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2022年山东省滨州市阳信县集团校中考数学一模试卷
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这是一份2022年山东省滨州市阳信县集团校中考数学一模试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年山东省滨州市阳信县集团校中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1．（3分）下列四个图形中，既能通过平移变换得到，又能通过旋转变换得到，还能通过轴对称变换得到的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）2021年5月15日，天问一号探测器成功着陆火星，中国成为全世界第二个实现火星着陆的国家．据测算，地球到火星的最近距离约为55000000km，将数据55000000用科学记数法表示为（ ）
A．5.5×106 B．0.55×108 C．5.5×107 D．55×106
3．（3分）16的算术平方根的倒数是（ ）
A．14 B．±14 C．12 D．±12
4．（3分）如图所示的几何体的主视图为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简|a﹣1|−(a−2)2的结果是（ ）
A．3﹣2a B．﹣1 C．1 D．2a﹣3
6．（3分）分式x+a3x−1中，当x＝﹣a时，下列结论正确的是（ ）
A．分式的值为零
B．分式无意义
C．若a≠−13时，分式的值为零
D．若a≠13时，分式的值为零
7．（3分）一次函数y＝ax+b与反比例函数y=cx的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞14且k≠1 B．k≥14且k≠1 C．k＞14 D．k≥14
9．（3分）关于x，y的二元一次方程组x+y=5kx−y=9k的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，则k的值是（ ）
A．−34 B．34 C．43 D．−43
10．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（ ）
A．55° B．65° C．60° D．75°
11．（3分）如图，在▱ABCD中，延长AD至点E，使AD＝2DE，连接BE交CD于点F，交AC于点G，则CGAG的值是（ ）
A．23 B．13 C．12 D．34
12．（3分）如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：
①2a+b+c＞0；
②a﹣b+c＜0；
③x（ax+b）≤a+b；
④a＜﹣1．
其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13．（4分）已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为点A（2，1）、点B（2，0）、点O（0，0），若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为 ．
14．（4分）若多项式x2+ax+b分解因式的结果为（x+1）（x﹣2），则a+b的值为 ．
15．（4分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2=4x的图象交于A（1，m），B（4，n）两点．则不等式kx+b−4x≥0的解集为 ．
16．（4分）若关于x的不等式组x−24＜x−132x−m≤2−x有且只有两个整数解，则m的取值范围是 ．
17．（4分）关于x的方程2x+ax−1=1的解是正数，则a的取值范围是 ．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0）…，则点P2020的坐标是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共60.0分）
19．（8分）（1）计算：|﹣2|−8+(12)−1−(3)2；
（2）先化简，再求值：a2−2ab+b22a−2b÷(1b−1a)，其中a=5+1，b=5−1．
20．（12分）中华文化，源远流长，在文学方面，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”，某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题：
（1）本次调查所得数据的众数是 部，中位数是 部，扇形统计图中“1部”所在扇形的圆心角为 度．
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）没有读过四大古典名著的两名学生准备从四大古典名著中各自随机选择一部来阅读，则他们选中同一名著的概率为 ．
21．（6分）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，已知CM＝3m，CO＝5m，DO＝3m，∠AOD＝70°，汽车从A处前行多少米才能发现C处的儿童（结果保留整数）？
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75；sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
22．（10分）为迎接建党一百周年，我市计划用两种花卉对某广场进行美化．已知用600元购买A种花卉与用900元购买B种花卉的数量相等，且B种花卉每盆比A种花卉多0.5元．
（1）A，B两种花卉每盆各多少元？
（2）计划购买A，B两种花卉共6000盆，其中A种花卉的数量不超过B种花卉数量的13，求购买A种花卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？
23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．
（1）求证：①BC是⊙O的切线；
②CD2＝CE•CA；
（2）若点F是劣弧AD的中点，且CE＝3，试求阴影部分的面积．
24．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+4x+c经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点，其对称轴与x轴交于点C．
（1）求该抛物线和直线BC的解析式；
（2）设抛物线与直线BC相交于点D，求△ABD的面积；
