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中考专练12（几何压轴大题）（30题）-2022中考数学考点必杀500题（山东专用）（原卷版）
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这是一份中考专练12（几何压轴大题）（30题）-2022中考数学考点必杀500题（山东专用）（原卷版），共22页。试卷主要包含了已知，阅读下面材料等内容，欢迎下载使用。
2022中考考点必杀500题
专练12（几何压轴大题）（30道）
1．（2021·青岛市崂山区第三中学九年级其他模拟）在四边形中，是边上一点，点从出发以秒的速度沿线段运动，同时点从出发，沿线段、射线运动，当运动到，两点都停止运动．设运动时间为（秒）：
（1）当与的速度相同，且时，求证：
（2）当与的速度不同，且分别在上运动时（如图1），若与全等，求此时的速度和值；
（3）当运动到上，运动到射线上（如图2），若的速度为秒，是否存在恰当的边的长，使在运动过程中某一时刻刚好与全等，若存在，请求出此时的值和边的长；若不存在，请说明理由．
2．（2021·山东省青岛第二十六中学九年级其他模拟）如图1所示，在正方形ABCD中，，是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧，点E是边AD上的任意一点，点E与点A、D不重合，过E作AC所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点．
（1）当时，求证：点G为线段EF的中点；
（2）设，，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）图2所示，将沿直线EF翻折后得，当时，讨论与是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由．
3．（2021·山东淄博市·九年级一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B是轴正半轴上一点，连接，过点A作，交轴于点C，点D是点C关于点A的对称点，连接，以为直径作交于点E，连接AE并延长交轴于点F，连接DF．
（1）求线段AE的长；
（2）若，求的值；
（3）若与相似，求的值．
4．（2021·东营市胜利第三十九中学九年级其他模拟）如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）证明：四边形CEGF是正方形；
（2）探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展与运用：
正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图3所示，当B，E，F三点在一条直线上时，延长CG交AD于点H，若AG＝6，GH＝2，求BC的长．
5．（2021·山东临沂市·九年级一模）已知：如图1所示将一块等腰三角板BMN放置与正方形ABCD的重合，连接AN、CM，E是AN的中点，连接BE．
（观察猜想）
（1）CM与BE的数量关系是________；CM与BE的位置关系是________；
（探究证明）
（2）如图2所示，把三角板BMN绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段CM与BE的关系是否仍然成立，并说明理由；
（拓展延伸）
（3） 若旋转角，且，求的值．
6．（2021·山东泰安市·）已知在△ABC中，AB＝AC，过点B引一条射线BM，D是BM上一点．
（1）如图1，∠ABC＝60，射线BM在∠ABC内，∠ADB＝60，求证：∠BDC＝60．
请根据以下思维框图，写出证明过程．
（2）如图2，已知∠ABC＝∠ADB＝30．
①当射线BM在∠ABC内，求∠BDC的度数．
②当射线BM在BC下方，请问∠BDC的度数会变吗？若不变，请说明理由；若改变，请直接写出∠BDC的度数．
（3）在第（2）题的条件下，作AF⊥BD于点F，连接CF，已知BD＝6，CD＝2，求△CDF的面积．
7．（2021·山东青岛市·九年级一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，BD为对角线．点P为线段CD上一动点，点P从点D出发，向点C匀速运动，速度为1cm/s；点Q为BC上一动点，过点Q作BD的垂线，交BD于M，交AD于点N，点Q从点C向点B运动，速度为1cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动；设运动时间为t（s）（0＜t＜6）．
（1）当t为何值时，PQ∥BD？
（2）设四边形NQPD的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使四边形NQPD的面积是矩形ABCD面积的？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．
8．（2021·山东青岛市·九年级一模）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a（a＞2）的正方形ABCD各边上分别截取AE＝BF＝CG＝DH＝1，当∠AFQ＝∠BGM＝∠CHN＝∠DEP＝45°时，求正方形MNPQ的面积．
小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）．
请回答：
（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则新的正方形的边长为 ；这个新正方形的面积 （填“＞”“＝”或“＜”）原正方形ABCD的面积；通过上述分析，可以发现正方形MNPQ的面积与△FSB的面积之间的关系是 ．
（2）求正方形MNPQ的面积．
（3）如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD＝BE＝CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ．若SRPQ＝，求AD的长．参考小明思考问题的方法，在图3的基础上先画出图形再解决问题．
9．（2021·山东青岛市·九年级一模）如图所示，BA⊥x轴于点A，点B的坐标为（﹣1，2），将△OAB沿x轴负方向平移3个单位，平移后的图形为△EDC．
（1）直接写出点C和点E的坐标；
（2）在四边形ABCD中，点P从点A出发，沿“AB→BC→CD”移动，移动到点D停止．若点P的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，回答下列问题：
