2021年广东省东莞市光正实验学校中考数学二模试卷（含答案）

这是一份2021年广东省东莞市光正实验学校中考数学二模试卷（含答案），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题一，解答题二，解答题三等内容，欢迎下载使用。
2021年广东省东莞市光正实验学校中考数学二模试卷
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B． C．﹣ D．﹣2
2．（3分）下面图形中，是轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）武汉蔡甸火神山医院，是参照抗击非典期间北京小汤山医院模式，在武汉职工疗养院建设一座专门医院，集中收治“新型冠状病毒”肺炎患者．医院建筑面积25000平方米，25000用科学记数法表示为（ ）
A．25×104 B．2.5×105 C．0.25×104 D．2.5×104
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a4＝a6 B．a2•a3＝a6
C．（a2）4＝a8 D．
5．（3分）某小组5名同学在一周内参加体育锻炼的时间如下表所示，关于“锻炼时间”的这组数据，以下说法正确的是（ ）
锻炼时间（小时）
2
3
4
5
人数（人）
1
1
2
1
A．中位数是4，平均数是3.5
B．众数是4，平均数是3.5
C．中位数是4，众数是4
D．众数是5，平均数是3.6
6．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1 B．k＞1 C．k＝1 D．k≥0
7．（3分）如图，将一个含有45°角的直角三角板的直角顶点放在一张宽为2cm的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上．若测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板最长边的长是（ ）

A．2cm B．4cm C．2cm D．4cm
8．（3分）如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD＝40°，则∠BAD的度数为（ ）

A．40° B．45° C．50° D．60°
9．（3分）不等式组的解集是（ ）
A．﹣1≤x＜3 B．﹣1≤x＜1 C．x＜3 D．x≥﹣1
10．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，tanA＝．点P是斜边AB上一个动点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP＝x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（ ）

A． B．
C． D．
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．（4分）＝ ．
12．（4分）分解因式：a3﹣2a2b+ab2＝ ．
13．（4分）若正n边形的一个外角为45°，则n＝ ．
14．（4分）若代数式有意义，则x的取值范围是 ．
15．（4分）已知一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象上有两点，A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，则y1与y2的大小关系是 ．
16．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90o，∠A＝30o，BC＝1，以点B为圆心，以BC长度为半径作弧，交BA于点D，以点C为圆心，以大于为半径作弧，接着再以点D为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交CA于点F，以点B为圆心，以BF为长度作弧，交BA于点G，则阴影部分的面积为 ．

17．（4分）如图，在平面直角坐标系中，有一个Rt△OAB，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，直角边OB在y轴正半轴上，点A在第一象限，且OA＝1，将Rt△OBA绕原点O逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的2倍（即OA1＝2OA），得到Rt△OA1B1，同理，将Rt△OA1B1绕原点O逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的2倍，得到Rt△OA2B2，…，依此规律，得到Rt△OA2021B2021，则点B2021的纵坐标为 ．

三、解答题一（每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：．
19．（6分）先化简，再求值：÷（1+），其中x＝+1．
20．（6分）“校园安全”受到全社会的广泛关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 人，扇形统计图中“了解”部分所对应的扇形的圆心角的度数为 °；
（2）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为多少人？

四、解答题二（每小题8分，共24分）
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接DE、BF．
（1）求证：BE＝DF；
（2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．

22．（8分）为抗击新型冠状病毒肺炎，某市医院打算采购A、B两种医疗器械，购买1台A机器比购买1台B机器多花10万元，并且花费300万元购买A器材和花费100万元购买B器材的数量相等．
（1）求购买一台A器材和一台B器材各需多少万元；
（2）医院准备购买购A、B两种器材共80台，若购买A、B器材的总费用不高于1050万元，那么最多购买A器材多少台？
23．（8分）如图，反比例函数y＝的图象和一次函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标和点B的纵坐标都是1．
（1）在第一象限内，写出关于x的不等式kx+b≥的解集 ；
（2）求一次函数的表达式；
（3）若点P（m，n）在反比例函数图象上，且关于y轴对称的点Q恰好落在一次函数的图象上，求m2+n2的值．