（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAB的周长最小？若存在，求出Q点的坐标及△QAB最小周长；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1．（3分）下列四个图形中，既能通过平移变换得到，又能通过旋转变换得到，还能通过轴对称变换得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据平移变换的性质，旋转变换的性质判断即可．
【解答】解：A、只能通过旋转得到，本选项不符合题意；
B、只能通过轴对称得到，本选项不符合题意；
C、只能通过旋转变换得到，本选项不符合题意；
D、可以通过平移变换得到，也可以通过旋转变换和轴对称变换得到，本选项符合题意．
故选：D．
2．（3分）2021年5月15日，天问一号探测器成功着陆火星，中国成为全世界第二个实现火星着陆的国家．据测算，地球到火星的最近距离约为55000000km，将数据55000000用科学记数法表示为（ ）
A．5.5×106 B．0.55×108 C．5.5×107 D．55×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将55000000用科学记数法表示为5.5×107．
故选：C．
3．（3分）16的算术平方根的倒数是（ ）
A．14 B．±14 C．12 D．±12
【分析】直接利用实数的性质结合算术平方根以及倒数的定义分析得出答案．
【解答】解：16=4，则4的算术平方根为2，
故2的倒数是：12．
故选：C．
4．（3分）如图所示的几何体的主视图为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据主视图的意义得出该几何体的主视图即可．
【解答】解：从正面看该几何体，是一行两个矩形，
故选：D．
5．（3分）已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简|a﹣1|−(a−2)2的结果是（ ）
A．3﹣2a B．﹣1 C．1 D．2a﹣3
【分析】根据数轴上a点的位置，判断出（a﹣1）和（a﹣2）的符号，再根据非负数的性质进行化简．
【解答】解：由图知：1＜a＜2，
∴a﹣1＞0，a﹣2＜0，
原式＝a﹣1﹣[﹣（a﹣2）]＝a﹣1+（a﹣2）＝2a﹣3．
故选：D．
6．（3分）分式x+a3x−1中，当x＝﹣a时，下列结论正确的是（ ）
A．分式的值为零
B．分式无意义
C．若a≠−13时，分式的值为零
D．若a≠13时，分式的值为零
【分析】当x＝﹣a时，分式的分子是0即分式的值是0，但前提是只有在保证分式的分母不为0时，分式才有意义．
【解答】解：由3x﹣1≠0，得x≠13，
故把x＝﹣a代入分式x+a3x−1中，当x＝﹣a且﹣a≠13时，即a≠−13时，分式的值为零．
故选：C．
7．（3分）一次函数y＝ax+b与反比例函数y=cx的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数与反比例函数图象找出a、b、c的正负，再根据抛物线的对称轴为x=−b2a，找出二次函数对称轴在y轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y1＝ax+b图象过第一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴−b2a＞0，
∴二次函数y3＝ax2+bx+c开口向下，二次函数y3＝ax2+bx+c对称轴在y轴右侧；
∵反比例函数y2=cx的图象在第一、三象限，
∴c＞0，
∴与y轴交点在x轴上方．
满足上述条件的函数图象只有选项A．
故选：A．
8．（3分）关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞14且k≠1 B．k≥14且k≠1 C．k＞14 D．k≥14
【分析】分k﹣1＝0和k﹣1≠0两种情况，利用根的判别式求解可得．
【解答】解：当k﹣1≠0，即k≠1时，此方程为一元二次方程．
∵关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，
∴Δ＝（2k+1）2﹣4×（k﹣1）2×1＝12k﹣3≥0，
解得k≥14；
当k﹣1＝0，即k＝1时，方程为3x+1＝0，显然有解；
综上，k的取值范围是k≥14，
故选：D．
9．（3分）关于x，y的二元一次方程组x+y=5kx−y=9k的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，则k的值是（ ）
A．−34 B．34 C．43 D．−43
【分析】先求出方程组的解，把x、y的值代入方程2x+3y＝6，即可求出k．
【解答】解：解方程组x+y=5kx−y=9k得：x=7ky=−2k，
∵关于x，y的二元一次方程组x+y=5kx−y=9k的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，
∴代入得：14k﹣6k＝6，
解得：k=34，
故选：B．
10．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（ ）
A．55° B．65° C．60° D．75°
【分析】连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD＝CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接CD，
∵∠A＝50°，
∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，
∵E是边BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴∠ODB＝∠ODC=12∠BDC＝65°，
故选：B．
11．（3分）如图，在▱ABCD中，延长AD至点E，使AD＝2DE，连接BE交CD于点F，交AC于点G，则CGAG的值是（ ）
A．23 B．13 C．12 D．34
【分析】根据平行四边形的性质得出CD∥AB，利用相似三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴△DEF∽△ABE，
∴DFAB=DEAE，
∵AD＝2DE，
∴DFAB=DEDE+2DE=13，
∵AB＝CD，
∴DFAB=DFCD=13，
∴FC＝2DF，
∵AB∥CD，
∴△GFC∽△GBA，
∴CGAG=FCAB=2DF3DF=23，
故选：A．
12．（3分）如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：
①2a+b+c＞0；
②a﹣b+c＜0；
③x（ax+b）≤a+b；
④a＜﹣1．
