北京市西城区三帆中学2021-2022学年八年级（下）开学数学试卷（含解析）

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 北京市西城区三帆中学2021-2022学年八年级（下）开学数学试卷 一．选择题（本题共8小题，共24分）以下是历届的冬奥会设计的部分图形，其中不是轴对称图形的是A.  B.
C.  D. 下列运算正确的是A.  B.
C.  D. 下列变形从左到右正确的是A.  B.
C.  D. 如图，用直尺和圆规作和，则≌，理由是A.
B.
C.
D. 在平面直角坐标系中，点与点关于某条直线成轴对称，这条直线是A. 轴
B. 轴
C. 直线直线上各点横坐标均为
D. 直线直线上各点纵坐标均为如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中等于A.
B.
C.
D. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，若，，则的长为A.
B.
C.
D. 如图，在中，，，，，平分交于点，、分别是，上的动点，则的最小值为
B.
C.
D. 二．填空题（本题共8小题，共25分）分解因式： ______ ．人类进入时代，科技竞争日趋激烈．据报道，我国已经能大面积生产纳米的芯片，纳米即为米，将其用科学记数法表示为______米．若分式的值大于零，则的取值范围是______．已知一个多边形的内角和比外角和多，则它的边数为______．若，，则的值为______．在平面直角坐标系中，已知，，，若以、、为顶点的三角形与全等，则点的坐标为______．如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，交于点再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点．作直线，若直线经过点，则的度数为______
定义：当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，其中称为“倍角”，如果一个“倍角三角形”的一个内角为，那么倍角的度数是______．三．解答题（本题共9小题，共61分）计算：






 计算：．






 解分式方程：．






 先化简，再求值，其中．






 如图，点，，，在同一条直线上，，，求证：．

  






 为了响应打赢“蓝天保卫战”的号召，黄老师上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，黄老师家距离学校的路程是千米，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车的平均速度的倍，所以黄老师每天上班要比开车早出发分钟，才能按原驾车的时间到达学校．
求黄老师驾车的平均速度；
据测算，黄老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量约为千克，按这样计算，求黄老师一天按一个往返计算可以减少的碳排放量．






 如图，在中，，点是的中点，小明发现，用己学过的“倍长中线”加倍构造全等，就可以测量与数量关系．
请写出与的数景关系，并根据小明的思路，利用图证明这个结论；
如图，在中，于，，分别是，的中点．请利用中的结论，直接写出与的数量与位置关系．







 在等腰中，，点是边上的一个动点点不与点，重合，连接，作等腰，使，，点，在直线两旁，连接．

如图，当时，直接写出与的位置关系；
如图，当时，过点作于点．
若点在线段的延长线上时，请你在图中补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
若点在射线上时，直接写出线段，，之间的数量关系．






 在平面直角坐标系中，将点到轴和轴的距离的较大值定义为点的“相对轴距”，记为即：如果，那么；如果，那么例如：点的“相对轴距”．
点的“相对轴距”______；
请在图中画出“相对轴距”与点的“相对轴距”相等的点组成的图形；
已知点，，，点，是内部含边界的任意两点．
直接写出点与点的“相对轴距”之比的取值范围；
将向左平移个单位得到，点与点为内部含边界的任意两点，并且点与点的“相对轴距”之比的取值范围和点与点的“相对轴距”之比的取值范围相同，请直接写出的取值范围．








答案和解析 1.【答案】
 【解析】解：选项A、、能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 2.【答案】
 【解析】解：、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 3.【答案】
 【解析】解：不符合分式的基本性质，不能推出，故本选项不符合题意；
B.，故本选项符合题意；
C.，故本选项不符合题意；
D.不符合分式的基本性质，不能推出，故本选项不符合题意；
故选：．
根据分式的基本性质逐个判断即可．
本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的基本性质是解此题的关键，分式的分子和分母都乘或除以同一个不等于的数，分式的值不变．
 4.【答案】
 【解析】解：由作图可知，，，
在和中，
，
≌，
故选：．
根据证明三角形全等即可．
本题考查作图复杂作图，解题的刚开始掌握全等三角形的判定方法，读懂图象信息，属于中考常考题型．
 5.【答案】
 【解析】解：点与点，
这条直线是，
故选：．
点与关于直线对称的点纵坐标不变，两点到的距离相等，据此可得其横坐标．
本题主要考查坐标与图形的变化，掌握关于轴对称：横坐标相等，纵坐标互为相反数．关于轴对称：纵坐标相等，横坐标互为相反数．关于直线 对称，， ，，关于直线 对称，， ， 是解题的关键．
 6.【答案】
 【解析】解：如图，

由题意得：，
，
，
，
是的外角，，
，
故选：．
根据三角板上角的度数的特点及三角形内角与外角的关系解答．
主要考查了三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．
 7.【答案】
 【解析】解：垂直平分，
，
，
；
，
，
，
．
，
故选：．
根据线段垂直平分线的性质求出，求出，根据三角形外角的性质求出，根据含角的直角三角形的性质求出，即可求出．
本题考查了含角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质等知识点，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．
 8.【答案】
 【解析】解：在上取一点，使，
，，
≌，
，
，
则最小值时垂直时，的长度，
．

