2022年湖南省湘潭县锦石中学初中学业水平年模拟（一）数学试题

这是一份2022年湖南省湘潭县锦石中学初中学业水平年模拟（一）数学试题，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湘潭县锦石中学2022年学业水平数学试题
制卷人：
一、选择题（本题有8个小题，每小题3分，共24分．）
1．在实数、0、﹣1、﹣ 中，最小的实数是（　　）
A．﹣ B．﹣1 C．0 D．
2．下列计算正确的是（　　）
A．（x﹣1）2＝x2﹣1 B．x8÷x2＝x4
C．+＝ D．（﹣x2y） 3＝﹣x6y3
3．如图所示的几何体的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
4．如图，是一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中OA∥BC，AC∥OB．若∠1＝50°，则∠3的度数为（　　）

A．130° B．120° C．50° D．125°
5．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≥﹣2 B．k≥﹣2且k≠﹣1 C．k≥2 D．k≤﹣2
6．（3分）国家队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选出一名队员参加2022年北京冬奥会1000米速度滑冰比赛，对这四名队员进行了10次速度测试，经过数据分析4人的平均成绩均为95分，S甲2＝0.028，S乙2＝0.06，S丙2＝0.015，S丁2＝0.32．则应该选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题可迎刃而解，且解法简洁．如图，直线y＝3x和直线y＝ax+b交于点（1，3），根据图象分析，方程3x＝ax+b的解为（　　）

A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝﹣3
8．如图，△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB交BC于E，EC＝6，BE＝4，则AB长为（　　）

A．6 B．8 C． D．
二、填空题（本题有8个小题，每小题3分，共24分．）
9．﹣2022的相反数是　 　．
10．若分式的值为零，则x的值是　 　．
11．把多项式3mx﹣6my分解因式的结果是　 　．
12．太阳半径约为696 000千米，数字696 000用科学记数法表示为　 　．
13．一个不透明的盒子中装有2个白球，5个红球和3个黄球，这些球除颜色外，没有任何其它区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为　　 ．
14．如图，圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，那么这个圆锥的侧面积是　 　cm2．

15．将黑色棋子按照一定规律排列成一系列如图所示的图案，按照此规律，第n个图案中黑色棋子的个数是　 　．
16．如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点A为60°角与直尺交点，点B为光盘与直尺唯一交点，若AB＝3，则光盘的直径是　 ．

三、解答题（本题有10个小题，共72分．）
17．（6分）计算：tan45°﹣|﹣2|﹣2﹣1+2（π﹣3.14）0
18．（6分）先化简，再求值：，其中．
19．（6分）如图，已知平面直角坐标内有三点，分别为A（﹣1，1），B（﹣2，4），C（﹣3，2）．
（1）请画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）直接写出把△ABC绕点O顺时针旋转90°后，点C旋转后对应点C2的坐标．

20.（6分）小明为了测量楼房AB的高度，他从楼底的B处沿着斜坡向上行走20m，到达坡顶D处，小明的身高ED是1.6m. 已知斜坡的坡角为15°,他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45°，求楼房AB的高度．（sin15°≈0.2588,cos15°≈0.9659,tan15°≈0.2677）
（以下计算结果精确到0.1m）

21．（6分）2022年我校开展以“一起向未来”为主题的校园文化节活动，活动分为球类、书画、乐器、诵读四项内容，要求每位学生参加其中的一项校学生会为了解各项报名情况，随机抽取了部分学生进行调查，并对调查结果进行了统计，绘制了如下统计图（均不完整）：

请解答以下问题：
（1）图1中，“书画”这一项的人数是　 　．
（2）图2中，“乐器“这一项的百分比是　 　，
“球类”这一项所对应的扇形的圆心角度数是　 　．
（3）若该校共有750名学生，请估计该校参加“诵读”这一项的学生约有多少人．
22．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接BE．
（1）求证：BC＝BH；
（2）若AB＝5，AC＝4，求CE的长．

23．（8分）如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，点A坐标为（6，2），点B坐标为（﹣4，n），直线AB交y轴于点C，过C作y轴的垂线，交反比例函数图象于点D，连接OD、BD．
（1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求四边形OCBD的面积．

24．（8分）中国杂粮看山西，山西杂粮看忻州“忻州﹣﹣中国杂粮之都”近年来打造以“一﹣薯、三麦、四米、五豆”为特色的小杂粮产业，走上了“兴科技、树品牌、强产业广交流、共发展”的新道路．某县为帮助农民进一步提高杂粮播种水平，提升综合生产能力，决定财政拨款45600元购进A，B两种型号的播种机共30台．两种型号播种机的单价和工作效率分别如表：