其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，利用对称轴方程得到b＝﹣2a，则2a+b+c＝c＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，则当x＝﹣1时，y＜0，于是可对②进行判断；根据二次函数的性质得到x＝1时，二次函数有最大值，则ax2+bx+c≤a+b+c，于是可对③进行判断；由于直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，利用函数图象得x＝3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c＜﹣3+c，然后把b＝﹣2a代入解a的不等式，则可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b+c＝2a﹣2a+c＝c＞0，所以①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，
而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以②正确；
∵x＝1时，二次函数有最大值，
∴ax2+bx+c≤a+b+c，
∴ax2+bx≤a+b，所以③正确；
∵直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，
∴x＝3时，一次函数值比二次函数值大，
即9a+3b+c＜﹣3+c，
而b＝﹣2a，
∴9a﹣6a＜﹣3，解得a＜﹣1，所以④正确．
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13．（4分）已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为点A（2，1）、点B（2，0）、点O（0，0），若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为 （4，2）或（﹣4，﹣2） ．
【分析】根据位似变换的定义，作出图形，可得结论．
【解答】解：如图，观察图象可知，点A的对应点的坐标为（4，2）或（﹣4，﹣2）．
故答案为：（4，2）或（﹣4，﹣2）．
14．（4分）若多项式x2+ax+b分解因式的结果为（x+1）（x﹣2），则a+b的值为 ﹣3 ．
【分析】利用整式的乘法计算（x+1）（x﹣2），按二次项、一次项、常数项整理，与多项式x2+ax+b对应，得出a、b的值代入即可．
【解答】解：（x+1）（x﹣2）
＝x2﹣2x+x﹣2
＝x2﹣x﹣2
所以a＝﹣1，b＝﹣2，
则a+b＝﹣3．
故答案为：﹣3．
15．（4分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2=4x的图象交于A（1，m），B（4，n）两点．则不等式kx+b−4x≥0的解集为 x＜0或1≤x≤4 ．
【分析】从函数图象看，当x＜0和1≤x≤4时，y1在y2的上方，从而求解．
【解答】解：从函数图象看，当x＜0和1≤x≤4时，y1在y2的上方，
故不等式kx+b−4x≥0的解集为x＜0或1≤x≤4，
故答案为：x＜0或1≤x≤4．
16．（4分）若关于x的不等式组x−24＜x−132x−m≤2−x有且只有两个整数解，则m的取值范围是 ﹣2≤m＜1 ．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后根据已知得出关于m的不等式组，求出即可．
【解答】解：x−24＜x−13①2x−m≤2−x②
解不等式①得：x＞﹣2，
解不等式②得：x≤m+23，
∴不等式组的解集为﹣2＜x≤m+23，
∵不等式组只有两个整数解，
∴0≤m+23＜1，
解得：﹣2≤m＜1，
故答案为﹣2≤m＜1．
17．（4分）关于x的方程2x+ax−1=1的解是正数，则a的取值范围是 a＜﹣1且a≠﹣2 ．
【分析】先去分母得2x+a＝x﹣1，可解得x＝﹣a﹣1，由于关于x的方程2x+ax−1=1的解是正数，则x＞0并且x﹣1≠0，即﹣a﹣1＞0且﹣a﹣1≠1，解得a＜﹣1且a≠﹣2．
【解答】解：去分母得2x+a＝x﹣1，
解得x＝﹣a﹣1，
∵关于x的方程2x+ax−1=1的解是正数，
∴x＞0且x≠1，
∴﹣a﹣1＞0且﹣a﹣1≠1，解得a＜﹣1且a≠﹣2，
∴a的取值范围是a＜﹣1且a≠﹣2．
故答案为：a＜﹣1且a≠﹣2．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0）…，则点P2020的坐标是 （673，﹣1） ．
【分析】由P3、P6、P9 可得规律：当下标为3的整数倍时，横坐标为n3，纵坐标为0，据此可解．
【解答】解：由P3、P6、P9 可得规律：当下标为3的整数倍时，横坐标为n3，纵坐标为0，
∵2019÷3＝673，
∴P2019 （673，0），
则点P2019的坐标是 （673，0）．
∴点P2020的坐标是（673，﹣1），
故答案为：（673，﹣1）．
三、解答题（本大题共6小题，共60.0分）
19．（8分）（1）计算：|﹣2|−8+(12)−1−(3)2；
（2）先化简，再求值：a2−2ab+b22a−2b÷(1b−1a)，其中a=5+1，b=5−1．
【分析】（1）先化简，然后合并同类项即可；
（2）先算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可将题目中的式子化简，然后将a、b的值代入计算即可．
【解答】解：（1）|﹣2|−8+(12)−1−(3)2
＝2﹣22+2﹣3
＝1﹣22；
（2）a2−2ab+b22a−2b÷(1b−1a)
=(a−b)22(a−b)÷a−bab
=(a−b)22(a−b)⋅aba−b
=ab2，
当a=5+1，b=5−1时，原式=(5+1)(5−1)2=5−12=42=2．
20．（12分）中华文化，源远流长，在文学方面，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”，某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题：
（1）本次调查所得数据的众数是 1 部，中位数是 2 部，扇形统计图中“1部”所在扇形的圆心角为 126 度．
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）没有读过四大古典名著的两名学生准备从四大古典名著中各自随机选择一部来阅读，则他们选中同一名著的概率为 14 ．
【分析】（1）先根据调查的总人数，求得1部对应的人数，进而得到本次调查所得数据的众数以及中位数，根据扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°，即可得到“1部”所在扇形的圆心角；
（2）根据1部对应的人数为40﹣2﹣10﹣8﹣6＝14，即可将条形统计图补充完整；
（3）根据树状图所得的结果，判断他们选中同一名著的概率．
【解答】解：（1）调查的总人数为：10÷25%＝40，
∴1部对应的人数为40﹣2﹣10﹣8﹣6＝14，
∴本次调查所得数据的众数是1部，
