中考专题11以四边形为载体的几何综合问题（原卷版）

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 专题11以四边形为载体的几何综合问题

【考点1】特殊四边形的判定条件
【例1】（2020•聊城）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．

【变式1-1】（2019•威海）如图，E是▱ABCD边AD延长线上一点，连接BE、CE、BD，BE交CD于点F．添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是（　　）

A．∠ABD＝∠DCE B．DF＝CF C．∠AEB＝∠BCD D．∠AEC＝∠CBD
【变式1-2】（2019•临沂）如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（　　）

A．OM=12AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND
【考点2】四边形的线段计算问题
【例2】（2019•德州一模）如图，四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为（　　）

A．3 B．2 C．4 D．8
【变式2-1】（2019•曲阜市一模）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为12cm，点B，D之间的距离为16cm，则线段AB的长为（　　）

A．9.6cm B．10cm C．20cm D．12cm
【变式2-2】（2019•泰安）如图，矩形ABCD中，AB＝36，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是　 　．

【变式2-3】（2020•高青县一模）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，AO＝CO．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC⊥BD，AB＝10，求BC的长．

【考点3】四边形与点的坐标问题
【例3】（2019•滕州市模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，∠AOC＝60°，若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到四边形OA'B'C'，则点B的对应点B'的坐标为（　　）

A．（6，−6） B．（2，﹣2） C．（3，−3） D．（4，﹣4）
【变式3-1】（2019•微山县一模）如图，已知菱形OBAC的顶点O（0，0），A（﹣2，﹣2），若菱形绕点O顺时针旋转，每秒旋转45°，则旋转30秒时，菱形的对角线交点D的坐标为（　　）

A．（1，﹣1） B．（﹣1，1） C．（1，0） D．（0，−2）
【变式3-2】（2019•阳谷县一模）如图，将边长为3的正方形绕点B逆时针旋转30°，那么图中点M的坐标为（　　）

A．（3，1） B．（1，3） C．（3，32） D．（32，3）
【变式3-3】（2019•东营）如图，在平面直角坐标系中，△ACE是以菱形ABCD的对角线AC为边的等边三角形，AC＝2，点C与点E关于x轴对称，则点D的坐标是　 　．

【考点4】四边形与三角形函数问题
【例4】（2020•商河县一模）在矩形ABCD中，E是BC边的中点，AE⊥BD，垂足为点F，则tan∠AED的值是（　　）

A．63 B．263 C．23 D．22
【变式4-1】（2019•烟台）如图，面积为24的▱ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E，DE＝6，则sin∠DCE的值为（　　）

A．2425 B．45 C．34 D．1225
【变式4-2】（2019•汶上县二模）已知菱形ABCD的对角线相交于点O，G是OB上的一点，过点D作DF⊥GC于点F，DF，AC的延长线相交于点E，sin∠CDO=55，OG=65，那么OE的长为（　　）

A．635 B．53 C．15 D．125
【变式4-3】（2019•槐荫区一模）如图，矩形ABCD长与宽的比为3：2，点E，F分别在边AB、BC上，tan∠1=12，tan∠2=13，则cos（∠1+∠2）＝（　　）

A．32 B．22 C．23 D．1
【变式4-4】（2019•历城区一模）如图，BD是菱形ABCD的对角线，CE⊥AB交于点E，交BD于点F，且点E是AB中点，则cos∠BFE的值是（　　）

A．3 B．32 C．33 D．12
【考点5】四边形综合判断型问题
【例5】（2019•德州）如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且AF：FB＝1：2，CE⊥DF，垂足为M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BG=12BC，连接GM．有如下结论：①DE＝AF；②AN=24AB；③∠ADF＝∠GMF；④S△ANF：S四边形CNFB＝1：8．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）

A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④
【变式5-1】（2019•莱芜区）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于M、N，连按EN、EF、有以下结论：
①AN＝EN
②当AE＝AF时，BEEC=2−2
③BE+DF＝EF
④存在点E、F，使得NF＞DF
其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【变式5-2】（2019•兰陵县一模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②四边形BEFG是平行四边形；③△EFG≌△GBE；④EG＝EF，其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【变式5-3】（2020•滨州模拟）如图，四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE＝BF，则下列结论：①CF＝AE；②OE＝OF；③图中共有四对全等三角形；④四边形ABCD是平行四边形；其中正确的结论是　 　．

【变式5-4】（2020•嘉祥县一模）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝6，CD＝8，E，F分别是边AB、CD的中点，DH⊥BC于H，现有下列结论；
①∠CDH＝30°；
②EF＝4；
③四边形EFCH是菱形；
④S△EFC＝3S△BEH．
你认为结论正确的有　 　．（填写正确的序号）