①当t为何值时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数；
②用含t的式子表示点P在运动过程中的坐标（写出过程）；
③当5秒＜t＜7秒时，四边形ABCP的面积为4，求点P的坐标．
10．（2021·山东枣庄东方国际学校九年级二模）问题情境
如图1，已知矩形ABCD中，点E，F是AD，BC的中点，连接EF，将矩形ABCD沿FF剪开，得到四边形ABFE和四边形EPCD．
（1）求证：四边形EPCD是矩形；
操作探究
保持矩形EPCD位置不变，将矩形ABFE从图1的位置开始，绕点E按逆时针方向旋转．设旋转角为α（O°＜α＜360°）操作中，提出了如下问题，请你解答．
（2）如图2，当矩形ABFE旋转到点A落在线段EP上时，线段EF恰好经过点D，设DC与AB相交于点G．判断四边形EAGD的形状，并说明理由．
（3）在矩形ABFE旋转过程中连接线段AP和BP，当AP＝BP时，求旋转角α的度数．
11．（2021·山东青岛市·九年级一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点N为BC边上的一点，且BN＝n（n＞0），动点P从点A出发，以每秒1个单位长的速度沿AB边向点B运动，连接NP，作射线PM⊥NP交AD于点M，设点P运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当点M与点A重合时，t等于多少秒，当点M与点D重合时，n等于多少（用含字母t的代数式表示）
（2）若n＝2，则
①在点P运动过程中，点M是否可以到达线段AD的延长线上？通过计算说明理由；
②连接ND，当t为何值时，ND∥PM？
（3）过点N作NK∥AB，交AD于点K，若在点P运动过程中，点K与点M不会重合，直接写出n的取值范围．
12．（2021·胶州市初级实验中学九年级其他模拟）（问题背景）
如图1，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD＝∠BAC＝60°，.
（问题应用）
如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，D、E、C三点共线，连接BD，
（1）求证：△ADB≌△AEC；
（2）直接写出AD、BD、CD之间的数量关系；
如图3，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，在△ABC内部作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE、CF．
（1）判断△EFC的形状，并给出证明．
（2）若AE＝5，CE＝2，求BF的长．
13．（2021·山东青岛市·九年级一模）已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，D是AC边上的一个动点，将△ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在点P处．
（1）如图1，若点D是AC中点，连接PC．
①写出BP，BD的长；
②求证：四边形BCPD是平行四边形．
（2） 如图2，若BD=AD，过点P作PH⊥BC交BC的延长线于点H，求PH的长．
14．（2021·山东省青岛实验初级中学九年级其他模拟）△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF，
（1）观察猜想
如图1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为： ．
②BC，CD，CF之间的数量关系为： ；（将结论直接写在横线上）
（2）数学思考
如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
（3）拓展延伸
如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE，若已知AB=2，CD=BC，请求出GE的长．
15．（2020·济南市历城区双语实验学校九年级一模）（发现问题）
（1）如图， 已知和均为等边三角形，在上，在上， 易得线段和的数量关系是 ．
（2）将图中的绕点旋转到图的位置， 直线和直线交于点
①判断线段和的数量关系，并证明你的结论．
②图中的度数是 ．
（3）（探究拓展）
如图3，若和均为等腰直角三角形，，，， 直线和直线交于点， 分别写出的度数， 线段、之间的数量关系 ．
16．（2020·山东东营市·九年级二模）综合与实践
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB上的动点（不与点A，B重合）．
（1）操作发现：如图①，当AC＝BC＝8时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，BE．
①∠CBE的度数为 ；
②当BE＝ 时，四边形CDBE为正方形；
（2）探究证明：如图②，当BC＝2AC时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°后并延长为原来的两倍，记为线段CE，连接DE，BE．
①在点D的运动过程中，请判断∠CBE与∠A的大小关系，并证明；
②当CD⊥AB时，求证：四边形CDBE为矩形．
17．（2020·山东济南市·九年级其他模拟）（问题情境）（1）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE，则DG与BE的数量关系是 ；
（类比探究）
（2）如图2，四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE=1：2，连接DG、BE．判断线段DG与BE有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
（拓展提升）
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG，则2BG+BE的最小值为 ．
18．（2020·山东青岛市·九年级一模）如图，已知菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm，点P从点D出发，沿DA方向匀速向点A运动，速度为2cm/s；同时，点E从点B出发，沿BO方向匀速向点O运动，速度为1cm/s，EF∥BC，交OC于点F．当点P、E中有一点停止运动时，另一点也停止运动，线段EF也停止运动，连接PE、DF（0
（2）设四边形EFDP的面积为y（），求y与t之间的函数关系式．