∵2+14+10＝26＞21，2+14＜20，
∴中位数为2部，
扇形统计图中“1部”所在扇形的圆心角为：1440×360°＝126°；
故答案为：1，2，126；
（2）条形统计图如图所示，
（3）将《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》分别记作A，B，C，D，
画树状图可得：
共有16种等可能的结果，其中选中同一名著的有4种，
故P（两人选中同一名著）=416=14．
故答案为：14．
21．（6分）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，已知CM＝3m，CO＝5m，DO＝3m，∠AOD＝70°，汽车从A处前行多少米才能发现C处的儿童（结果保留整数）？
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75；sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
【分析】利用勾股定理求出OM，证明△COM∽△BOD，求出BD，在△AOD中，利用三角函数的定义求出AB即可．
【解答】解：∵CM＝3m，OC＝5m，
∴OM=OC2−CM2=4（m），
∵∠CMO＝∠BDO＝90°，∠COM＝∠BOD，
∴△COM∽△BOD，
∴CMBD=OMOD，即3BD=43，
∴BD=94=2.25（m），
∴tan∠AOD＝tan70°=ADDO，
即AB+BDDO=AB+2.253≈2.75，
解得：AB＝6m，
∴汽车从A处前行约6米才能发现C处的儿童．
22．（10分）为迎接建党一百周年，我市计划用两种花卉对某广场进行美化．已知用600元购买A种花卉与用900元购买B种花卉的数量相等，且B种花卉每盆比A种花卉多0.5元．
（1）A，B两种花卉每盆各多少元？
（2）计划购买A，B两种花卉共6000盆，其中A种花卉的数量不超过B种花卉数量的13，求购买A种花卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？
【分析】（1）设A种花卉每盆x元，B种花卉每盆（x+0.5）元，根据题意列出关于x的分式方程，求解、验根即可；
（2）根据两种花卉的费用之和列出函数关系式，再根据t的取值范围求函数最值即可．
【解答】解：（1）设A种花卉每盆x元，B种花卉每盆（x+0.5）元，
根据题意，得：600x=900x+0.5，
解这个方程，得：x＝1，
经检验，x＝1是原方程的解，并符合题意，
此时，x+0.5＝1+0.5＝1.5（元），
∴A种花卉每盆1元，B种花卉每盆1.5元；
（2）设购买A种花卉t盆，购买这批花卉的总费用为w元，
由题意，得：w＝t+1.5（6000﹣t）＝﹣0.5t+9000，
∵t≤13（6000﹣t），
解得：t≤1500，
∵w是t的一次函数，﹣0.5＜0，
∴w随t的增大而减小，
∴当t＝1500时，w最小，
wmin＝﹣0.5×1500+9000＝8250（元），
∴购买A种花卉1500盆时购买这批花卉总费用最低，最低费用是8250元．
23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．
（1）求证：①BC是⊙O的切线；
②CD2＝CE•CA；
（2）若点F是劣弧AD的中点，且CE＝3，试求阴影部分的面积．
【分析】（1）①证明DO∥AB，即可求解；②证明CDE∽△CAD，即可求解；
（2）证明△OFD、△OFA是等边三角形，S阴影＝S扇形DFO，即可求解．
【解答】解：（1）①连接OD，
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠DAO，
∵OD＝OA，∴∠DAO＝∠ODA，
则∠DAB＝∠ODA，
∴DO∥AB，而∠B＝90°，
∴∠ODB＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
②连接DE，
∵BC是⊙O的切线，∴∠CDE＝∠DAC，
∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD，
∴CD2＝CE•CA；
（2）连接DE、OD、DF、OF，设圆的半径为R，
∵点F是劣弧AD的中点，∴是OF是DA中垂线，
∴DF＝AF，∴∠FDA＝∠FAD，
∵DO∥AB，∴∠ODA＝∠DAF，
∴∠ADO＝∠DAO＝∠FDA＝∠FAD，
∴AF＝DF＝OA＝OD，
∴△OFD、△OFA是等边三角形，则DF∥AC，
故S阴影＝S扇形DFO，
∴∠C＝30°，
∴OD=12OC=12（OE+EC），而OE＝OD，
∴CE＝OE＝R＝3，
S阴影＝S扇形DFO=60360×π×32=3π2．
24．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+4x+c经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点，其对称轴与x轴交于点C．
（1）求该抛物线和直线BC的解析式；
（2）设抛物线与直线BC相交于点D，求△ABD的面积；
（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAB的周长最小？若存在，求出Q点的坐标及△QAB最小周长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A、点B的坐标代入可得出抛物线的解析式，从而得出点C的坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式．
（2）求出点D的坐标，然后根据S△ABD＝S△ACD+S△ABC进行计算，即可得出答案．
（3）AB长度固定，只需满足QA+QB最小即可，找点A关于对称轴的对称点A'，连接A'B，则A'B与对称轴的交点即是点Q的位置，求出其坐标即可．
【解答】解：（1）将A（2，0）、B（0，﹣6）代入抛物线解析式得：4a+8+c=0c=−6，
解得：a=−12c=−6，
故抛物线的解析式为：y=−12x2+4x﹣6，
其对称轴为：x＝4，
故点C的坐标为（4，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B、点C的坐标代入可得：4k+b=0b=−6，
解得：k=32b=−6，
故直线BC的解析式为y=32x﹣6；
（2）联立直线BC与抛物线的解析式：y=−12x2+4x−6y=32x−6，
解得：x=0y=−6或x=5y=32，
故点D的坐标为（5，32），
则S△ABD＝S△ACD+S△ABC=12AC×D纵+12AC×|B纵|=152．
（3）存在点Q，使得△QAB的周长最小；
点A关于抛物线对称轴的对称点为A'，连接A'B，则A'B与对称轴的交点即是点Q的位置：
A'坐标为（6，0），B（0，﹣6），
设直线A'B的解析式为：y＝mx+n，代入两点坐标可得：6m+n=0n=−6，
