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2018年广西玉林市玉州区中考数学二模试卷（含答案）
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这是一份2018年广西玉林市玉州区中考数学二模试卷（含答案），共26页。试卷主要包含了填空题请答案填在答题卡的横线上，解答题等内容，欢迎下载使用。
2018年广西玉林市玉州区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将所选选项的字母涂在相应题号的答题卡上。
1．（3分）下面的数与﹣4的积为1的是（ ）
A． B．﹣ C．4 D．﹣4
2．（3分）2018年中国人口总数约为1.39008×109人，将数据“1.39008×109”化为整数是（ ）
A．1390080 B．13900800 C．139008000 D．1390080000
3．（3分）计算x6÷（4x3）的结果是（ ）
A．4x2 B．x2 C．4x3 D．x3
4．（3分）将多项式2x2﹣4在实数范围内分解因式得（ ）
A．（2x+2）（2x﹣2） B．2（x2﹣2）
C．2（x+）（x﹣） D．2（x+2）（x﹣2）
5．（3分）桌面上放置的几何体中，主视图与俯视图一定相同的是（ ）
A．球 B．长方体 C．圆柱 D．直立圆锥
6．（3分）下列关于图形对称性的命题，不正确的是（ ）
A．平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形
B．圆既是轴对称性图形，又是中心对称图形
C．线段是轴对称图形，又是中心对称图形
D．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
7．（3分）如图，四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA'＝1：2，则四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的周长比为（ ）
A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4
8．（3分）某校举行古诗词朗诵比赛，决赛阶段只剩下A、B、C、D四名同学，则C、D同学获得后两名的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）已知一元二次方程2x2﹣5x+1＝0的两个根为x1，x2，下列结论正确的是（ ）
A．x1，x2都是正数 B．x1•x2＝1
C．x1，x2都是有理数 D．x1+x2＝﹣
10．（3分）如图是边长为6cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形；以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：cm）不正确的（ ）
A． B． C． D．
11．（3分）如图，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆内部包含的格点数为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
12．（3分）某学校要种植一块面积为60m2的长方形草坪，要求两边长均不小于3m，则草坪的一边长为y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请答案填在答题卡的横线上。
13．（3分）计算：（﹣2）2＝ ．
14．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
15．（3分）如表是某体校女子体操队队员的年龄分布：
年龄/岁
13
14
15
16
人数
8
6
2
1
则该体校女子体操队队员年龄的中位数是 岁．
16．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，．若∠CAB＝30°，则∠BAD＝ ．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正方形OBCD的边OB在x轴上，O是坐标原点，固定点O，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在点D'处，此时∠D'OB＝60°，则点C的对应点C'的坐标为 ．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交x轴于点P．若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称，则点A'的坐标为 ．
三、解答题（本大题8个小题，共66分。解答时要写出必要的文字说明、演算步骤或推证过程）
19．（6分）计算：+（π﹣3.14）0﹣|1﹣sin45°|．
20．（6分）解方程：＝1．
21．（6分）在6×6的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共顶点的格点三角形（画出一个即可）；
（2）将图2中的△ABC绕着点B按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的三角形．
22．（8分）为了考察甲、乙两种成熟期小麦的株高长势情况，现从中随机抽取6株，并测得它们的株高（单位：cm）如表所示：
甲
63
66
63
61
64
61
乙
63
65
60
63
64
63
（1）请分别计算表内两组数据的方差，并借此比较哪种小麦的株高长势比较整齐？
（2）现将进行两种小麦优良品种杂交实验，需从表内的甲、乙两种小麦中，各随机抽取一株进行配对，以预估整体配对状况，请你用列表法或画树状图的方法，求所抽取的两株配对小麦株高恰好都等于各自平均株高的概率．
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E．
（1）求证：△DCE是等腰三角形；
（2）若tanA＝，AB＝3，求BD的长．
