2022中考数学知识点复习——反比例函数

这是一份2022中考数学知识点复习——反比例函数，共18页。试卷主要包含了反比例函数性质，综合运用等内容，欢迎下载使用。
2022中考数学知识点复习——反比例函数及其应用
一、反比例函数性质

一、反比例函数的概念，图象性质            
1、一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成的形式.自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数.
2、反比例函数图像的性质
反比例函数(为常数，)的图像是双曲线（如下图）；

①当时，双曲线的两支分别位于第一、三象限内，在每一个象限内，随的增大而减小；
②当时，双曲线的两支分别位于第二、四象限内，在每一个象限内，随的增大而增大.
注意：函数图像关于和对称.，关于原点中心对称.
二、反比例函数k的几何意义
如图一，在反比例函数图像上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为.
如图二，所围成三角形的面积为.



一．反比例函数概念，图象性质
1、若点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函数y的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
【答案】C
【解析】解：∵反比例函数的解析式是y，
∴k＝5＞0，函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函数y的图象上，
∴点A和B在第三象限，点C在第一象限，∴y2＜y1＜y3，故选：C．
2、函数y与y＝﹣kx+k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　）
A．B． C．D．
【答案】A
【解析】解：当k＞0时，反比例函数的图象位于第一、三象限，一次函数的图象交y轴于正半轴，y随着x的增大而减小，A选项符合，C选项错误；
当k＜0时，反比例函数的图象位于第二、四象限，一次函数的图象交y轴于负半轴，y随着x的增大而增大，B、D均错误；
故选：A．
3、已知某函数的图象与函数的图象关于直线对称．下列命题：①图象与函数的图象交于点；②点在图象上；③图象上的点的纵坐标都小于4；④，是图象上任意两点，若，则．其中真命题是（　　）
A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
∵函数的图象在第一、三象限，
则关于直线对称，点是图象与函数的图象的交点；∴①正确；
点关于对称的点为点，∵在函数上，∴点在图象上；∴②正确；
∵中，，取上任意一点为，则点与对称点的纵坐标为；∴③错误；
，关于对称点为，在函数上，
∴，，∵或，∴，∴；∴④不正确；

变式1．已知点(－2，a)，(2，b)，(3，c)在函数的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a
【答案】C
解：，函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限，随的增大而减小，
，，，．
变式2．如图，已知直线y=k1x（k1≠0）与反比例函数y=（k2≠0）的图象交于M，N两点．若点M的坐标是（1，2），则点N的坐标是（　　）

A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣2，﹣1）
【答案】A
详解：∵直线y=k1x（k1≠0）与反比例函数y=（k2≠0）的图象交于M，N两点，
∴M，N两点关于原点对称，∵点M的坐标是（1，2），∴点N的坐标是（-1，-2）．
变式3．如图，矩形的顶点都在曲线 （常数，）上，若顶点的坐标为，则直线的函数表达式是_.

【答案】
∵D（5，3），∴A（，3），C（5，），∴B（，），
设直线BD的解析式为y=mx+n，把D（5，3），B（，）代入得
，解得，∴直线BD的解析式为．
变式4．经过实验获得两个变量x（x＞0），y（y＞0）的一组对应值如下表．
x
1
2
3
4
5
6
y
6
2.9
2
1.5
1.2
1
（1）请画出相应函数的图象，并求出函数表达式．
（2）点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上．若x1＜x2，则y1，y2有怎样的大小关系？请说明理由．

【答案】（1）图象见解析，()；（2）y1＞y2，理由见解析．
解：（1）函数图象如图所示，设函数表达式为，
把x＝1，y＝6代入，得k＝6，∴函数表达式为()；

（2）∵k＝6＞0，∴在第一象限，y随x的增大而减小，∴0＜x1＜x2时，则y1＞y2．
变式5．如图，函数y=x的图象与函数y=（x＞0）的图象相交于点P（2，m）．
（1）求m，k的值；
（2）直线y=4与函数y=x的图象相交于点A，与函数y=（x＞0）的图象相交于点B，求线段AB长．

【答案】（1）m=2，k=4；（2）AB=3．
详解：（1）∵函数y=x的图象过点P（2，m），∴m=2，∴P（2，2），
∵函数y=（x＞0）的图象过点P，∴k=2×2=4；
（2）将y=4代入y=x，得x=4，∴点A（4，4）．将y=4代入y=，得x=1，∴点B（1，4）．∴AB=4-1=3．
二、反比例函数k的几何意义
1、如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，BC⊥x轴于点C，则△ABC的面积为(　　)A
A．1 B．2 C．3 D．4
△ABC的面积=k
2、如图，函数y＝－x与函数y＝－的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，则四边形ACBD的面积为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8

D　点拨：由题意，得
S△ODB＝S△OAC＝×|－4|＝2.因为OC＝OD，AC＝BD，
所以S△AOC＝S△ODA＝S△ODB＝S△OBC＝2，所以四边形ACBD的面积为
S△AOC＋S△ODA＋S△ODB＋S△OBC＝2×4＝8.
变式1．如图，直线y＝mx与双曲线y＝交于A，B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连结BM，若S△ABM＝2，则k的值为( )A