解得：m=1n=−6，
即直线A'B的解析式为y＝x﹣6，
故点Q的坐标为（4，﹣2）．
即存在点Q的坐标（4，﹣2）时，使得△QAB的周长最小．
2022年山东省滨州市阳信县集团校中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1．（3分）下列四个图形中，既能通过平移变换得到，又能通过旋转变换得到，还能通过轴对称变换得到的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）2021年5月15日，天问一号探测器成功着陆火星，中国成为全世界第二个实现火星着陆的国家．据测算，地球到火星的最近距离约为55000000km，将数据55000000用科学记数法表示为（ ）
A．5.5×106 B．0.55×108 C．5.5×107 D．55×106
3．（3分）16的算术平方根的倒数是（ ）
A．14 B．±14 C．12 D．±12
4．（3分）如图所示的几何体的主视图为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简|a﹣1|−(a−2)2的结果是（ ）
A．3﹣2a B．﹣1 C．1 D．2a﹣3
6．（3分）分式x+a3x−1中，当x＝﹣a时，下列结论正确的是（ ）
A．分式的值为零
B．分式无意义
C．若a≠−13时，分式的值为零
D．若a≠13时，分式的值为零
7．（3分）一次函数y＝ax+b与反比例函数y=cx的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞14且k≠1 B．k≥14且k≠1 C．k＞14 D．k≥14
9．（3分）关于x，y的二元一次方程组x+y=5kx−y=9k的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，则k的值是（ ）
A．−34 B．34 C．43 D．−43
10．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（ ）
A．55° B．65° C．60° D．75°
11．（3分）如图，在▱ABCD中，延长AD至点E，使AD＝2DE，连接BE交CD于点F，交AC于点G，则CGAG的值是（ ）
A．23 B．13 C．12 D．34
12．（3分）如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：
①2a+b+c＞0；
②a﹣b+c＜0；
③x（ax+b）≤a+b；
④a＜﹣1．
其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13．（4分）已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为点A（2，1）、点B（2，0）、点O（0，0），若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为 ．
14．（4分）若多项式x2+ax+b分解因式的结果为（x+1）（x﹣2），则a+b的值为 ．
15．（4分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2=4x的图象交于A（1，m），B（4，n）两点．则不等式kx+b−4x≥0的解集为 ．
16．（4分）若关于x的不等式组x−24＜x−132x−m≤2−x有且只有两个整数解，则m的取值范围是 ．
17．（4分）关于x的方程2x+ax−1=1的解是正数，则a的取值范围是 ．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0）…，则点P2020的坐标是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共60.0分）
19．（8分）（1）计算：|﹣2|−8+(12)−1−(3)2；
（2）先化简，再求值：a2−2ab+b22a−2b÷(1b−1a)，其中a=5+1，b=5−1．
20．（12分）中华文化，源远流长，在文学方面，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”，某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题：
（1）本次调查所得数据的众数是 部，中位数是 部，扇形统计图中“1部”所在扇形的圆心角为 度．
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）没有读过四大古典名著的两名学生准备从四大古典名著中各自随机选择一部来阅读，则他们选中同一名著的概率为 ．
21．（6分）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，已知CM＝3m，CO＝5m，DO＝3m，∠AOD＝70°，汽车从A处前行多少米才能发现C处的儿童（结果保留整数）？
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75；sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
22．（10分）为迎接建党一百周年，我市计划用两种花卉对某广场进行美化．已知用600元购买A种花卉与用900元购买B种花卉的数量相等，且B种花卉每盆比A种花卉多0.5元．
（1）A，B两种花卉每盆各多少元？
（2）计划购买A，B两种花卉共6000盆，其中A种花卉的数量不超过B种花卉数量的13，求购买A种花卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？
23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．
（1）求证：①BC是⊙O的切线；
②CD2＝CE•CA；
（2）若点F是劣弧AD的中点，且CE＝3，试求阴影部分的面积．
24．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+4x+c经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点，其对称轴与x轴交于点C．
（1）求该抛物线和直线BC的解析式；
（2）设抛物线与直线BC相交于点D，求△ABD的面积；
（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAB的周长最小？若存在，求出Q点的坐标及△QAB最小周长；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1．（3分）下列四个图形中，既能通过平移变换得到，又能通过旋转变换得到，还能通过轴对称变换得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据平移变换的性质，旋转变换的性质判断即可．