24．（10分）某学校为了奖励九年级优秀毕业生，计划购买一批平板电脑和一批学习机，经投标，购买1台平板电脑比购买2台学习机多1400元，购买1台平板电脑和4台学习机共需6200元．
（1）求购买1台平板电脑和1台学习机各需多少元；
（2）学校根据实际情况，决定购买平板电脑和学习机共100台，要求购买的总费用不超过168000元，且购买学习机的台数不超过平板电脑台数的1.7倍．请问有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？
25．（10分）如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，ED平分∠AEC，F为DE的中点，连接AF，BF，过点E作EH∥AD分别交BF，CD于G，H两点．
（1）求证：CE＝AB；
（2）求证：∠ABF＝∠ADE；
（3）当BF•GF＝18时，求AF的长．
26．（12分）已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上的三个点，抛物线y＝ax2﹣x+c经过A、B、C三点，且OA＝1，OB＝3．
（1）求该抛物线的解析式及点C坐标；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP的面积等于△ACB的面积？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点Q，使得以点A、B、C、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2018年广西玉林市玉州区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将所选选项的字母涂在相应题号的答题卡上。
1．（3分）下面的数与﹣4的积为1的是（ ）
A． B．﹣ C．4 D．﹣4
【分析】由1÷（﹣4）＝﹣，即可求解．
【解答】解：∵1÷（﹣4）＝﹣，
∴（﹣4）×（﹣）＝1，
故选：B．
【点评】本题考查有理数的乘法、除法，熟练掌握有理数的乘法、除法运算是解题的关键．
2．（3分）2018年中国人口总数约为1.39008×109人，将数据“1.39008×109”化为整数是（ ）
A．1390080 B．13900800 C．139008000 D．1390080000
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1.39008×109＝1390080000．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）计算x6÷（4x3）的结果是（ ）
A．4x2 B．x2 C．4x3 D．x3
【分析】根据整式除法即可得出答案．
【解答】解：x6÷（4x3）＝x3．
故选：D．
【点评】本题考查了整式的除法，熟练掌握整式的除法法则是解此题的关键．
4．（3分）将多项式2x2﹣4在实数范围内分解因式得（ ）
A．（2x+2）（2x﹣2） B．2（x2﹣2）
C．2（x+）（x﹣） D．2（x+2）（x﹣2）
【分析】先提取公因式，再用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：2x2﹣4
＝2（x2﹣2）
＝2（x+）（x﹣），
故选：C．
【点评】本题考查实数范围内的因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
5．（3分）桌面上放置的几何体中，主视图与俯视图一定相同的是（ ）
A．球 B．长方体 C．圆柱 D．直立圆锥
【分析】根据球、长方体、圆柱、直立圆锥的主视图和俯视图的形状进行判断即可．
【解答】解：A．球的主视图和俯视图都是圆，故A符合题意；
B．长方体的主视图和俯视图是矩形，但两个矩形的宽不一定相同，故B不符合题意；
C．圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，故C不符合题意；
D．直立圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是圆（带圆心），故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，掌握简单几何体三视图的形状和特征是正确判断的前提．
6．（3分）下列关于图形对称性的命题，不正确的是（ ）
A．平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形
B．圆既是轴对称性图形，又是中心对称图形
C．线段是轴对称图形，又是中心对称图形
D．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
【分析】根据平行四边形、圆、线段、正三角形的对称性逐项判断即可．
【解答】解：平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，正确，故A不符合题意；
圆既是轴对称性图形，又是中心对称图形，正确，故B不符合题意；
线段是轴对称图形，又是中心对称图形，正确，故C不符合题意；
正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形，不正确，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行四边形、圆、线段、正三角形的对称性．
7．（3分）如图，四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA'＝1：2，则四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的周长比为（ ）
A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4
【分析】根据位似的性质得到四边形ABCD和四边形A'B'C'D'的相似比为1：2，然后根据相似多边形的周长之比等于相似比求解．
【解答】解：∵四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA'＝1：2，
∴四边形ABCD和四边形A'B'C'D'的相似比为1：2，