（3）是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）连接FP，是否存在某一时刻t，使得FP⊥AD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
19．（2020·山东潍坊市·九年级三模）将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，点的对应点分别为
（1）当点落在上时
①如图1，若，求证：
②如图2，交于点．若，求证：；
（2）若，
①如图3，当过点C时，则的长=_____．
②当时，作，绕点转动，当直线经过时，直线交边于，的值=______．
20．（2020·山东潍坊市·九年级一模）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．
（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；
（2）若α＝60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形．
21．（2020·山东德州市·九年级一模）如图1，△ABC和△DEC均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，连接BE，AD，两条线段所在的直线交于点P.
（1）线段BE与AD有何数量关系和位置关系，请说明理由．
（2）若已知BC=12，DC=5，△DEC绕点C顺时针旋转，
①如图2，当点D恰好落在BC的延长线上时，求AP的长；
②在旋转一周的过程中，设△PAB的面积为S，求S的最值．
22．（2020·山东临沂市·九年级一模）如图，在正方形ABCD中，E是DC边上一点，（与D、C不重合），连接AE，将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，延长EF交BC于G，连接AG，作GH⊥AG，与AE的延长线交于点H，连接CH．显然AE是∠DAF的平分线，EA是∠DEF的平分线．仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线（仅限于小于180°的角平分线），并说明理由．
23．（2020·山东德州市·九年级一模）问题探究
（1）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点B，D，E在同一直线上，连接AD，BD．
①请探究AD与BD之间的位置关系：________；
②若AC＝BC＝，DC＝CE＝，则线段AD的长为________；
拓展延伸
（2）如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD为α（0°≤α＜360°），作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD的长．
24．（2020·山东济南市·九年级二模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，E是AB边上一点，D是AC边上一点，且点D不与A、C重合，ED⊥AC．
（1）当sinB=时，
①求证：BE＝2CD．
②当△ADE绕点A旋转到如图2的位置时（45°＜∠CAD＜90°）．BE＝2CD是否成立？若成立，请给出证明；若不成立．请说明理由．
（2）当sinB=时，将△ADE绕点A旋转到∠DEB＝90°，若AC＝10，AD＝2，求线段CD的长．
25．（2021·山东青岛市·九年级一模）在四边形中，点为边上一点，点为对角线上的一点，且．
（1）若四边形为正方形；
①如图1，请直接写出与的数量关系；
②将绕点逆时针旋转到图2所示的位置，连接、，猜想与的数量关系并说明理由；
（3） 如图3，若四边形为矩形，，其它条件都不变，将绕点逆时针旋转得到△，连接，，请在图3中画出草图，并求出与的数量关系．
26．（2021·山东济宁市·九年级一模）如图1，抛物线y=mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点（﹣1，0）与y轴交于点B（0，3），在线段OA上有一动点E（不与O、A重合），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P．
（1）分别求出抛物线和直线AB的函数表达式；
（2）连接PA、PB，求△PAB面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
（3）如图2，点E（2，0），将线段OE绕点O逆时针旋转的到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E'A+E'B的最小值．
27．（2021·山东临沂市·九年级二模）（感知）（1）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：=．
（探究）（2）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，连接BG交CD于点H．求证：BH=GH．
（拓展）（3）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且=，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG=CG．
28．（2021·山东济宁市·九年级一模）（1）如图1，正方形ABCD和正方形DEFG（其中ABDE），连接CE，AG交于点H，请直接写出线段AG与CE的数量关系 ，位置关系 ；
（2）如图2，矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG，AB＝2DE，AD＝DE，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α（0°α360°），连接AG，CE交于点H，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AG，CE的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG＝6，AB＝2DE＝8，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α（0°α360°），直线AG，CE交于点H，当点E与点H重合时，请直接写出线段AE的长．
29．（2021·山东济南市·九年级一模）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.