【考点6】关于四边形证明与计算的解答题
【例6】（2020•滨州）如图，过▱ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC、CD、DA于点P、M、Q、N．
（1）求证：△PBE≌△QDE；
（2）顺次连接点P、M、Q、N，求证：四边形PMQN是菱形．

【变式6-1】（2020•黄岛区二模）已知：如图，在四边形ABCD中，AB⊥AC，DC⊥AC，∠B＝∠D，点E，F分别是BC，AD的中点．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形AECF是正方形？请证明．

【变式6-2】（2020•滨州模拟）如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积．

【变式6-3】（2019•莱芜区）如图，已知等边△ABC，CD⊥AB于D，AF⊥AC，E为线段CD上一点，且CE＝AF，连接BE，BF，EG⊥BF于G，连接DG．
（1）求证：BE＝BF；
（2）试说明DG与AF的位置关系和数量关系．

【变式6-4】（2019•青岛）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．

【考点7】关于四边形翻折与旋转的解答题
【例7】（2019•滨州）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．
（1）求证：四边形CEFG是菱形；
（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．

【变式7-1】（2020•市中区二模）如图1，有一张矩形纸片ABCD，已知AB＝10，AD＝12，现将纸片进行如下操作：现将纸片沿折痕BF进行折叠，使点A落在BC边上的点E处，点F在AD上（如图2）；然后将纸片沿折痕DH进行第二次折叠，使点C落在第一次的折痕BF上的点G处，点H在BC上（如图3），给出四个结论：
①AF的长为10；②△BGH的周长为18；③BGGF=23；④GH的长为5，
其中正确的结论有　 　．（写出所有正确结论的序号）

【变式7-2】（2020•德州）如图，在矩形ABCD中，AB=3+2，AD=3．把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处，再将△AED′绕点E顺时针旋转α，得到△A'ED″，使得EA′恰好经过BD′的中点F．A′D″交AB于点G，连接AA′．有如下结论：①A′F的长度是6−2；②弧D'D″的长度是5312π；③△A′AF≌△A′EG；④△AA′F∽△EGF．上述结论中，所有正确的序号是　 　．

【变式7-3】（2020•岱岳区二模）已知矩形ABCD和矩形CEFG中，AB＝6，BC＝8，CE＝4，EF＝3．
（1）当点E在CD上时，如图1，求AFBE的值；
（2）当矩形CEFG绕点C旋转至图2时，求AFBE的值；
（3）当矩形CEFG绕点C旋转至A，E，F三点共线时，直接写出BE的长．

【考点8】关于四边形动点综合问题的解答题
【例8】1．（2020•青岛）已知：如图，在四边形ABCD和Rt△EBF中，AB∥CD，CD＞AB，点C在EB上，∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，延长DC交EF于点M．点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点M出发，沿MF方向匀速运动，速度为1cm/s．过点P作GH⊥AB于点H，交CD于点G．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．
解答下列问题：
（1）当t为何值时，点M在线段CQ的垂直平分线上？
（2）连接PQ，作QN⊥AF于点N，当四边形PQNH为矩形时，求t的值；
（3）连接QC，QH，设四边形QCGH的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（4）点P在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P在∠AFE的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【变式8-1】（2019•威海）如图，在正方形ABCD中，AB＝10cm，E为对角线BD上一动点，连接AE，CE，过E点作EF⊥AE，交直线BC于点F．E点从B点出发，沿着BD方向以每秒2cm的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止．设△BEF的面积为ycm2，E点的运动时间为x秒．

（1）求证：CE＝EF；
（2）求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）求△BEF面积的最大值．
【变式8-2】（2020•莒县模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝6，∠ABD＝60°，点E从点A出发，以每秒2单位长度速度沿边AB运动，到点B停止运动．过点E作EF∥BD交AD于点F，将△AEF绕点E顺时针旋转得到△GEH，且点G落在线段EF上，设点E的运动时间为t（秒）（0＜t＜3）．
（1）若t＝1，求△GEH的面积；
（2）若点G在∠ABD的平分线上，求BE的长；
（3）设△GEH与△ABD重叠部分的面积为T，用含t的式子表示T，并直接写出当0＜t＜3时t的取值范围．

【变式8-3】（2019•青岛）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分A C．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：
（1）当t为何值时，点E在∠BAC的平分线上？
（2）设四边形PEGO的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【考点9】关于四边形类比探究问题的解答题
【例9】（2020•天桥区模拟）[问题引入]（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD两边上的点，且AE⊥BF，垂足为点P．求证：AE＝BF；
[类比探究]（2）如图2，把（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，且AD＝2AB，其余条件不变，请你推断AE、BF满足怎样的数量关系，并说明你的理由；
[实践应用]（3）如图3，Rt△ABC中，∠BAC＝30°，把△ABC沿斜边AC对折得到Rt△ADC，E、F分别为CD、AD边上的点，连接AE、BF，恰好使得AE⊥BF，垂足为点P．请求出AEBF的值．