∴四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的周长比为1：2．
故选：B．
【点评】本题考查的是位似变换的性质，掌握位似图形与相似图形的关系、相似多边形的性质是解题的关键．
8．（3分）某校举行古诗词朗诵比赛，决赛阶段只剩下A、B、C、D四名同学，则C、D同学获得后两名的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意先画出树状图，得出所有等可能的结果，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：根据题意画图如下：
所以等可能的结果为24种，C、D同学获得后两名的有4种结果，
所以C、D同学获得后两名的概率为＝，
故选：B．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
9．（3分）已知一元二次方程2x2﹣5x+1＝0的两个根为x1，x2，下列结论正确的是（ ）
A．x1，x2都是正数 B．x1•x2＝1
C．x1，x2都是有理数 D．x1+x2＝﹣
【分析】利用根与系数的关系可得出x1+x2＝，x1x2＝，进而可得出x1，x2都是正数，此题得解．
【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣5x+1＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝，x1x2＝，
∴x1，x2都是正数．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系，利用根与系数的关系找出两根之和、两根之积均为正数是解题的关键．
10．（3分）如图是边长为6cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形；以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：cm）不正确的（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用勾股定理求出正方形的对角线为6≈8.4（cm），由此即可判定B不正确．
【解答】解：∵正方形的边长为6cm，
∴原正方形对角线是6≈8.4（cm），
在B选项中，9＞8.4，
∴这个图形不可能存在．
而A、C、D都可能存在，
故选：B．
【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用勾股定理求出正方形的对角线的长．
11．（3分）如图，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆内部包含的格点数为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【分析】根据圆的确定先做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案．
【解答】解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，
以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，
由图可知，⊙O内包含13个格点，
故选：C．
【点评】本题主要考查圆的确定，熟练掌握圆上各点到圆心的距离相等得出其外接圆是解题的关键．
12．（3分）某学校要种植一块面积为60m2的长方形草坪，要求两边长均不小于3m，则草坪的一边长为y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】易知y是x的反比例函数，再根据边长的取值范围即可解题．
【解答】解：∵草坪面积为60m2，
∴x、y存在关系y＝，
∵两边长均不小于3m，
∴x≥3、y≥3，
则x≤20．
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数的应用，根据反比例函数解析式确定y的取值范围，即可求得x的取值范围，熟练掌握实际问题的反比例函数图象是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请答案填在答题卡的横线上。
13．（3分）计算：（﹣2）2＝ 4 ．
【分析】根据有理数乘方的意义可得．
【解答】解：（﹣2）2＝（﹣2）×（﹣2）＝4．
【点评】此题考查有理数乘方的简单运算，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；﹣1的奇数次幂是﹣1，﹣1的偶数次幂是1．
14．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≤2 ．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：2﹣x≥0，解得：x≤2．
故答案是：x≤2．
【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
15．（3分）如表是某体校女子体操队队员的年龄分布：
年龄/岁
13
14
15
16
人数
8
6
2
1
则该体校女子体操队队员年龄的中位数是 14 岁．
【分析】根据中位数的定义进行计算即可．
【解答】解：将这17名队员的年龄从小到大排列，处在中间位置的一个数是14岁，
故答案为：14．
【点评】本题考查中位数，理解中位数的定义是正确解答的前提．
16．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，．若∠CAB＝30°，则∠BAD＝ 60° ．
【分析】连接OD、OC，如图，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠AOC＝120°，再根据圆心角、弧、弦的关系得到∠AOD＝∠COD＝60°，然后根据圆周角定理得到∠CAD的度数，根据角的和差即可得解．
【解答】解：连接OD、OC，如图，
∵OA＝OC，∠CAB＝30°，
∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴∠AOC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵＝，
∴∠AOD＝∠COD＝∠AOC＝60°，
∴∠CAD＝∠COD＝30°，
∴∠BAD＝∠CAD+∠BAC＝60°，
故答案为：60°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正方形OBCD的边OB在x轴上，O是坐标原点，固定点O，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在点D'处，此时∠D'OB＝60°，则点C的对应点C'的坐标为 （9，3） ．
【分析】过C'作C'H⊥x轴于H，在Rt△BC'H中，可得BH＝BC'＝3，C'H＝BH＝3，即可得C'（9，3）．
【解答】解：过C'作C'H⊥x轴于H，如图：
由已知得：BC'＝BC＝6，∠C'BH＝∠D'OB＝60°，
∴BH＝BC'＝3，C'H＝BH＝3，
∴OH＝OB+BH＝9，
∴C'（9，3），
故答案为：（9，3）．
【点评】本题考查正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交x轴于点P．若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称，则点A'的坐标为 （﹣2，﹣3） ．
【分析】根据等腰直角三角形，可得AB的长，再根据锐角三角函数，可得AD，BD的长，再根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量与函数值得对应关系，可得P点坐标，根据中点坐标公式，可得答案．
【解答】解：如图：
点B，C的坐标为（2，1），（6，1），得
BC＝4．
由∠BAC＝90°，AB＝AC，
得AB＝2，∠ABD＝45°，
∴BD＝AD＝2，
A（4，3），
设AB的解析式为y＝kx+b，将A，B点坐标代入，得
，
解得，
AB的解析式为y＝x﹣1，
当y＝0时，x＝1，即P（1，0），
由中点坐标公式，得
xA′＝2xP﹣xA＝2﹣4＝﹣2，
yA′＝2yA′﹣yA＝0﹣3＝﹣3，
A′（﹣2，﹣3）．
故答案为：（﹣2，﹣3）．
【点评】本题考查了等腰直角三角形，利用等腰直角三角形得出AB的长是解题关键．
三、解答题（本大题8个小题，共66分。解答时要写出必要的文字说明、演算步骤或推证过程）
19．（6分）计算：+（π﹣3.14）0﹣|1﹣sin45°|．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、立方根的性质、绝对值的性质分别化简，进而合并得出答案．
【解答】解：原式＝3+1﹣|1﹣|
＝3+1﹣（1﹣）
＝3+1﹣1+
＝3+．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
20．（6分）解方程：＝1．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：（x+2）2+x﹣2＝x2﹣4，
解得：x＝﹣，
检验：把x＝﹣代入得：（x+2）（x﹣2）≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
21．（6分）在6×6的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共顶点的格点三角形（画出一个即可）；
（2）将图2中的△ABC绕着点B按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的三角形．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可在图1中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共顶点的格点三角形；
（2）根据旋转的性质即可将图2中的△ABC绕着点B按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的三角形．
【解答】解：（1）如图1所示，△ABC′即为所求；
（2）如图2所示，△BDE即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，作图﹣轴对称变换，解决本题的关键是掌握旋转和轴对称的性质．
22．（8分）为了考察甲、乙两种成熟期小麦的株高长势情况，现从中随机抽取6株，并测得它们的株高（单位：cm）如表所示：
甲
63
66
63
61
64
61
乙
63
65
60
63
64
63
（1）请分别计算表内两组数据的方差，并借此比较哪种小麦的株高长势比较整齐？
（2）现将进行两种小麦优良品种杂交实验，需从表内的甲、乙两种小麦中，各随机抽取一株进行配对，以预估整体配对状况，请你用列表法或画树状图的方法，求所抽取的两株配对小麦株高恰好都等于各自平均株高的概率．
【分析】（1）先计算出平均数，再依据方差公式即可得；
（2）列表得出所有等可能结果，由表格得出两株配对小麦株高恰好都等于各自平均株高的结果数，依据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）∵＝＝63，
∴s甲2＝×[（63﹣63）2×2+（66﹣63）2+2×（61﹣63）2+（64﹣63）2]＝3；
∵＝＝63，
∴s乙2＝×[（63﹣63）2×3+（65﹣63）2+（60﹣63）2+（64﹣63）2]＝，
∵s乙2＜s甲2，
∴乙种小麦的株高长势比较整齐；
（2）列表如下：
63
66
63
61
64
61
63
63、63
66、63
63、63
61、63
64、63
61、63
65
63、65
66、65
63、65
61、65
64、65
61、65
60
63、60
66、60
63、60
61、60
64、60
61、60
63
63、63
66、63
63、63
61、63
64、63
61、63
64
63、64
66、64
63、64
61、64
64、64
61、64
63
63、63
66、63
63、63
61、63
64、63
61、63