单价/元
工作效率/（公顷/h）
A种型号
1600
4
B种型号
1480
3
（1）求购进A，B两种型号的播种机各多少台．
（2）某农场有2000公顷地种植杂粮，计划从县里新购进的播种机中租用两种型号的播种机共15台同时进行播种．若农场的工人每天工作8h，则至少租用A种型号的播种机多少台才能在5天内完成播种工作？
25．（10分）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
梅涅劳斯（ Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：
设D，E，F依次是OABC的三边AB，BC，CA或其延长线上的点，且这三点共线，则满足．
这个定理的证明步骤如下：
情况①：如图1，直线DE交△ABC的边AB于点D，交边AC于点F，交边BC的延长线与点E．
过点C作CM∥DE交AB于点M，则，（依据）
∴＝
∴BE•AD•FC＝BD•AF•EC，即．

情况②：如图2，直线DE分别交△ABC的边BA，BC，CA的延长线于点D，E，F．
…
（1）情况①中的依据指：　两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例　
（2）请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明．
（3）如图3，D，F分别是△ABC的边AB，AC．上的点，且AD：DB＝CF：FA＝2：3，连接DF并延长，交BC的延长线于点E，那么BE：CE＝　　．
26．（10分）如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y＝ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，直线y＝x+m过顶点C和点B．
（1）求m的值；
（2）求函数y＝ax2+b（a≠0）的解析式；
（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．




湘潭县锦石中学2022年学业水平数学试题答案
一、选择题（本题有8个小题，每小题3分，满分24分．下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）
1．（3分）在实数、0、﹣1、﹣中，最小的实数是（　　）
A．﹣ B．﹣1 C．0 D．
【解答】解：∵﹣＜﹣1＜0＜，
∴在实数、0、﹣1、﹣中，最小的实数是﹣．
故选：A．
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．（x﹣1）2＝x2﹣1 B．x8÷x2＝x4
C．+＝ D．（﹣x2y） 3＝﹣x6y3
【解答】解：A、原式＝x2﹣2x+1，不符合题意；
B、原式＝x6，不符合题意；
C、原式不能合并，不符合题意；
D、原式＝﹣x6y3，符合题意，
故选：D．
3．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：如图所示的几何体的俯视图是．
故选：C．
4．（3分）如图，是一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中OA∥BC，AC∥OB．若∠1＝50°，则∠3的度数为（　　）

A．130° B．120° C．50° D．125°
【解答】解：∵AC∥OB，∠1＝50°，
∴∠2＝50°，
∵OA∥BC，
∴∠3＝180°﹣50°＝130°．
故选：A．
5．（3分）已知关于x的一元二次方程（k+1）x2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≥﹣2 B．k≥﹣2且k≠﹣1 C．k≥2 D．k≤﹣2
【解答】解：根据题意得k+1≠0且△＝22﹣4×（k+1）×（﹣1）≥0，
解得k≥﹣2且k≠﹣1．
故选：B．
6．（3分）国家队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选出一名队员参加2022年北京冬奥会1000米速度滑冰比赛，对这四名队员进行了10次速度测试，经过数据分析4人的平均成绩均为95分，S甲2＝0.028，S乙2＝0.06，S丙2＝0.015，S丁2＝0.32．则应该选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【解答】解：∵这4人的平均成绩相等，而S丙2＜S甲2＜S乙2＜S丁2，
∴这4人中丙的成绩最稳定，
∴应该选择丙，
故选：C．
7．（3分）数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题可迎刃而解，且解法简洁．如图，直线y＝3x和直线y＝ax+b交于点（1，3），根据图象分析，方程3x＝ax+b的解为（　　）

A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝﹣3
【解答】解：∵直线y＝3x和直线y＝ax+b交于点（1，3）
∴方程3x＝ax+b的解为x＝1．
故选：A．
8．（3分）如图，△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB交BC于E，EC＝6，BE＝4，则AB长为（　　）

A．6 B．8 C． D．
【解答】解：∵DE∥AB，
∴∠BDE＝∠ABD，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠DBE，
∴∠DBE＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∵BE＝4，
∴DE＝4，
∵DE∥AB，
∴△DEC∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴AB＝，
故选：C．
二、填空题（本题有8个小题，每小题3分，共24分．）
9．（3分）﹣2022的相反数是　2022　．
【解答】解：﹣2022的相反数是2022．
故答案为：2022．
10．（3分）若分式的值为零，则x的值是　0　．
【解答】解：由分式的值为零的条件得x＝0，且x﹣3≠0，
故答案为：0．
11．（3分）把多项式3mx﹣6my分解因式的结果是　3m（x﹣2y）　．
【解答】解：3mx﹣6my＝3m（x﹣2y）．
故答案为：3m（x﹣2y）．
12．（3分）太阳半径约为696 000千米，数字696 000用科学记数法表示为　6.96×105　．
【解答】解：696 000＝6.96×105．
13．（3分）一个不透明的盒子中装有2个白球，5个红球和3个黄球，这些球除颜色外，没有任何其它区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为　　．
【解答】解：根据题意可得：一个不透明的盒子中装有2个白球，5个红球和3个黄球，共10个，
摸到红球的概率为：＝．
故答案为：．
14．（3分）如图，圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，那么这个圆锥的侧面积是　60π　cm2．