五、解答题三（每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG，连接CE．
（1）求证：△ECF∽△GCE；
（2）求证：EG是⊙O的切线；
（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tan∠G＝，AH＝3，求EM的值．

25．（10分）如图，二次函数图象的顶点为坐标系原点O，且经过点A（3，3），一次函数的图象经过点A和点B（6，0）．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）如果一次函数图象与y轴相交于点C，点D在线段AC上，与y轴平行的直线DE与二次函数图象相交于点E，∠CDO＝∠OED，求点D的坐标；
（3）当点D是直线AC上的一个动点时，以点O、C、D、E为顶点的四边形能成为平行四边形吗？请说明理由．


2021年广东省东莞市光正实验学校中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B． C．﹣ D．﹣2
【分析】根据绝对值是实数轴上的点到原点的距离，可得答案．
【解答】解：﹣2的绝对值是2．
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值，正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值等于0．
2．（3分）下面图形中，是轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
3．（3分）武汉蔡甸火神山医院，是参照抗击非典期间北京小汤山医院模式，在武汉职工疗养院建设一座专门医院，集中收治“新型冠状病毒”肺炎患者．医院建筑面积25000平方米，25000用科学记数法表示为（ ）
A．25×104 B．2.5×105 C．0.25×104 D．2.5×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：数字25000用科学记数法表示为2.5×104．
故选：D．
【点评】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a4＝a6 B．a2•a3＝a6
C．（a2）4＝a8 D．
【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A、a2与a4不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B、a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
C、（a2）4＝a8，故本选项符合题意；
D、，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了合并同类项，幂的乘方以及同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
5．（3分）某小组5名同学在一周内参加体育锻炼的时间如下表所示，关于“锻炼时间”的这组数据，以下说法正确的是（ ）
锻炼时间（小时）
2
3
4
5
人数（人）
1
1
2
1
A．中位数是4，平均数是3.5
B．众数是4，平均数是3.5
C．中位数是4，众数是4
D．众数是5，平均数是3.6
【分析】根据中位数、平均数与众数的概念分别求解即可．
【解答】解：这组数据中4出现的次数最多，众数为4；
按从小到大的顺序排序为2，3，4，4，5，第三个数为4，所以中位数为4；
平均数为（2+3+4+4+5）÷5＝3.6．
故选：C．
【点评】本题考查了中位数、平均数、众数的定义，解答本题的关键是掌握概念．
6．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1 B．k＞1 C．k＝1 D．k≥0
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，a＝1，b＝2，c＝k，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×k＞0，
∴k＜1，
故选：A．
【点评】此题主要考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
7．（3分）如图，将一个含有45°角的直角三角板的直角顶点放在一张宽为2cm的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上．若测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板最长边的长是（ ）

A．2cm B．4cm C．2cm D．4cm
【分析】过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可求出有45°角的三角板的直角边，再由等腰直角三角形求出最大边．
【解答】解：过点C作CD⊥AD，∴CD＝2，
在直角三角形ADC中，
∵∠CAD＝30°，
∴AC＝2CD＝2×2＝4，
又∵三角板是有45°角的三角板，
∴AB＝AC＝4，
∴BC2＝AB2+AC2＝42+42＝32，
∴BC＝4，
故选：D．

【点评】此题考查的知识点是含30°角的直角三角形及等腰直角三角形问题，关键是先求得直角边，再由勾股定理求出最大边．
8．（3分）如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD＝40°，则∠BAD的度数为（ ）

A．40° B．45° C．50° D．60°
【分析】由圆周角定理得∠ADB＝90°，∠B＝∠ACD＝40°，再由直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝∠ACD＝40°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝50°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
9．（3分）不等式组的解集是（ ）
A．﹣1≤x＜3 B．﹣1≤x＜1 C．x＜3 D．x≥﹣1
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜3，
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
10．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，tanA＝．点P是斜边AB上一个动点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP＝x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（ ）