【解答】解：A、只能通过旋转得到，本选项不符合题意；
B、只能通过轴对称得到，本选项不符合题意；
C、只能通过旋转变换得到，本选项不符合题意；
D、可以通过平移变换得到，也可以通过旋转变换和轴对称变换得到，本选项符合题意．
故选：D．
2．（3分）2021年5月15日，天问一号探测器成功着陆火星，中国成为全世界第二个实现火星着陆的国家．据测算，地球到火星的最近距离约为55000000km，将数据55000000用科学记数法表示为（ ）
A．5.5×106 B．0.55×108 C．5.5×107 D．55×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将55000000用科学记数法表示为5.5×107．
故选：C．
3．（3分）16的算术平方根的倒数是（ ）
A．14 B．±14 C．12 D．±12
【分析】直接利用实数的性质结合算术平方根以及倒数的定义分析得出答案．
【解答】解：16=4，则4的算术平方根为2，
故2的倒数是：12．
故选：C．
4．（3分）如图所示的几何体的主视图为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据主视图的意义得出该几何体的主视图即可．
【解答】解：从正面看该几何体，是一行两个矩形，
故选：D．
5．（3分）已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简|a﹣1|−(a−2)2的结果是（ ）
A．3﹣2a B．﹣1 C．1 D．2a﹣3
【分析】根据数轴上a点的位置，判断出（a﹣1）和（a﹣2）的符号，再根据非负数的性质进行化简．
【解答】解：由图知：1＜a＜2，
∴a﹣1＞0，a﹣2＜0，
原式＝a﹣1﹣[﹣（a﹣2）]＝a﹣1+（a﹣2）＝2a﹣3．
故选：D．
6．（3分）分式x+a3x−1中，当x＝﹣a时，下列结论正确的是（ ）
A．分式的值为零
B．分式无意义
C．若a≠−13时，分式的值为零
D．若a≠13时，分式的值为零
【分析】当x＝﹣a时，分式的分子是0即分式的值是0，但前提是只有在保证分式的分母不为0时，分式才有意义．
【解答】解：由3x﹣1≠0，得x≠13，
故把x＝﹣a代入分式x+a3x−1中，当x＝﹣a且﹣a≠13时，即a≠−13时，分式的值为零．
故选：C．
7．（3分）一次函数y＝ax+b与反比例函数y=cx的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数与反比例函数图象找出a、b、c的正负，再根据抛物线的对称轴为x=−b2a，找出二次函数对称轴在y轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y1＝ax+b图象过第一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴−b2a＞0，
∴二次函数y3＝ax2+bx+c开口向下，二次函数y3＝ax2+bx+c对称轴在y轴右侧；
∵反比例函数y2=cx的图象在第一、三象限，
∴c＞0，
∴与y轴交点在x轴上方．
满足上述条件的函数图象只有选项A．
故选：A．
8．（3分）关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞14且k≠1 B．k≥14且k≠1 C．k＞14 D．k≥14
【分析】分k﹣1＝0和k﹣1≠0两种情况，利用根的判别式求解可得．
【解答】解：当k﹣1≠0，即k≠1时，此方程为一元二次方程．
∵关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，
∴Δ＝（2k+1）2﹣4×（k﹣1）2×1＝12k﹣3≥0，
解得k≥14；
当k﹣1＝0，即k＝1时，方程为3x+1＝0，显然有解；
综上，k的取值范围是k≥14，
故选：D．
9．（3分）关于x，y的二元一次方程组x+y=5kx−y=9k的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，则k的值是（ ）
A．−34 B．34 C．43 D．−43
【分析】先求出方程组的解，把x、y的值代入方程2x+3y＝6，即可求出k．
【解答】解：解方程组x+y=5kx−y=9k得：x=7ky=−2k，
∵关于x，y的二元一次方程组x+y=5kx−y=9k的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，
∴代入得：14k﹣6k＝6，
解得：k=34，
故选：B．
10．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（ ）
A．55° B．65° C．60° D．75°
【分析】连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD＝CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接CD，
∵∠A＝50°，
∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，
∵E是边BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴∠ODB＝∠ODC=12∠BDC＝65°，
故选：B．
11．（3分）如图，在▱ABCD中，延长AD至点E，使AD＝2DE，连接BE交CD于点F，交AC于点G，则CGAG的值是（ ）
A．23 B．13 C．12 D．34
【分析】根据平行四边形的性质得出CD∥AB，利用相似三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴△DEF∽△ABE，
∴DFAB=DEAE，
∵AD＝2DE，
∴DFAB=DEDE+2DE=13，
∵AB＝CD，
∴DFAB=DFCD=13，
∴FC＝2DF，
∵AB∥CD，
∴△GFC∽△GBA，
∴CGAG=FCAB=2DF3DF=23，
故选：A．
12．（3分）如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：
①2a+b+c＞0；
②a﹣b+c＜0；
③x（ax+b）≤a+b；
④a＜﹣1．
其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，利用对称轴方程得到b＝﹣2a，则2a+b+c＝c＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，则当x＝﹣1时，y＜0，于是可对②进行判断；根据二次函数的性质得到x＝1时，二次函数有最大值，则ax2+bx+c≤a+b+c，于是可对③进行判断；由于直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，利用函数图象得x＝3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c＜﹣3+c，然后把b＝﹣2a代入解a的不等式，则可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b+c＝2a﹣2a+c＝c＞0，所以①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，