【变式9-1】（2020•长清区一模）探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°．
（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系　 　；
②如图2，若∠B、∠D都不是直角，但满足∠B+∠D＝180°，线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝22．点D、E均在边BC边上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的长．

【变式9-2】（2019•德州）（1）如图1，菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD＝60°，请直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）
（2）将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2，求HD：GC：EB；
（3）把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且AD：AB＝AH：AE＝1：2，此时HD：GC：EB的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）；若无变化，请说明理由．


一．选择题（共7小题）
1．（2020•威海）如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线l3，l4，l2，l1上．若直线l1∥l2∥l3∥l4且间距相等，AB＝4，BC＝3，则tanα的值为（　　）

A．38 B．34 C．52 D．1515
2．（2020•临沂）如图，P是面积为S的▱ABCD内任意一点，△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，则（　　）

A．S1+S2＞S2
B．S1+S2＜S2
C．S1+S2=S2
D．S1+S2的大小与P点位置有关
3．（2020•泰安）如图，四边形ABCD是一张平行四边形纸片，其高AG＝2cm，底边BC＝6cm，∠B＝45°，沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，若∠BEF＝30°，则AF的长为（　　）

A．1cm B．63cm C．（23−3）cm D．（2−3）cm
4．（2020•泰安）如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：
①DN＝BM；
②EM∥FN；
③AE＝FC；
④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．
其中，正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2020•邹城市四模）矩形ABCD的边BC上有一动点E，连接AE、DE，以AE、DE为边作▱AEDF．在点E从点B移动到点C的过程中，▱AEDF的面积（　　）

A．先变大后变小 B．先变小后变大
C．一直变大 D．保持不变
6．（2020•滕州市一模）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为（　　）

A．25 B．42 C．342 D．853
7．（2020•济阳区模拟）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC＝60°，AB=12BC＝1，则下列结论：①∠CAD＝30°；②BD=7；③S平行四边形ABCD＝AB•AC；④OE=14AD；⑤S△APO=310中，正确的个数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题（共6小题）
8．（2020•菏泽）如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，点P在对角线BD上，且BP＝BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为　 　．

9．（2020•青岛）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在CD的延长线上，连接AE，点F是AE的中点，连接OF交AD于点G．若DE＝2，OF＝3，则点A到DF的距离为　 ．

10．（2020•曹县二模）如图，矩形ABCD中，AD＝6，对角线AC，BD相交于O，AE⊥BD于E，且AE平分∠BAC，则AB的长为　 　 ．

11．（2020•历下区三模）如图，以正五边形ABCDE的边CD为边作等边△CDF，使点F在其内部，连结FE，则∠DFE＝　 　°．

12．（2020•寿光市二模）一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…，则正方形A2020B2020C2020D2020的边长为　 　．

13．（2020•槐荫区模拟）在△ABC中，BC＝a．作BC边的三等分点C1，使得CC1：BC1＝1：2，过点C1作AC的平行线交AB于点A1，过点A1作BC的平行线交AC于点D1，作BC1边的三等分点C2，使得C1C2：BC2＝1：2，过点C2作AC的平行线交AB于点A2，过点A2作BC的平行线交A1C1于点D2；如此进行下去，则线段AnDn的长度为　 　．

三．解答题（共6小题）
14．（2020•济南）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．求证：AE＝CF．

15．（2020•临沂）如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°，点E是边AB上任意一点（端点除外），线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，G，AE，EF的中点分别为M，N．
（1）求证：AF＝EF；
（2）求MN+NG的最小值；
（3）当点E在AB上运动时，∠CEF的大小是否变化？为什么？

16．（2020•青岛）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）连接AF，CE．当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．

17．（2020•济宁）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC，点E，F，G分别在边BC，CD上，BE＝CG，AF平分∠EAG，点H是线段AF上一动点（与点A不重合）．
（1）求证：△AEH≌△AGH；
（2）当AB＝12，BE＝4时．
①求△DGH周长的最小值；
②若点O是AC的中点，是否存在直线OH将△ACE分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1：3．若存在，请求出AHAF的值；若不存在，请说明理由．

18．（2020•德州）问题探究：
小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：（1）小红证明△BED≌△CAD的判定定理是：　 　；
（2）AD的取值范围是　 　；
方法运用：
（3）如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连结BF并延长交AC于点E，使AE＝EF，求证：BF＝AC．
（4）如图3，在矩形ABCD中，ABBC=12，在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且EFBE=12，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG＝CG．

19．（2020•泰安一模）已知：如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，

（1）如图1，若CE＝CF；求证：AE＝AF；
（2）如图2，若∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，求∠CEF的度数．