A．－2 B．2 C．4 D．－4
变式2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边AB∥x轴，点A在双曲线y＝(x＜0)上，点B在双曲线y＝(x＞0)上，边AC的中点D在x轴上，△ABC的面积为8，求k的值．

方法1解：设B(a，)，∵AB∥x轴，∴点A的纵坐标为，在y＝中，
将y＝代入，得x＝，∴A(，)，∴AB＝a－，
∵D为AC的中点，∴S△ABD＝S△ABC＝4，∴(a－)·(－)＝4，
解得k＝－3
方法2，利用面积，▲AOB的面积=4
变式3．如图，过x轴正半轴上的任意一点P，作y轴的平行线，分别与反比例函数y＝－和y＝的图象交于A，B两点．若点C是y轴上任意一点，连结AC，BC，则△ABC的面积为( )C

A．3 B．4 C．5 D．10
变式4．如图，过y轴上一个动点M作x轴的平行线，交双曲线y=于点A，交双曲线y=于点B，点C、点D在x轴上运动，且始终保持DC=AB，则平行四边形ABCD的面积是（　　）C
 
A. 7                                       B. 10                                    C. 14                                   D. 28
变式5．如图，点A，B是反比例函数y=（x＞0）图象上的两点，过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连接OA，BC，已知点C（2，0），BD=2，S△BCD=3，则S△AOC=__．

【答案】5．
∵BD⊥CD，BD=2，∴S△BCD=BD•CD=3，即CD=3．
∵C（2，0），即OC=2，∴OD=OC+CD=2+3=5，∴B（5，2），代入反比例解析式得：k=10，即y=，则S△AOC=5．
变式6．如图，点C在反比例函数y=（x>0）的图象上，过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且AB=BC，△AOB的面积为1，则k的值为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解答】过点C作轴，

设点 ，则
得到点C的坐标为： 的面积为1，即

变式7．如图，过点P（2，3）分别作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，PC，PD分别交反比例函数y（x＞0）的图象于点A，B，△OAB的面积为，则k的值是（　　）

A．2 B． C． D．3
【答案】A
【解析】解：由题意B（，3），A（2，），∵S△AOB，
∴2×3•（2）（3），解得k＝2或﹣2（舍弃），故选：A．
变式8．如图，已知点A，C在反比例函数y= （a＞0）的图象上，点B，D在反比例函数y= （b＜0）的图象上，AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB=3，CD=2，AB与CD的距离为5，则a﹣b的值是________．

变式9．如图，A，B两点在反比例函数的图象上，C、D两点在反比例函数的图象上，AC⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点F，AC=2，BD=3，EF=，则（　　）A
A．4 B． C． D．6

变式10．如图，已知点A、C在反比例函数的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，a＞b＞0，AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB=，CD=，AB与CD间的距离为6，则的值是　 　3


三、综合运用
综合练习1．如图，已知在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点和点，分别交反比例函数，的图象于点和点，过点作轴于点，连结. 若的面积与的面积相等，则的值是_____.

【答案】2.
如图，过点作轴于.

把y=0代入得：x=2，故OA=2由反比例函数比例系数的几何意义，
可得，.∵，
∴，∴.
易证，从而，即的横坐标为，而在直线上，
∴∴.
综合练习2．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上，顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，将沿轴翻折，使点落在轴上的点处，点恰好为的中点，与交于点.若图象经过点，且，则的值为____.

【答案】24.
作，作，如图，设，，

依题可得：，∴，∴，∵为中点，
∴，∴，∵四边形是平行四边形，
∴，，，∴，
∴，又∵，∴，∴，
又∵，∴即，∴，
∵在反比例函数上，∴.
综合练习3．如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数与(x＞0，0＜m＜n)的图象上，对角线BD//y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4．
（1）当m=4，n=20时．
①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式．
②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．

【答案】（1）①；②四边形是菱形，理由见解析；（2）四边形能是正方形，理由见解析，m+n=32.
（1）①如图1，

，反比例函数为，当时，，，
当时，，，，设直线的解析式为，
， ，直线的解析式为；
②四边形是菱形，理由如下：如图2，

由①知，，轴，，点是线段的中点，，
当时，由得，，
由得，，，，，
，四边形为平行四边形，，四边形是菱形；
（2）四边形能是正方形，
理由：当四边形是正方形，记，的交点为，,
当时，，，，，
，，，， ，.
综合练习4．点P，Q，R在反比例函数（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3．若OE＝ED＝DC，S1＋S3＝27，则S2的值为_______．

【答案】 解：由题意知：矩形的面积
同理：矩形，矩形的面积都为，


二、反比例函数性质
1、制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作，设该材料温度为y（℃）从加热开始计算的时间为x（min）．据了解，当该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系：停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图）．已知在操作加热前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．
（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；
（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？