由表格可知，共有36种等可能结果，其中两株配对小麦株高恰好都等于各自平均株高的有6种，
∴所抽取的两株配对小麦株高恰好都等于各自平均株高的概率为．
【点评】本题考查了平均数、方差及列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E．
（1）求证：△DCE是等腰三角形；
（2）若tanA＝，AB＝3，求BD的长．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，得到∠ACO+∠DCE＝90°，根据直角三角形的性质得到∠EAD+∠E＝90°，根据等角的余角相等得到∠DCE＝∠E，根据等腰三角形的判定定理证明结论；
（2）根据正切的定义得到ED＝AD，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∴∠ACO+∠DCE＝90°，
∵ED⊥AD，
∴∠EDA＝90°，
∴∠EAD+∠E＝90°，
∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠EAD，
∴∠DCE＝∠E，
∴DC＝DE，即△DCE是等腰三角形；
（2）解：设BD＝x，则AD＝AB+BD＝3+x，OD＝OB+BD＝1.5+x，
在Rt△EAD中，tanA＝，即＝，
∴ED＝AD＝（3+x），
∴DC＝（3+x），
在Rt△OCD中，OC2+CD2＝DO2，即1.52+[（3+x）]2＝（1.5+x）2，
解得：x1＝﹣3（舍去），x2＝1，
∴BD＝1．
【点评】本题考查的是切线的性质、正切的定义、等腰三角形的判定，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
24．（10分）某学校为了奖励九年级优秀毕业生，计划购买一批平板电脑和一批学习机，经投标，购买1台平板电脑比购买2台学习机多1400元，购买1台平板电脑和4台学习机共需6200元．
（1）求购买1台平板电脑和1台学习机各需多少元；
（2）学校根据实际情况，决定购买平板电脑和学习机共100台，要求购买的总费用不超过168000元，且购买学习机的台数不超过平板电脑台数的1.7倍．请问有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的不等式组，然后求解即可．
【解答】解：（1）设购买1台平板电脑a元，购买1台学习机b元，
由题意可得：，
解得，
答：购买1台平板电脑3000元，购买1台学习机800元；
（2）设购买平板电脑x台，则购买学习机（100﹣x）台，
由题意可得：，
解得37≤x≤40，
∵x为整数，
∴x＝38，39，40，
∴共有三种购买方案，
方案一：购买平板电脑38台，购买学习机62台，所需费用为：3000×38+800×62＝163600（元）；
方案二：购买平板电脑39台，购买学习机61台，所需费用为：3000×39+800×61＝165800（元）；
方案三：购买平板电脑40台，购买学习机60台，所需费用为：3000×40+800×60＝168000（元）；
由上可得，方案一最省钱，
答：有三种购买方案，方案一：购买平板电脑38台，购买学习机62台；方案二：购买平板电脑39台，购买学习机61台；方案三：购买平板电脑40台，购买学习机60台；其中方案一最省钱．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组．
25．（10分）如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，ED平分∠AEC，F为DE的中点，连接AF，BF，过点E作EH∥AD分别交BF，CD于G，H两点．
（1）求证：CE＝AB；
（2）求证：∠ABF＝∠ADE；
（3）当BF•GF＝18时，求AF的长．
【分析】（1）根据矩形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，求得∠DCE＝∠CEA，根据角平分线的定义得到∠AED＝∠CED，求得∠CDE＝∠CED，于是得到结论；
（2）如图，连接CF，根据等腰三角形的性质得到CF⊥ED，根据直角三角形的性质得到AF＝DF＝EF＝ED，求得∠BAF＝∠DEA，根据全等三角形的性质得到∠AFB＝∠DFC＝90°，于是得到结论；
（3）求得∠AEH＝90°，得到∠FEH+∠AED＝90°，根据相似三角形的性质得到EF＝3，即可得到AF＝EF＝3．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠DCE＝∠CEA，
∵ED平分∠AEC，
∴∠AED＝∠CED，
∴∠CDE＝∠CED，
∴CE＝DC，
∴CE＝AB；
（2）证明：如图，连接CF，
∵CE＝CD，F为DE的中点，
∴CF⊥ED，
∴∠DFC＝90°，
在矩形ABCD中，AB＝DC，∠BAD＝90°，
∴AF＝DF＝EF＝ED，
∴∠BAF＝∠DEA，
∵∠CDE＝∠DEA，
∴∠BAF＝∠CDF，
在△BAF和△CDF中，
，
∴△BAF≌△CDF（SAS），
∴∠AFB＝∠DFC＝90°，
∴AF⊥BF，
∴∠AFB＝90°，
∴∠ABF+∠BAF＝∠AED+∠ADE＝90°，
∴∠ABF＝∠ADE；
（3）解：∵AF⊥BF，
∴∠BAF+∠ABF＝90°，
∵EH∥AD，∠BAD＝90°，
∴∠AEH＝90°，
∴∠FEH+∠AED＝90°，
∵∠BAF＝∠DEA，
∴∠ABF＝∠FEH，
∵∠EFG＝∠BFE，
∴△EFG∽△BFE，
∴＝，即EF2＝BF•GF，
∵BF•GF＝18，
∴EF＝3，
∴AF＝EF＝3．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
26．（12分）已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上的三个点，抛物线y＝ax2﹣x+c经过A、B、C三点，且OA＝1，OB＝3．
（1）求该抛物线的解析式及点C坐标；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP的面积等于△ACB的面积？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点Q，使得以点A、B、C、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，令y＝0，求出x的值，进而可得答案；