A． B．
C． D．
【分析】分点Q在AC上和BC上两种情况进行讨论即可．
【解答】解：当点Q在AC上时，
∵tanA＝，AP＝x，
∴PQ＝x，
∴y＝×AP×PQ＝×x×x＝x2；
当点Q在BC上时，如下图所示：
∵AP＝x，AB＝10，tanA＝，
∴BP＝10﹣x，PQ＝2BP＝20﹣2x，
∴y＝•AP•PQ＝×x×（20﹣2x）＝﹣x2+10x，
∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下．并且当Q点在C时，x＝8，y＝16．
故选：B．

【点评】本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点Q在BC上这种情况．
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．（4分）＝ 2 ．
【分析】如果一个正数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求解．
【解答】解：∵22＝4，
∴＝2．
故答案为：2
【点评】此题主要考查了学生开平方的运算能力，比较简单．
12．（4分）分解因式：a3﹣2a2b+ab2＝ a（a﹣b）2 ．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：a3﹣2a2b+ab2，
＝a（a2﹣2ab+b2），
＝a（a﹣b）2．
【点评】本题考查提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键，分解因式一定要彻底．
13．（4分）若正n边形的一个外角为45°，则n＝ 8 ．
【分析】根据正多边形的外角和的特征即可求出多边形的边数．
【解答】解：n＝360°÷45°＝8．
所以n的值为8．
故答案为：8．
【点评】本题考查多边形的外角和的特征：多边形的外角和等于360°，是基础题型．
14．（4分）若代数式有意义，则x的取值范围是 x＞2 ．
【分析】根据分母不为0、二次根式的被开方数是非负数进行解答．
【解答】解：由题意得，x﹣2＞0，
解得x＞2．
故答案为：x＞2．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握分母不为0；二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
15．（4分）已知一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象上有两点，A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，则y1与y2的大小关系是 y1＞y2 ．
【分析】由k＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合x1＜x2，可求出y1＞y2．
【解答】解：∵k＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵x1＜x2，
∴y1＞y2．
故答案为：y1＞y2．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
16．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90o，∠A＝30o，BC＝1，以点B为圆心，以BC长度为半径作弧，交BA于点D，以点C为圆心，以大于为半径作弧，接着再以点D为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交CA于点F，以点B为圆心，以BF为长度作弧，交BA于点G，则阴影部分的面积为 ﹣ ．

【分析】根据S阴＝S△ABF﹣S△BGF，求解即可．
【解答】解：由作图可知，BE平分∠ABC，
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠CBA＝90°﹣30°＝60°，
∴∠CBF＝∠FBA＝30°，
∵BC＝1，
∴CF＝BC•tan30°＝，AC＝BC•tan60°＝，BF＝2CF＝，
∴S阴＝S△ABF﹣S△BGF＝××1﹣＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，扇形的面积，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用分割法求面积．
17．（4分）如图，在平面直角坐标系中，有一个Rt△OAB，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，直角边OB在y轴正半轴上，点A在第一象限，且OA＝1，将Rt△OBA绕原点O逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的2倍（即OA1＝2OA），得到Rt△OA1B1，同理，将Rt△OA1B1绕原点O逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的2倍，得到Rt△OA2B2，…，依此规律，得到Rt△OA2021B2021，则点B2021的纵坐标为 ﹣3×22019 ．

【分析】根据余弦的定义求出OB，根据题意求出OBn，根据题意找出规律，根据规律解答即可．
【解答】解：在Rt△AOB中，∠AOB＝30°，OA＝1，
∴OB＝OA•cos∠AOB＝，
由题意得，OB1＝2OB＝×2，
OB2＝2OB1＝×22，
……
OBn＝2OB1＝×2n＝×2n﹣1，
∵2021÷12＝168……5，
∴点B2021的纵坐标为：﹣×22020×cos30°＝﹣×22020×＝﹣3×22019，
故答案为：﹣3×22019．
【点评】本题考查的是位似变换的性质、图形的变化规律、锐角三角函数的定义，正确得到图形的变化规律是解题的关键．
三、解答题一（每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1+2﹣2×﹣（2﹣）
＝1+2﹣﹣2+
＝1．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
19．（6分）先化简，再求值：÷（1+），其中x＝+1．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝•
＝
当x＝+1时，
原式＝
＝
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
20．（6分）“校园安全”受到全社会的广泛关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 60 人，扇形统计图中“了解”部分所对应的扇形的圆心角的度数为 30 °；
（2）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为多少人？