【答案】见解析
【解析】解：（1）当0≤x≤5时，
设一次函数解析式为y＝kx+b，
把（0，15），（5，60）代入得，解得，所以一次函数解析式为y＝9x+15；
当x＞5时，设反比例函数解析式为y，
把（5，60）代入得m＝5×60＝300，所以反比例函数解析式为y；
（2）当y＝15时，15，解得x＝20，
所以从开始加热到停止操作，共经历了20分钟．

练习1．小明同学训练某种运算技能，每次训练完成相同数量的题目，各次训练题目难度相当．当训练次数不超过15次时，完成一次训练所需要的时间y（单位：秒）与训练次数x（单位：次）之间满足如图所示的反比例函数关系．完成第3次训练所需时间为400秒．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x的值为6，8，10时，对应的函数值分别为y1，y2，y3，比较（y1-y2）与（y2-y3）的大小： y1-y2 y2-y3．

【答案】（1）；（2）
解：(1) 设反比例函数解析式为
将点(3,400)代入，即得
故反比例函数的解析式为：.故答案为：.
(2)当x=6时，代入反比例函数中，解得，
当x=8时，代入反比例函数中，解得，
当x=10时，代入反比例函数中，解得，
∴∴.
练习2．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度p（单位：kg／m3）是体积V（单位：m3）的反比例函数，它的图象如图所示，当V=10m3时，气体的密度是（ ）

A．50 kg／m3 B．2 kg／m3 C．100 kg／m3 D．1 kg／m3
【答案】D
设函数解析式为将点(5,2)代入得：解得：k=10∴函数解析式为令V=10，则
练习3．如图，在某温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后气缸内气体的体积与气体对气缸壁产生的压强的关系可以用如图所示的函数图象进行表示，下列说法正确的是（ ）

A．气压P与体积V的关系式为
B．当气压时，体积V的取值范围为
C．当体积V变为原来的一半时，对应的气压P也变为原来的一半
D．当时，气压P随着体积V的增大而减小
【答案】D
解：当V=60时，P=100，则PV=6000，
A．气压P与体积V表达式为P= ，k＞0，故本选项不符合题意；
B．当P=70时，V=＞80，故本选项不符合题意；
C．当体积V变为原来的一半时，对应的气压P变为原来的两倍，本选项不符合题意；
D．当60≤V≤100时，气压P随着体积V的增大而减小，本选项符合题意；

练习4．教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间（min）的关系如图，为了在上午第一节下课时（8：45）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的

A．7：20 B．7：30 C．7：45 D．7：50
【答案】A
【解析】
∵开机加热时每分钟上升10℃，∴从30℃到100℃需要7分钟．
设一次函数关系式为：y=k1x+b，
将（0，30），（7，100）代入y=k1x+b得k1=10，b=30．∴y=10x+30（0≤x≤7）．
令y=50，解得x=2；设反比例函数关系式为：，将（7，100）代入得k=700，∴．
将y=30代入，解得．∴（7≤x≤）．令y=50，解得x=14．

∴饮水机的一个循环周期为 分钟．每一个循环周期内，在0≤x≤2及14≤x≤时间段内，水温不超过50℃．
逐一分析如下：
选项A：7：20至8：45之间有85分钟．85﹣×3=15，位于14≤x≤时间段内，故可行；
选项B：7：30至8：45之间有75分钟．75﹣×3=5，不在0≤x≤2及14≤x≤时间段内，故不可行；
选项C：7：45至8：45之间有60分钟．60﹣×2=≈13.3，不在0≤x≤2及14≤x≤时间段内，故不可行；
选项D：7：50至8：45之间有55分钟．55﹣×2=≈8.3，不在0≤x≤2及14≤x≤时间段内，故不可行．
综上所述，四个选项中，唯有7：20符合题意．故选A．
练习5．台州沿海高速的开通，大大方便了玉环人民的出行、玉环至台州段全长38公里，记小车在此段高速的时间为t小时，平均速度为v千米/小时，且平均速度限定不小于60千米/小时，不超过100千米/小时．

（1）求v关于t的函数表达式和自变量t的取值范围；
（2）张老师家住在距离高速进口站的4千米的地方，工作单位学校在出口站附近，距离出口站约6千米，某天张老师开车从家去学校上班，准备从家出来是早上7：00整，学校规定早上7：50以后到校属于迟到，若从家到进口站和从出口站到学校的平均速度为50千米/小时，假如进收费站、出收费站及等特的时间共计需6分钟，请你通过计算判断张老师是否可能迟到，若有可能迟到，应至少提前多长时间出发？
【答案】（1）v＝38t，1930≤t≤1950（2）张老师可能迟到，应至少提前685分钟出发
【解析】
（1）由题意得：v＝38t，∵60≤v≤100，∴1930≤t≤1950，∴v＝38t，1930≤t≤1950；
（2）可能迟到．
∵张老师从家到进口站和从出口站到学校的总时间为：660+(38+4+6)梅50=5350，
∵5060