（2）根据等底等高的三角形面积相等，可得P点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（3）根据菱形的四边相等，可得QB的长，根据菱形的对边平行，可得Q点的纵坐标．
【解答】解：（1）∵OA＝1，OB＝3，
∴A（1，0）、B（0，3），
将点A，B坐标代入抛物线的解析式y＝ax2﹣x+c，得，
解得：a＝﹣，c＝3，
∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+3，
令y＝0，即﹣x2﹣x+3＝0，解得x＝﹣4或x＝1，
∴C（﹣4，0）．
（2）在抛物线上存在一点P，使△ACP的面积等于△ACB的面积，理由为：
设点P的坐标为P（m，n），
∵S△ACB＝×5×3＝，S△ACP＝×5×|n|，
∴×5×|n|＝，n＝±3．
∴当n＝3时，﹣m2﹣m+3＝3，解得m1＝0，x2＝﹣3，即P（﹣3，3）或（0，3）．
当n＝﹣3时，﹣m2﹣m+3＝﹣3，解得m1＝，m2＝，即P 2（，﹣3），P3（，﹣3）
综上所述：P的坐标为（﹣3，3）或（0，3）或（，﹣3）或（，﹣3）
（3）在平面直角坐标系xOy中存在一点Q，使得以点A、B、C、Q为顶点的四边形为菱形，理由为：
∵OB＝3，OC＝4，OA＝1，
∴BC＝AC＝5，
当BQ平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形，
∴BQ＝AC＝BC＝5，
∵BQ∥AC，
∴点Q到x轴的距离等于OB＝3，
∴点Q的坐标为（5，3），
当点Q在第二、三象限时，以点A、B、C、Q为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，
则当点Q的坐标为（5，3）时，以点A、B、C、Q为顶点的四边形为菱形．
【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键是利用等底等高的三角形面积相等得出P点的纵坐标，有利用自变量与函数值的对应关系；解（3）的关键是利用菱形的四边相等得出QB的长．
2018年广西玉林市玉州区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将所选选项的字母涂在相应题号的答题卡上。
1．（3分）下面的数与﹣4的积为1的是（ ）
A． B．﹣ C．4 D．﹣4
2．（3分）2018年中国人口总数约为1.39008×109人，将数据“1.39008×109”化为整数是（ ）
A．1390080 B．13900800 C．139008000 D．1390080000
3．（3分）计算x6÷（4x3）的结果是（ ）
A．4x2 B．x2 C．4x3 D．x3
4．（3分）将多项式2x2﹣4在实数范围内分解因式得（ ）
A．（2x+2）（2x﹣2） B．2（x2﹣2）
C．2（x+）（x﹣） D．2（x+2）（x﹣2）
5．（3分）桌面上放置的几何体中，主视图与俯视图一定相同的是（ ）
A．球 B．长方体 C．圆柱 D．直立圆锥
6．（3分）下列关于图形对称性的命题，不正确的是（ ）
A．平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形
B．圆既是轴对称性图形，又是中心对称图形
C．线段是轴对称图形，又是中心对称图形
D．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
7．（3分）如图，四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA'＝1：2，则四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的周长比为（ ）
A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4
8．（3分）某校举行古诗词朗诵比赛，决赛阶段只剩下A、B、C、D四名同学，则C、D同学获得后两名的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）已知一元二次方程2x2﹣5x+1＝0的两个根为x1，x2，下列结论正确的是（ ）
A．x1，x2都是正数 B．x1•x2＝1
C．x1，x2都是有理数 D．x1+x2＝﹣
10．（3分）如图是边长为6cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形；以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：cm）不正确的（ ）
A． B． C． D．
11．（3分）如图，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆内部包含的格点数为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
12．（3分）某学校要种植一块面积为60m2的长方形草坪，要求两边长均不小于3m，则草坪的一边长为y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请答案填在答题卡的横线上。
13．（3分）计算：（﹣2）2＝ ．
14．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
15．（3分）如表是某体校女子体操队队员的年龄分布：
年龄/岁
13
14
15
16
人数
8
6
2
1
则该体校女子体操队队员年龄的中位数是 岁．