而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以②正确；
∵x＝1时，二次函数有最大值，
∴ax2+bx+c≤a+b+c，
∴ax2+bx≤a+b，所以③正确；
∵直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，
∴x＝3时，一次函数值比二次函数值大，
即9a+3b+c＜﹣3+c，
而b＝﹣2a，
∴9a﹣6a＜﹣3，解得a＜﹣1，所以④正确．
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13．（4分）已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为点A（2，1）、点B（2，0）、点O（0，0），若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为 （4，2）或（﹣4，﹣2） ．
【分析】根据位似变换的定义，作出图形，可得结论．
【解答】解：如图，观察图象可知，点A的对应点的坐标为（4，2）或（﹣4，﹣2）．
故答案为：（4，2）或（﹣4，﹣2）．
14．（4分）若多项式x2+ax+b分解因式的结果为（x+1）（x﹣2），则a+b的值为 ﹣3 ．
【分析】利用整式的乘法计算（x+1）（x﹣2），按二次项、一次项、常数项整理，与多项式x2+ax+b对应，得出a、b的值代入即可．
【解答】解：（x+1）（x﹣2）
＝x2﹣2x+x﹣2
＝x2﹣x﹣2
所以a＝﹣1，b＝﹣2，
则a+b＝﹣3．
故答案为：﹣3．
15．（4分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2=4x的图象交于A（1，m），B（4，n）两点．则不等式kx+b−4x≥0的解集为 x＜0或1≤x≤4 ．
【分析】从函数图象看，当x＜0和1≤x≤4时，y1在y2的上方，从而求解．
【解答】解：从函数图象看，当x＜0和1≤x≤4时，y1在y2的上方，
故不等式kx+b−4x≥0的解集为x＜0或1≤x≤4，
故答案为：x＜0或1≤x≤4．
16．（4分）若关于x的不等式组x−24＜x−132x−m≤2−x有且只有两个整数解，则m的取值范围是 ﹣2≤m＜1 ．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后根据已知得出关于m的不等式组，求出即可．
【解答】解：x−24＜x−13①2x−m≤2−x②
解不等式①得：x＞﹣2，
解不等式②得：x≤m+23，
∴不等式组的解集为﹣2＜x≤m+23，
∵不等式组只有两个整数解，
∴0≤m+23＜1，
解得：﹣2≤m＜1，
故答案为﹣2≤m＜1．
17．（4分）关于x的方程2x+ax−1=1的解是正数，则a的取值范围是 a＜﹣1且a≠﹣2 ．
【分析】先去分母得2x+a＝x﹣1，可解得x＝﹣a﹣1，由于关于x的方程2x+ax−1=1的解是正数，则x＞0并且x﹣1≠0，即﹣a﹣1＞0且﹣a﹣1≠1，解得a＜﹣1且a≠﹣2．
【解答】解：去分母得2x+a＝x﹣1，
解得x＝﹣a﹣1，
∵关于x的方程2x+ax−1=1的解是正数，
∴x＞0且x≠1，
∴﹣a﹣1＞0且﹣a﹣1≠1，解得a＜﹣1且a≠﹣2，
∴a的取值范围是a＜﹣1且a≠﹣2．
故答案为：a＜﹣1且a≠﹣2．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0）…，则点P2020的坐标是 （673，﹣1） ．
【分析】由P3、P6、P9 可得规律：当下标为3的整数倍时，横坐标为n3，纵坐标为0，据此可解．
【解答】解：由P3、P6、P9 可得规律：当下标为3的整数倍时，横坐标为n3，纵坐标为0，
∵2019÷3＝673，
∴P2019 （673，0），
则点P2019的坐标是 （673，0）．
∴点P2020的坐标是（673，﹣1），
故答案为：（673，﹣1）．
三、解答题（本大题共6小题，共60.0分）
19．（8分）（1）计算：|﹣2|−8+(12)−1−(3)2；
（2）先化简，再求值：a2−2ab+b22a−2b÷(1b−1a)，其中a=5+1，b=5−1．
【分析】（1）先化简，然后合并同类项即可；
（2）先算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可将题目中的式子化简，然后将a、b的值代入计算即可．
【解答】解：（1）|﹣2|−8+(12)−1−(3)2
＝2﹣22+2﹣3
＝1﹣22；
（2）a2−2ab+b22a−2b÷(1b−1a)
=(a−b)22(a−b)÷a−bab
=(a−b)22(a−b)⋅aba−b
=ab2，
当a=5+1，b=5−1时，原式=(5+1)(5−1)2=5−12=42=2．
20．（12分）中华文化，源远流长，在文学方面，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”，某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题：
（1）本次调查所得数据的众数是 1 部，中位数是 2 部，扇形统计图中“1部”所在扇形的圆心角为 126 度．
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）没有读过四大古典名著的两名学生准备从四大古典名著中各自随机选择一部来阅读，则他们选中同一名著的概率为 14 ．
【分析】（1）先根据调查的总人数，求得1部对应的人数，进而得到本次调查所得数据的众数以及中位数，根据扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°，即可得到“1部”所在扇形的圆心角；
（2）根据1部对应的人数为40﹣2﹣10﹣8﹣6＝14，即可将条形统计图补充完整；
（3）根据树状图所得的结果，判断他们选中同一名著的概率．
【解答】解：（1）调查的总人数为：10÷25%＝40，
∴1部对应的人数为40﹣2﹣10﹣8﹣6＝14，
∴本次调查所得数据的众数是1部，
∵2+14+10＝26＞21，2+14＜20，
∴中位数为2部，
扇形统计图中“1部”所在扇形的圆心角为：1440×360°＝126°；
故答案为：1，2，126；
（2）条形统计图如图所示，