【分析】（1）从两个统计图中可知“了解很少”的频数为30人，占调查人数的50%，可求出调查人数，进而求出“了解”的频数、所占得百分比，相应的圆心角的度数；
（2）求出“了解”“基本了解”所占得百分比即可求出答案．
【解答】解：（1）接受问卷调查的人数为：30÷50%＝60（人），
“了解”的人数为：60﹣15﹣30﹣10＝5（人），
所以扇形统计图中“了解”部分所对应的扇形的圆心角的度数为：360°×＝30°，
故答案为：60，30；
（2）“了解”和“基本了解”的人数为15+5＝20（人），
因此整体中，达到“了解”和“基本了解”的人数为：900×＝300（人），
答：该中学900中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”的共有300人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，了解和掌握两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提．
四、解答题二（每小题8分，共24分）
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接DE、BF．
（1）求证：BE＝DF；
（2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．

【分析】（1）根据平行四边形的性质得出BC＝DA，结合AD∥BC，从而可得，∠ACB＝∠DAC，根据AAS证出△ABE≌△CDF，从而得出BE＝DF．
（2）证得BE∥DF且BE＝DF即可证得四边形BEDF是平行四边形．
【解答】（1）证明：∵矩形ABCD，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEA＝∠DFC＝90°，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF．

（2）四边形BEDF是平行四边形．
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴BE∥DF，
又∵BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
22．（8分）为抗击新型冠状病毒肺炎，某市医院打算采购A、B两种医疗器械，购买1台A机器比购买1台B机器多花10万元，并且花费300万元购买A器材和花费100万元购买B器材的数量相等．
（1）求购买一台A器材和一台B器材各需多少万元；
（2）医院准备购买购A、B两种器材共80台，若购买A、B器材的总费用不高于1050万元，那么最多购买A器材多少台？
【分析】（1）设购买一台B器材需要x元，则购买一台A器材需要（x+10）元，根据数量＝总价÷单价结合300万元购买A器材和花费100万元购买B器材的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买A器材y台，则购买B器材（80﹣y）台，根据题意列出不等式并解答．
【解答】解：（1）设购买一台B器材需要x万元，则购买一台A器材需要（x+10）万元，
依题意，得：＝，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，
∴x+10＝15．
答：购买一台A器材需要15万元，则购买一台B器材需要5万元．
（2）设购买A器材y台，则购买B器材（80﹣y）台，
依题意，得：15y+5（80﹣y）≤1050．
解得y≤65．
所以y的最大值为65．
答：最多购买A器材65台．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23．（8分）如图，反比例函数y＝的图象和一次函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标和点B的纵坐标都是1．
（1）在第一象限内，写出关于x的不等式kx+b≥的解集 1≤x≤2 ；
（2）求一次函数的表达式；
（3）若点P（m，n）在反比例函数图象上，且关于y轴对称的点Q恰好落在一次函数的图象上，求m2+n2的值．

【分析】（1）根据题意得出A、B点的坐标，根据交点即可求得不等式的解集；
（2）根据待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（3）求得Q点的坐标，即可求得n＝m+3，则P（m．m+3），即可得出m（m+3）＝2，m2+n2＝m2+（m+3）2＝2m2+6m+9＝2（m2+3m）+9＝13．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象和一次函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标和点B的纵坐标都是1，
∴A（1，2），B（2，1），
∴在第一象限内，不等式kx+b≥的解集为1≤x≤2，
故答案为1≤x≤2；
（2）设一次函数的解析式为y＝kx+b，
∵经过A（1，2），B（2，1）点，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+3；
（3）∵点P（m，n），
∴Q（﹣m，n），
∵在反比例函数图象上，
∴mn＝2
∵点Q恰好落在一次函数的图象上，
∴n＝m+3，
∴m（m+3）＝2，
∴m2+3m＝2，
∴m2+n2＝m2+（m+3）2＝2m2+6m+9＝2（m2+3m）+9＝2×2+9＝13．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．
五、解答题三（每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG，连接CE．
（1）求证：△ECF∽△GCE；
（2）求证：EG是⊙O的切线；
（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tan∠G＝，AH＝3，求EM的值．