【解答】解：底面半径为6cm，高为8cm，则底面周长＝12π，由勾股定理得，母线长＝10，那么侧面面积＝×12π×10＝60πcm2．
15．（3分）将黑色棋子按照一定规律排列成一系列如图所示的图案，按照此规律，第n个图案中黑色棋子的个数是　（5n+3）　．


【解答】解：观察图形的变化可知：
第1个图案中黑色棋子的个数是8＝5×1+3；
第2个图案中黑色棋子的个数是13＝5×2+3
第3个图案中黑色棋子的个数是18＝5×3+3
…
发现规律：
第n个图案中黑色棋子的个数是（5n+3）．
故答案为：（5n+3）．
16．（3分）如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点A为60°角与直尺交点，点B为光盘与直尺唯一交点，若AB＝3，则光盘的直径是　6　．

【解答】解：如图，点C为光盘与直角三角板唯一的交点，
连接OB，
∴OB⊥AB，OA平分∠BAC，
∵∠BAC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠OAB＝60°，
在Rt△OAB中，OB＝AB＝3，
∴光盘的直径为6．
故答案为6．

三、解答题（本题有10个小题，共72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤．）
17．（6分）计算：tan45°﹣|﹣2|﹣2﹣1+2（π﹣3.14）0
【解答】解：原式＝﹣（2﹣）﹣+2
＝﹣2+﹣+2
＝．
18．（6分）先化简，再求值：，其中．
【解答】解：原式＝＝＝x﹣y，
当x＝2+，y＝2﹣时，原式＝2+﹣2+＝2．
19．（6分）如图，已知平面直角坐标内有三点，分别为A（﹣1，1），B（﹣2，4），C（﹣3，2）．
（1）请画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）直接写出把△ABC绕点O顺时针旋转90°后，点C旋转后对应点C2的坐标．

【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示；
（2）C2（2，3）．

20.（6分）小明为了测量楼房AB的高度，他从楼底的B处沿着斜坡向上行走20m，到达坡顶D处，小明的身高ED是1.6m. 已知斜坡的坡角为15°,他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45°，求楼房AB的高度．（sin15°≈0.2588,cos15°≈0.9659,tan15°≈0.2677）
（以下计算结果精确到0.1m）

【解答】解：在Rt△BCD中，
∵∠CBD＝15°，BD＝20，
∴CD＝BD•sin15°≈5.2m，
BC＝BD•cos15°≈19.3m;
在Rt△AFE中，∵∠AEF＝45°，
∴AF＝EF＝BC，
∴AB＝AF+DE+CD＝19.3+1.6+5.2＝26.1（m）．
答：楼房AB的高度是26.1m．
21．（6分）2022年我校开展以“一起向未来”为主题的校园文化节活动，活动分为球类、书画、乐器、诵读四项内容，要求每位学生参加其中的一项校学生会为了解各项报名情况，随机抽取了部分学生进行调查，并对调查结果进行了统计，绘制了如下统计图（均不完整）：

请解答以下问题：
（1）图1中，“书画”这一项的人数是　30人　．
（2）图2中，“乐器“这一项的百分比是　10%　“球类”这一项所对应的扇形的圆心角度数是　108°　．
（3）若该校共有750名学生，请估计该校参加“诵读”这一项的学生约有多少人．
【解答】解：（1）由条形图可知，参加朗读活动的人数为60人，
由扇形图可知，参加朗读活动的人数占40%，
∴抽取的学生数为：60÷40%＝150人，
∴“书画”这一项的人数是：150×20%＝30，
故答案为：30人；
（2）“乐器“这一项的百分比是：15÷150＝10%，
“球类”这一项所对应的扇形的圆心角度数是：×360°＝108°，
故答案为：10%；108°；
（3）该校参加“诵读”这一项的学生约有：750×40%＝300，
答：该校参加“诵读”这一项的学生约有300人．
22．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接BE．
（1）求证：BC＝BH；
（2）若AB＝5，AC＝4，求CE的长．

【解答】（1）证明：连接OE，如图，
∵AC为切线，
∴OE⊥AC，
∴∠AEO＝90°，
∵∠C＝90°，
∴OE∥BC，
∴∠1＝∠3，
∵OB＝OE，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∵EH＝EC，
在Rt△BEH和Rt△BEC中

∴Rt△BEH≌Rt△BEC（HL），
∴BC＝BH；
（2）在Rt△ABC中，BC＝＝3，
设OE＝r，则OA＝5﹣r，
∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴＝，即＝，解得r＝，
∴AO＝5﹣r＝，
在Rt△AOE中，AE＝＝，
∴CE＝AC﹣AE＝4﹣＝．