已知平面上两点，则所有符合且的点会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆.
阿氏圆基本解法：构造三角形相似.
（问题）如图1，在平面直角坐标中，在轴，轴上分别有点，点是平面内一动点，且，设，求的最小值.
阿氏圆的关键解题步骤：
第一步：如图1，在上取点，使得；
第二步：证明；第三步：连接，此时即为所求的最小值.
下面是该题的解答过程(部分)：
解：在上取点，使得，
又.
任务：
将以上解答过程补充完整.
如图2，在中，为内一动点，满足，利用中的结论，请直接写出的最小值.
30．（2021·山东济南市·九年级一模）如图1，已知和均为等腰直角三角形，点分别在线段上，且．
（1）观察猜想：如图2，将绕点逆时针旋转，连接的延长线交于点．当的延长线恰好经过点时，点与点重合，此时，
①的值为_________；
②的度数为_______度；
（2）类比探究：如图3，继续旋转，点与点不重合时，上述结论是否仍然成立，请说明理由．
（3）拓展延伸：若，当所在的直线垂直于时，请你直接写出线段的长．
2022中考考点必杀500题
专练12（几何压轴大题）（30道）
1．（2021·青岛市崂山区第三中学九年级其他模拟）在四边形中，是边上一点，点从出发以秒的速度沿线段运动，同时点从出发，沿线段、射线运动，当运动到，两点都停止运动．设运动时间为（秒）：
（1）当与的速度相同，且时，求证：
（2）当与的速度不同，且分别在上运动时（如图1），若与全等，求此时的速度和值；
（3）当运动到上，运动到射线上（如图2），若的速度为秒，是否存在恰当的边的长，使在运动过程中某一时刻刚好与全等，若存在，请求出此时的值和边的长；若不存在，请说明理由．
2．（2021·山东省青岛第二十六中学九年级其他模拟）如图1所示，在正方形ABCD中，，是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧，点E是边AD上的任意一点，点E与点A、D不重合，过E作AC所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点．
（1）当时，求证：点G为线段EF的中点；
（2）设，，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）图2所示，将沿直线EF翻折后得，当时，讨论与是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由．
3．（2021·山东淄博市·九年级一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B是轴正半轴上一点，连接，过点A作，交轴于点C，点D是点C关于点A的对称点，连接，以为直径作交于点E，连接AE并延长交轴于点F，连接DF．
（1）求线段AE的长；
（2）若，求的值；
（3）若与相似，求的值．
4．（2021·东营市胜利第三十九中学九年级其他模拟）如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）证明：四边形CEGF是正方形；
（2）探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展与运用：
正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图3所示，当B，E，F三点在一条直线上时，延长CG交AD于点H，若AG＝6，GH＝2，求BC的长．
5．（2021·山东临沂市·九年级一模）已知：如图1所示将一块等腰三角板BMN放置与正方形ABCD的重合，连接AN、CM，E是AN的中点，连接BE．
（观察猜想）
（1）CM与BE的数量关系是________；CM与BE的位置关系是________；
（探究证明）
（2）如图2所示，把三角板BMN绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段CM与BE的关系是否仍然成立，并说明理由；
（拓展延伸）
（3） 若旋转角，且，求的值．
6．（2021·山东泰安市·）已知在△ABC中，AB＝AC，过点B引一条射线BM，D是BM上一点．
（1）如图1，∠ABC＝60，射线BM在∠ABC内，∠ADB＝60，求证：∠BDC＝60．
请根据以下思维框图，写出证明过程．
（2）如图2，已知∠ABC＝∠ADB＝30．
①当射线BM在∠ABC内，求∠BDC的度数．
②当射线BM在BC下方，请问∠BDC的度数会变吗？若不变，请说明理由；若改变，请直接写出∠BDC的度数．
（3）在第（2）题的条件下，作AF⊥BD于点F，连接CF，已知BD＝6，CD＝2，求△CDF的面积．