【分析】（1）由AC∥EG，推出∠G＝∠ACG，由AB⊥CD推出＝，推出∠CEF＝∠ACD，推出∠G＝∠CEF，由此即可证明；
（2）欲证明EG是⊙O的切线只要证明EG⊥OE即可；
（3）连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△OCH中，利用勾股定理求出r，证明△AHC∽△MEO，可得＝，由此即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，

∵AC∥EG，
∴∠G＝∠ACG，
∵AB⊥CD，
∴＝，
∴∠CEF＝∠ACD，
∴∠G＝∠CEF，
∵∠ECF＝∠ECG，
∴△ECF∽△GCE．

（2）证明：如图2中，连接OE，

∵GF＝GE，
∴∠GFE＝∠GEF＝∠AFH，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵∠AFH+∠FAH＝90°，
∴∠GEF+∠AEO＝90°，
∴∠GEO＝90°，
∴GE⊥OE，
∴EG是⊙O的切线．

（3）解：如图3中，连接OC．设⊙O的半径为r．

在Rt△AHC中，tan∠ACH＝tan∠G＝，
∵AH＝3，
∴HC＝4．
在Rt△HOC中，∵OC＝r，OH＝r﹣3，HC＝4，
∴（r﹣3）2+42＝r2，
∴r＝
∵GM∥AC，
∴∠CAH＝∠M，
∵∠OEM＝∠AHC，
∴△AHC∽△MEO，
∴＝，
∴，
∴．
【点评】本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形，构建方程解决问题吗，属于中考压轴题．
25．（10分）如图，二次函数图象的顶点为坐标系原点O，且经过点A（3，3），一次函数的图象经过点A和点B（6，0）．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）如果一次函数图象与y轴相交于点C，点D在线段AC上，与y轴平行的直线DE与二次函数图象相交于点E，∠CDO＝∠OED，求点D的坐标；
（3）当点D是直线AC上的一个动点时，以点O、C、D、E为顶点的四边形能成为平行四边形吗？请说明理由．

【分析】（1）利用待定系数分别求出二次函数与一次函数的解析式，二次函数的解析式为y＝ax2，一次函数的解析式为y＝kx+b；
（2）由DE∥y轴，∠CDO＝∠OED，得到△CDO∽△OED，则DO2＝DE•CO，设D点的坐标为（m，﹣m+6），那么点E的坐标为（m，），因此，解方程得到m＝，即可得到D点坐标；
（3）由OC∥DE，若DE＝OC，以点O、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形；分类讨论：①当点D在点E上方，．②当点D在E下方，．即可得到D点坐标．
【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y＝ax2，把A（3，3）代入得a＝，
∴二次函数的解析式为y＝x2；
设一次函数的解析式为y＝kx+b，
把A（3，3），B（6，0）分别代入得，3k+b＝3，6k+b＝0，解得k＝﹣1，b＝6，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+6；

（2）∵DE∥y轴，∠CDO＝∠OED，
∴△CDO∽△OED，
∴，
设D点的坐标为（m，﹣m+6），那么点E的坐标为（m，），
∴OD2＝，
又∵由直线y＝﹣x+6与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，6），CO＝6，
∴，
解得m1＝0（不合题意，舍去），m2＝，
∴点D的坐标为（，）；

（3）以点O、C、D、E为顶点的四边形能成为平行四边形．理由如下：
若DE＝OC，以点O、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，
①当点D在点E上方，．x＝0（舍去），x＝﹣3，y＝﹣（﹣3）+6＝9
②当点D在E下方，x2﹣（﹣x+6）＝6，得x＝．
当x＝，y＝﹣+6＝；
当x＝，y＝﹣+6＝．
所以当D点坐标为：（﹣3，9）或（，）或（，）．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式．也考查了平行四边形的性质和点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式以及一元二次方程的解法．