋∠OBC＝90°，
∴∠OCA＋∠ACD＝∠OCD＝90°，
∴直线CD是⊙O的切线．
20．(8分)[2016·北京]如图18，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连结OF并延长交于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E.

图18
(1)求证：AC∥DE；
(2)连结CD，若OA＝AE＝a，写出求四边形ACDE面积的思路．
解：(1)证明：∵DE与⊙O相切于点D，∴OD⊥DE，
∵F为弦AC的中点，∴OD⊥AC，∴AC∥DE；
(2)①四边形DFAE为直角梯形，上底为AF，下底为DE，高为DF，可以在Rt△DOE中计算出DE长为a，DF＝，AF＝a，所以可以求出四边形DFAE的面积为a2；
②在△CDF中，DF⊥FC，且DF＝，FC＝AF＝a，进而可以求出△CDF的面积为a2；
③四边形ACDE就是由四边形DFAE和△CDF组成的，进而可以得到四边形ACDE的面积就等于他们的面积和，为a2.
(本题也可以通过证明四边形ACDE为平行四边形，进而通过平行四边形面积公式求解，主要思路合理即可)．
21．(8分)[2016·应城二模]如图19，在△ABC中，∠C＝90°，点O在CB上，⊙O经过点C，且与AB相切于点D，与CB的另一个交点为E.
(1)求证：DE∥OA；
(2)若AB＝10，tan∠DEO＝2，求⊙O的半径．

图19　　　第21题答图
解：(1)证明：如答图，连结OD，CD.
∵∠ACB＝90°，CO是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线，
又∵AB与⊙O相切，
∴OC＝OD，且AO为∠CAB的平分线，
∴AO⊥CD，
又∵CE是⊙O的直径，且C是⊙O上一点，
∴DE⊥CD，∴DE∥OA；
(2)∵DE∥OA，∴∠AOC＝∠DEO，
∵tan∠DEO＝2，∴tan∠AOC＝2，∴AC＝2OC，
设⊙O的半径为r，
∴OD＝OC＝r，AC＝AD＝2r，BD＝10－2r，
∵∠ACB＝∠BDO＝90°，∠B＝∠B，
∴△BDO∽△BCA，∴＝＝＝2，
∴BC＝2BD＝20－4r，
∵AC2＋BC2＝AB2，∴(2r)2＋(20－4r)2＝102，
解得r1＝3，r2＝5(不合题意，舍去)．
∴⊙O的半径为3.
22．(8分)如图20，射线PO与⊙O交于A，B两点，PC，PD分别切⊙O于点C，D.
(1)请写出两个不同类型的正确结论；
(2)若CD＝12，tan∠CPO＝，求PO的长．

图20 　　　　第22题答图
解：(1)不同类型的正确结论有：
①PC＝PD，②∠CPO＝∠DPO，③CD⊥BA，④PC2＝PA·PB；
(2)如答图，连结OC，
∵PC，PD分别切⊙O于点C，D，
∴PC＝PD，∠CPO＝∠DPA，
∴CD⊥AB.∵CD＝12，∴DE＝CE＝CD＝6.
∵tan∠CPO＝，∴在Rt△EPC中，PE＝12，
∴由勾股定理，得CP＝6，
∵PC切⊙O于点C，∴∠OCP＝90°.
∵在Rt△OPC中，tan∠CPO＝，
∴＝，∴OC＝3，∴PO＝＝15.
23．(10分)[2016·宜昌]如图21，CD是⊙O的弦，AB是直径，且CD∥AB，连结AC，AD，OD，其中AC＝CD，过点B的切线交CD的延长线于点E.
(1)求证：DA平分∠CDO；
(2)若AB＝12，求图中阴影部分的周长之和(参考数据：π≈3.1，≈1.4，≈1.7)．

图21 　　　第23题答图
解：(1)证明：∵CD∥AB，∴∠CDA＝∠BAD，
又∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠BAD，
∴∠ADO＝∠CDA，∴DA平分∠CDO；
(2)如答图，连结BD，
∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，
∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠CDA，
又∵CD∥AB，∴∠CDA＝∠BAD，
∴∠CDA＝∠BAD＝∠CAD，
∴＝＝，
又∵∠AOB＝180°，∴∠DOB＝60°，
∵OD＝OB，∴△DOB是等边三角形，
∴BD＝OB＝AB＝6，
∵＝，∴AC＝BD＝6，
∵BE切⊙O于点B，
∴BE⊥AB，
∴∠DBE＝∠ABE－∠ABD＝30°，
∵CD∥AB，
∴BE⊥CE，
∴DE＝BD＝3，BE＝BD·cos∠DBE＝6×＝3，
∴的长＝＝2π，
∴图中阴影部分周长之和为2π＋6＋2π＋3＋3＝4π＋9＋3＝26.5.
24．(12分)如图22，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF＝ED.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若OF∶OB＝1∶3，⊙O的半径R＝3，求的值．

图22 　　第24题答图
解：(1)证明：如答图，连结OD，
∵EF＝ED，∴∠EFD＝∠EDF.
∵∠EFD＝∠CFO，∠CFO＋∠FCO＝90°，
∴∠EDF＋∠FCO＝90°.
∵OC＝OD，∴∠FCO＝∠CDO，
∴∠EDF＋∠CDO＝90°，即OD⊥DE.
∴DE是⊙O的切线；
(2)∵∠BDE ＋∠ODB＝90°，∠ADO＋∠ODB＝90°，
∴∠BDE＝∠ADO.
∵OA＝OD，
∴∠EAD＝∠ADO.
∴∠BDE＝∠EAD，
又∵∠E＝∠E，∴△DBE∽△ADE.
∴＝，即DE2＝AE·BE，
∵OF∶OB＝1∶3，OB＝3，
∴OF＝1，BF＝2.
设BE＝x，则DE＝EF＝x＋2，
∴(x＋2)2＝x(x＋6)，解得x＝2，
∴BE＝2，DE＝4，∴＝＝.