7．（2021·山东青岛市·九年级一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，BD为对角线．点P为线段CD上一动点，点P从点D出发，向点C匀速运动，速度为1cm/s；点Q为BC上一动点，过点Q作BD的垂线，交BD于M，交AD于点N，点Q从点C向点B运动，速度为1cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动；设运动时间为t（s）（0＜t＜6）．
（1）当t为何值时，PQ∥BD？
（2）设四边形NQPD的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使四边形NQPD的面积是矩形ABCD面积的？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．
8．（2021·山东青岛市·九年级一模）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a（a＞2）的正方形ABCD各边上分别截取AE＝BF＝CG＝DH＝1，当∠AFQ＝∠BGM＝∠CHN＝∠DEP＝45°时，求正方形MNPQ的面积．
小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）．
请回答：
（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则新的正方形的边长为 ；这个新正方形的面积 （填“＞”“＝”或“＜”）原正方形ABCD的面积；通过上述分析，可以发现正方形MNPQ的面积与△FSB的面积之间的关系是 ．
（2）求正方形MNPQ的面积．
（3）如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD＝BE＝CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ．若SRPQ＝，求AD的长．参考小明思考问题的方法，在图3的基础上先画出图形再解决问题．
9．（2021·山东青岛市·九年级一模）如图所示，BA⊥x轴于点A，点B的坐标为（﹣1，2），将△OAB沿x轴负方向平移3个单位，平移后的图形为△EDC．
（1）直接写出点C和点E的坐标；
（2）在四边形ABCD中，点P从点A出发，沿“AB→BC→CD”移动，移动到点D停止．若点P的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，回答下列问题：
①当t为何值时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数；
②用含t的式子表示点P在运动过程中的坐标（写出过程）；
③当5秒＜t＜7秒时，四边形ABCP的面积为4，求点P的坐标．
10．（2021·山东枣庄东方国际学校九年级二模）问题情境
如图1，已知矩形ABCD中，点E，F是AD，BC的中点，连接EF，将矩形ABCD沿FF剪开，得到四边形ABFE和四边形EPCD．
（1）求证：四边形EPCD是矩形；
操作探究
保持矩形EPCD位置不变，将矩形ABFE从图1的位置开始，绕点E按逆时针方向旋转．设旋转角为α（O°＜α＜360°）操作中，提出了如下问题，请你解答．
（2）如图2，当矩形ABFE旋转到点A落在线段EP上时，线段EF恰好经过点D，设DC与AB相交于点G．判断四边形EAGD的形状，并说明理由．
（3）在矩形ABFE旋转过程中连接线段AP和BP，当AP＝BP时，求旋转角α的度数．
11．（2021·山东青岛市·九年级一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点N为BC边上的一点，且BN＝n（n＞0），动点P从点A出发，以每秒1个单位长的速度沿AB边向点B运动，连接NP，作射线PM⊥NP交AD于点M，设点P运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当点M与点A重合时，t等于多少秒，当点M与点D重合时，n等于多少（用含字母t的代数式表示）
（2）若n＝2，则
①在点P运动过程中，点M是否可以到达线段AD的延长线上？通过计算说明理由；
②连接ND，当t为何值时，ND∥PM？
（3）过点N作NK∥AB，交AD于点K，若在点P运动过程中，点K与点M不会重合，直接写出n的取值范围．
12．（2021·胶州市初级实验中学九年级其他模拟）（问题背景）
如图1，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD＝∠BAC＝60°，.