（3）将《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》分别记作A，B，C，D，
画树状图可得：
共有16种等可能的结果，其中选中同一名著的有4种，
故P（两人选中同一名著）=416=14．
故答案为：14．
21．（6分）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，已知CM＝3m，CO＝5m，DO＝3m，∠AOD＝70°，汽车从A处前行多少米才能发现C处的儿童（结果保留整数）？
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75；sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
【分析】利用勾股定理求出OM，证明△COM∽△BOD，求出BD，在△AOD中，利用三角函数的定义求出AB即可．
【解答】解：∵CM＝3m，OC＝5m，
∴OM=OC2−CM2=4（m），
∵∠CMO＝∠BDO＝90°，∠COM＝∠BOD，
∴△COM∽△BOD，
∴CMBD=OMOD，即3BD=43，
∴BD=94=2.25（m），
∴tan∠AOD＝tan70°=ADDO，
即AB+BDDO=AB+2.253≈2.75，
解得：AB＝6m，
∴汽车从A处前行约6米才能发现C处的儿童．
22．（10分）为迎接建党一百周年，我市计划用两种花卉对某广场进行美化．已知用600元购买A种花卉与用900元购买B种花卉的数量相等，且B种花卉每盆比A种花卉多0.5元．
（1）A，B两种花卉每盆各多少元？
（2）计划购买A，B两种花卉共6000盆，其中A种花卉的数量不超过B种花卉数量的13，求购买A种花卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？
【分析】（1）设A种花卉每盆x元，B种花卉每盆（x+0.5）元，根据题意列出关于x的分式方程，求解、验根即可；
（2）根据两种花卉的费用之和列出函数关系式，再根据t的取值范围求函数最值即可．
【解答】解：（1）设A种花卉每盆x元，B种花卉每盆（x+0.5）元，
根据题意，得：600x=900x+0.5，
解这个方程，得：x＝1，
经检验，x＝1是原方程的解，并符合题意，
此时，x+0.5＝1+0.5＝1.5（元），
∴A种花卉每盆1元，B种花卉每盆1.5元；
（2）设购买A种花卉t盆，购买这批花卉的总费用为w元，
由题意，得：w＝t+1.5（6000﹣t）＝﹣0.5t+9000，
∵t≤13（6000﹣t），
解得：t≤1500，
∵w是t的一次函数，﹣0.5＜0，
∴w随t的增大而减小，
∴当t＝1500时，w最小，
wmin＝﹣0.5×1500+9000＝8250（元），
∴购买A种花卉1500盆时购买这批花卉总费用最低，最低费用是8250元．
23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．
（1）求证：①BC是⊙O的切线；
②CD2＝CE•CA；
（2）若点F是劣弧AD的中点，且CE＝3，试求阴影部分的面积．
【分析】（1）①证明DO∥AB，即可求解；②证明CDE∽△CAD，即可求解；
（2）证明△OFD、△OFA是等边三角形，S阴影＝S扇形DFO，即可求解．
【解答】解：（1）①连接OD，
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠DAO，
∵OD＝OA，∴∠DAO＝∠ODA，
则∠DAB＝∠ODA，
∴DO∥AB，而∠B＝90°，
∴∠ODB＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
②连接DE，
∵BC是⊙O的切线，∴∠CDE＝∠DAC，
∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD，
∴CD2＝CE•CA；
（2）连接DE、OD、DF、OF，设圆的半径为R，
∵点F是劣弧AD的中点，∴是OF是DA中垂线，
∴DF＝AF，∴∠FDA＝∠FAD，
∵DO∥AB，∴∠ODA＝∠DAF，
∴∠ADO＝∠DAO＝∠FDA＝∠FAD，
∴AF＝DF＝OA＝OD，
∴△OFD、△OFA是等边三角形，则DF∥AC，
故S阴影＝S扇形DFO，
∴∠C＝30°，
∴OD=12OC=12（OE+EC），而OE＝OD，
∴CE＝OE＝R＝3，
S阴影＝S扇形DFO=60360×π×32=3π2．
24．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+4x+c经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点，其对称轴与x轴交于点C．
（1）求该抛物线和直线BC的解析式；
（2）设抛物线与直线BC相交于点D，求△ABD的面积；
（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAB的周长最小？若存在，求出Q点的坐标及△QAB最小周长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A、点B的坐标代入可得出抛物线的解析式，从而得出点C的坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式．
（2）求出点D的坐标，然后根据S△ABD＝S△ACD+S△ABC进行计算，即可得出答案．
（3）AB长度固定，只需满足QA+QB最小即可，找点A关于对称轴的对称点A'，连接A'B，则A'B与对称轴的交点即是点Q的位置，求出其坐标即可．
【解答】解：（1）将A（2，0）、B（0，﹣6）代入抛物线解析式得：4a+8+c=0c=−6，
解得：a=−12c=−6，
故抛物线的解析式为：y=−12x2+4x﹣6，
其对称轴为：x＝4，
故点C的坐标为（4，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B、点C的坐标代入可得：4k+b=0b=−6，
解得：k=32b=−6，
故直线BC的解析式为y=32x﹣6；
（2）联立直线BC与抛物线的解析式：y=−12x2+4x−6y=32x−6，
解得：x=0y=−6或x=5y=32，
故点D的坐标为（5，32），
则S△ABD＝S△ACD+S△ABC=12AC×D纵+12AC×|B纵|=152．
（3）存在点Q，使得△QAB的周长最小；
点A关于抛物线对称轴的对称点为A'，连接A'B，则A'B与对称轴的交点即是点Q的位置：
A'坐标为（6，0），B（0，﹣6），
设直线A'B的解析式为：y＝mx+n，代入两点坐标可得：6m+n=0n=−6，
解得：m=1n=−6，
即直线A'B的解析式为y＝x﹣6，
故点Q的坐标为（4，﹣2）．
即存在点Q的坐标（4，﹣2）时，使得△QAB的周长最小．
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