故选：．
利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则的最小值即为点到的垂线段长度．
本题考查了轴对称最短路线问题，解题的关键是根据角平分线构造全等以及线段和差极值问题．
 9.【答案】
 【解析】 【分析】
先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式．
【解答】
解：，
 ，
．  10.【答案】
 【解析】解：．
故答案是：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 11.【答案】且
 【解析】解：分式的值大于零，
，
，
，
，
故答案为且．
由已知可得分子，再由分式的分母不等于零，得到，进而求出的取值．
本题考查分式的值；熟练掌握分式求值的特点，特别注意分式的分母不等于零这个隐含条件是解题的关键．
 12.【答案】
 【解析】解：设这个多边形是边形，
根据题意得，，
解得．
故答案为：．
根据多边形的内角和公式与外角和定理列出方程，然后求解即可．
本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是．
 13.【答案】
 【解析】解：，，
．
故答案为：．
利用完全平方公式，把化为求解即可．
本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是熟记完全平方公式．
 14.【答案】或或
 【解析】解：如图所示，有个三角形和全等，

，，，
的坐标是，的坐标是，的坐标是，
故答案为：或或．
先根据题意画出符合的三角形，再根据全等三角形的性质和点、点、点的坐标得出点的坐标即可．
本题考查了坐标与图形性质和全等三角形的判定定理和性质，能熟记全等三角形的判定定理和性质定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
 15.【答案】
 【解析】解：连接、，如图，设，
由作法得垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
．
故答案为．
连接、，如图，设，利用基本作图得到，则，所以，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到，接着利用得到，则根据求出，然后利用三角形外角性质计算的度数．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
16.【答案】或
 【解析】解：若的角为倍角，则倍角，
若另外两个内角中较大角为倍角，其角度为，则较小内角角度为，
三角形内角和，
，
解得．
综上，倍角的度数是或．
故答案为：或．
分类讨论：内角为倍角，另外两个内角中较大角为倍角，再求解即可．
本题考查三角形内角和，能根据新定义进行分类，并准确计算是解题关键．
  17.【答案】解：


．
故答案为：．
 【解析】利用完全平方公式与平方差公式展开，然后再合并同类项．
本题主要考查了完全平方公式，平方差公式，熟练掌握公式是解题的关键．完全平方公式：平方差公式：．
 18.【答案】解：原式

．
 【解析】先通分，然后计算括号内的加法，再把除法化为乘法，约分．
此题主要考查了分式的加减混合运算，掌握在运算过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，这是解题的关键．
 19.【答案】解：去分母得到：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为．
 【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 20.【答案】解：


，
当时，原式．
 【解析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式加法和除法运算法则．
 21.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
．
 【解析】根据，可得，再利用证明≌，得出对应边相等即可．
此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
 22.【答案】解：设黄老师骑自行车的平均速度为千米小时，则驾车的平均速度是依题意有，
，
解得，
经检验，是原方程的解．
，
答：黄老师驾车的平均速度是千米小时；
由可知黄老师开车的平均速度是千米小时，
千克．
答：黄老师一天可以减少的碳排放量千克．
 【解析】可设黄老师骑自行车的平均速度为千米小时，根据时间的等量关系列出方程即可求解；
先根据黄老师开车的平均速度求出与离学校的距离求出一天开车的时间，即可求出减少碳排放量多少千克．
本题主要考查了分式方程的应用，根据时间的等量关系列出方程是解决问题的关键．
 23.【答案】解：，
证明：如图，延长到点，使，连接，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
．
，，
理由：如图，于，
，
在和中，
，
≌，
，，
，分别是，的中点，
，，
，，，
，
，
．
 【解析】延长到点，使，连接，先证明≌，得，，则，根据平行线的性质证明，再证明≌，则，于是有；
由于得，先证明≌，得，；由的结论得，，则，再推导出，可证明，则，得．
此题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，将直角三角形斜边上的线延长一倍构造全等三角形是解题的关键．
 24.【答案】解：结论：理由如下：
，，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
；

解：如图，点在线段的延长线上时，补全图形如图所示；

当点在线段的延长线上时，结论：，理由如下：延长到点，使．
由可知：≌，
，，．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，

如图，若点在射线上时，同理可证．

 【解析】由“”可证≌，可得，可得结论；
结论：，由可知，，，由“”可证≌，可得，即可求解；
画出图形，结论：．
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 25.【答案】
 【解析】解：由题意可得，，
故答案为：；
点的“相对轴距”，
这些点组成的图形是中心在原点，边长为的正方形，如图中正方形；

点，是内部含边界的任意两点，
，，
；
将向左平移个单位得到，
，，，
由题意可知，
、的最值在、、处取得，
，，，
，
．
根据定义即可求解；
这些点组成的图形是中心在原点，边长为的正方形；
分别求出，，即可求；
由题意可知，根据可知、的最值在、、处取得，则有，，，求出的取值范围即可．
本题考查坐标与图形变化，熟练掌握平面内点的坐标特点，理解定义，掌握坐标平移的性质是解题的关键．