（问题应用）
如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，D、E、C三点共线，连接BD，
（1）求证：△ADB≌△AEC；
（2）直接写出AD、BD、CD之间的数量关系；
如图3，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，在△ABC内部作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE、CF．
（1）判断△EFC的形状，并给出证明．
（2）若AE＝5，CE＝2，求BF的长．
13．（2021·山东青岛市·九年级一模）已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，D是AC边上的一个动点，将△ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在点P处．
（1）如图1，若点D是AC中点，连接PC．
①写出BP，BD的长；
②求证：四边形BCPD是平行四边形．
（2） 如图2，若BD=AD，过点P作PH⊥BC交BC的延长线于点H，求PH的长．
14．（2021·山东省青岛实验初级中学九年级其他模拟）△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF，
（1）观察猜想
如图1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为： ．
②BC，CD，CF之间的数量关系为： ；（将结论直接写在横线上）
（2）数学思考
如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
（3）拓展延伸
如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE，若已知AB=2，CD=BC，请求出GE的长．
15．（2020·济南市历城区双语实验学校九年级一模）（发现问题）
（1）如图， 已知和均为等边三角形，在上，在上， 易得线段和的数量关系是 ．
（2）将图中的绕点旋转到图的位置， 直线和直线交于点
①判断线段和的数量关系，并证明你的结论．
②图中的度数是 ．
（3）（探究拓展）
如图3，若和均为等腰直角三角形，，，， 直线和直线交于点， 分别写出的度数， 线段、之间的数量关系 ．
16．（2020·山东东营市·九年级二模）综合与实践
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB上的动点（不与点A，B重合）．
（1）操作发现：如图①，当AC＝BC＝8时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，BE．
①∠CBE的度数为 ；
②当BE＝ 时，四边形CDBE为正方形；
（2）探究证明：如图②，当BC＝2AC时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°后并延长为原来的两倍，记为线段CE，连接DE，BE．
①在点D的运动过程中，请判断∠CBE与∠A的大小关系，并证明；
②当CD⊥AB时，求证：四边形CDBE为矩形．
17．（2020·山东济南市·九年级其他模拟）（问题情境）（1）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE，则DG与BE的数量关系是 ；
（类比探究）
（2）如图2，四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE=1：2，连接DG、BE．判断线段DG与BE有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
（拓展提升）
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG，则2BG+BE的最小值为 ．
18．（2020·山东青岛市·九年级一模）如图，已知菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm，点P从点D出发，沿DA方向匀速向点A运动，速度为2cm/s；同时，点E从点B出发，沿BO方向匀速向点O运动，速度为1cm/s，EF∥BC，交OC于点F．当点P、E中有一点停止运动时，另一点也停止运动，线段EF也停止运动，连接PE、DF（0
（2）设四边形EFDP的面积为y（），求y与t之间的函数关系式．
（3）是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）连接FP，是否存在某一时刻t，使得FP⊥AD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
19．（2020·山东潍坊市·九年级三模）将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，点的对应点分别为
（1）当点落在上时
①如图1，若，求证：
②如图2，交于点．若，求证：；
（2）若，
①如图3，当过点C时，则的长=_____．
②当时，作，绕点转动，当直线经过时，直线交边于，的值=______．
20．（2020·山东潍坊市·九年级一模）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．
（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；
（2）若α＝60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形．
21．（2020·山东德州市·九年级一模）如图1，△ABC和△DEC均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，连接BE，AD，两条线段所在的直线交于点P.