23．（8分）如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，点A坐标为（6，2），点B坐标为（﹣4，n），直线AB交y轴于点C，过C作y轴的垂线，交反比例函数图象于点D，连接OD、BD．
（1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求四边形OCBD的面积．

【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象过A（6，2），
∴2＝，
解得k＝12，
故反比例函数的解析式为 y＝，
∵B（﹣4，n）在y＝的图象上，
∴n＝，
解得n＝﹣3，
∴B（﹣4，﹣3），
∵一次函数y＝ax+b过A、B点，则，
解得，
故一次函数解析式为y＝x﹣1；

（2）当x＝0时，y＝﹣1，
∴C（0，﹣1），
当y＝﹣1时，﹣1＝，x＝﹣12，
∴D（﹣12，﹣1），
sOCBD＝S△ODC+S△BDC
＝×|﹣12|×|﹣1|+×|﹣12|×|﹣2|
＝6+12
＝18．
24．（8分）中国杂粮看山西，山西杂粮看忻州“忻州﹣﹣中国杂粮之都”近年来打造以“一﹣薯、三麦、四米、五豆”为特色的小杂粮产业，走上了“兴科技、树品牌、强产业广交流、共发展”的新道路．某县为帮助农民进一步提高杂粮播种水平，提升综合生产能力，决定财政拨款45600元购进A，B两种型号的播种机共30台．两种型号播种机的单价和工作效率分别如表：

单价/元
工作效率/（公顷/h）
A种型号
1600
4
B种型号
1480
3
（1）求购进A，B两种型号的播种机各多少台．
（2）某农场有2000公顷地种植杂粮，计划从县里新购进的播种机中租用两种型号的播种机共15台同时进行播种．若农场的工人每天工作8h，则至少租用A种型号的播种机多少台才能在5天内完成播种工作？
【解答】解：（1）设购进A种型号的播种机x台，B种型号的播种机y台，
依题意，得：，
解得：．
答：购进A种型号的播种机10台，B种型号的播种机20台．
（2）设租用A种型号的播种机m台，则租用B种型号的播种机（15﹣m）台，
依题意，得：5×8×[4m+3（15﹣m）]≥2000，
解得：m≥5．
答：少租用A种型号的播种机5台才能在5天内完成播种工作．
25．（10分）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
梅涅劳斯（ Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：
设D，E，F依次是OABC的三边AB，BC，CA或其延长线上的点，且这三点共线，则满足．
这个定理的证明步骤如下：
情况①：如图1，直线DE交△ABC的边AB于点D，交边AC于点F，交边BC的延长线与点E．
过点C作CM∥DE交AB于点M，则，（依据）
∴＝
∴BE•AD•FC＝BD•AF•EC，即．

情况②：如图2，直线DE分别交△ABC的边BA，BC，CA的延长线于点D，E，F．
…
（1）情况①中的依据指：　两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例　
（2）请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明．
（3）如图3，D，F分别是△ABC的边AB，AC．上的点，且AD：DB＝CF：FA＝2：3，连接DF并延长，交BC的延长线于点E，那么BE：CE＝　　．
【解答】解：（1）情况①中的依据是：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
故答案为两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．

（2）如图2中，作CN∥DE交BD于N．则有＝，＝，＝，
∴•＝•，
∴BE•AD•FC＝BD•AF•EC，
∴••＝1．

（3）如图3中，∵••＝1，AD：DB＝CF：FA＝2：3，
∴＝．
故答案为．
26．（10分）如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y＝ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，直线y＝x+m过顶点C和点B．
（1）求m的值；
（2）求函数y＝ax2+b（a≠0）的解析式；
（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）将（0，﹣3）代入y＝x+m，
可得：m＝﹣3；
（2）将y＝0代入y＝x﹣3得：x＝3，
所以点B的坐标为（3，0），
将（0，﹣3）、（3，0）代入y＝ax2+b中，
可得：，
解得：，
所以二次函数的解析式为：y＝x2﹣3；
（3）存在，分以下两种情况：

①若M在B上方，设MC交x轴于点D，则∠ODC＝45°+15°＝60°，
∴OD＝OC•tan30°＝，
设DC为y＝kx﹣3，代入（，0），可得：k＝，
联立两个方程可得：，
解得：，
所以M1（3，6）；
②若M在B下方，设MC交x轴于点E，则∠OEC＝45°﹣15°＝30°，
∴∠OCE＝60°，
∴OE＝OC•tan60°＝3，
设EC为y＝kx﹣3，代入（3，0）可得：k＝，
联立两个方程可得：，
解得：，
所以M2（，﹣2），
综上所述M的坐标为（3，6）或（，﹣2）