（1）线段BE与AD有何数量关系和位置关系，请说明理由．
（2）若已知BC=12，DC=5，△DEC绕点C顺时针旋转，
①如图2，当点D恰好落在BC的延长线上时，求AP的长；
②在旋转一周的过程中，设△PAB的面积为S，求S的最值．
22．（2020·山东临沂市·九年级一模）如图，在正方形ABCD中，E是DC边上一点，（与D、C不重合），连接AE，将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，延长EF交BC于G，连接AG，作GH⊥AG，与AE的延长线交于点H，连接CH．显然AE是∠DAF的平分线，EA是∠DEF的平分线．仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线（仅限于小于180°的角平分线），并说明理由．
23．（2020·山东德州市·九年级一模）问题探究
（1）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点B，D，E在同一直线上，连接AD，BD．
①请探究AD与BD之间的位置关系：________；
②若AC＝BC＝，DC＝CE＝，则线段AD的长为________；
拓展延伸
（2）如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD为α（0°≤α＜360°），作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD的长．
24．（2020·山东济南市·九年级二模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，E是AB边上一点，D是AC边上一点，且点D不与A、C重合，ED⊥AC．
（1）当sinB=时，
①求证：BE＝2CD．
②当△ADE绕点A旋转到如图2的位置时（45°＜∠CAD＜90°）．BE＝2CD是否成立？若成立，请给出证明；若不成立．请说明理由．
（2）当sinB=时，将△ADE绕点A旋转到∠DEB＝90°，若AC＝10，AD＝2，求线段CD的长．
25．（2021·山东青岛市·九年级一模）在四边形中，点为边上一点，点为对角线上的一点，且．
（1）若四边形为正方形；
①如图1，请直接写出与的数量关系；
②将绕点逆时针旋转到图2所示的位置，连接、，猜想与的数量关系并说明理由；
（3） 如图3，若四边形为矩形，，其它条件都不变，将绕点逆时针旋转得到△，连接，，请在图3中画出草图，并求出与的数量关系．
26．（2021·山东济宁市·九年级一模）如图1，抛物线y=mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点（﹣1，0）与y轴交于点B（0，3），在线段OA上有一动点E（不与O、A重合），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P．
（1）分别求出抛物线和直线AB的函数表达式；
（2）连接PA、PB，求△PAB面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
（3）如图2，点E（2，0），将线段OE绕点O逆时针旋转的到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E'A+E'B的最小值．
27．（2021·山东临沂市·九年级二模）（感知）（1）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：=．
（探究）（2）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，连接BG交CD于点H．求证：BH=GH．
（拓展）（3）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且=，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG=CG．
28．（2021·山东济宁市·九年级一模）（1）如图1，正方形ABCD和正方形DEFG（其中ABDE），连接CE，AG交于点H，请直接写出线段AG与CE的数量关系 ，位置关系 ；
（2）如图2，矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG，AB＝2DE，AD＝DE，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α（0°α360°），连接AG，CE交于点H，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AG，CE的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG＝6，AB＝2DE＝8，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α（0°α360°），直线AG，CE交于点H，当点E与点H重合时，请直接写出线段AE的长．
29．（2021·山东济南市·九年级一模）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.
已知平面上两点，则所有符合且的点会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆.
阿氏圆基本解法：构造三角形相似.
（问题）如图1，在平面直角坐标中，在轴，轴上分别有点，点是平面内一动点，且，设，求的最小值.
阿氏圆的关键解题步骤：
第一步：如图1，在上取点，使得；
第二步：证明；第三步：连接，此时即为所求的最小值.
下面是该题的解答过程(部分)：
解：在上取点，使得，
又.
任务：
将以上解答过程补充完整.
如图2，在中，为内一动点，满足，利用中的结论，请直接写出的最小值.
30．（2021·山东济南市·九年级一模）如图1，已知和均为等腰直角三角形，点分别在线段上，且．
（1）观察猜想：如图2，将绕点逆时针旋转，连接的延长线交于点．当的延长线恰好经过点时，点与点重合，此时，
①的值为_________；
②的度数为_______度；
（2）类比探究：如图3，继续旋转，点与点不重合时，上述结论是否仍然成立，请说明理由．
（3）拓展延伸：若，当所在的直线垂直于时，请你直接写出线段的长．
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