16．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，．若∠CAB＝30°，则∠BAD＝ ．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正方形OBCD的边OB在x轴上，O是坐标原点，固定点O，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在点D'处，此时∠D'OB＝60°，则点C的对应点C'的坐标为 ．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交x轴于点P．若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称，则点A'的坐标为 ．
三、解答题（本大题8个小题，共66分。解答时要写出必要的文字说明、演算步骤或推证过程）
19．（6分）计算：+（π﹣3.14）0﹣|1﹣sin45°|．
20．（6分）解方程：＝1．
21．（6分）在6×6的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共顶点的格点三角形（画出一个即可）；
（2）将图2中的△ABC绕着点B按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的三角形．
22．（8分）为了考察甲、乙两种成熟期小麦的株高长势情况，现从中随机抽取6株，并测得它们的株高（单位：cm）如表所示：
甲
63
66
63
61
64
61
乙
63
65
60
63
64
63
（1）请分别计算表内两组数据的方差，并借此比较哪种小麦的株高长势比较整齐？
（2）现将进行两种小麦优良品种杂交实验，需从表内的甲、乙两种小麦中，各随机抽取一株进行配对，以预估整体配对状况，请你用列表法或画树状图的方法，求所抽取的两株配对小麦株高恰好都等于各自平均株高的概率．
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E．
（1）求证：△DCE是等腰三角形；
（2）若tanA＝，AB＝3，求BD的长．
24．（10分）某学校为了奖励九年级优秀毕业生，计划购买一批平板电脑和一批学习机，经投标，购买1台平板电脑比购买2台学习机多1400元，购买1台平板电脑和4台学习机共需6200元．
（1）求购买1台平板电脑和1台学习机各需多少元；
（2）学校根据实际情况，决定购买平板电脑和学习机共100台，要求购买的总费用不超过168000元，且购买学习机的台数不超过平板电脑台数的1.7倍．请问有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？
25．（10分）如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，ED平分∠AEC，F为DE的中点，连接AF，BF，过点E作EH∥AD分别交BF，CD于G，H两点．
（1）求证：CE＝AB；
（2）求证：∠ABF＝∠ADE；
（3）当BF•GF＝18时，求AF的长．
26．（12分）已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上的三个点，抛物线y＝ax2﹣x+c经过A、B、C三点，且OA＝1，OB＝3．
（1）求该抛物线的解析式及点C坐标；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP的面积等于△ACB的面积？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点Q，使得以点A、B、C、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2018年广西玉林市玉州区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将所选选项的字母涂在相应题号的答题卡上。
1．（3分）下面的数与﹣4的积为1的是（ ）
A． B．﹣ C．4 D．﹣4
【分析】由1÷（﹣4）＝﹣，即可求解．
【解答】解：∵1÷（﹣4）＝﹣，
∴（﹣4）×（﹣）＝1，
故选：B．
【点评】本题考查有理数的乘法、除法，熟练掌握有理数的乘法、除法运算是解题的关键．
2．（3分）2018年中国人口总数约为1.39008×109人，将数据“1.39008×109”化为整数是（ ）
A．1390080 B．13900800 C．139008000 D．1390080000
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1.39008×109＝1390080000．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）计算x6÷（4x3）的结果是（ ）
A．4x2 B．x2 C．4x3 D．x3
【分析】根据整式除法即可得出答案．
【解答】解：x6÷（4x3）＝x3．
故选：D．
【点评】本题考查了整式的除法，熟练掌握整式的除法法则是解此题的关键．
4．（3分）将多项式2x2﹣4在实数范围内分解因式得（ ）
A．（2x+2）（2x﹣2） B．2（x2﹣2）
C．2（x+）（x﹣） D．2（x+2）（x﹣2）
【分析】先提取公因式，再用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：2x2﹣4
＝2（x2﹣2）
＝2（x+）（x﹣），
故选：C．
【点评】本题考查实数范围内的因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
5．（3分）桌面上放置的几何体中，主视图与俯视图一定相同的是（ ）
A．球 B．长方体 C．圆柱 D．直立圆锥
【分析】根据球、长方体、圆柱、直立圆锥的主视图和俯视图的形状进行判断即可．
【解答】解：A．球的主视图和俯视图都是圆，故A符合题意；
B．长方体的主视图和俯视图是矩形，但两个矩形的宽不一定相同，故B不符合题意；
C．圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，故C不符合题意；
D．直立圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是圆（带圆心），故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，掌握简单几何体三视图的形状和特征是正确判断的前提．
6．（3分）下列关于图形对称性的命题，不正确的是（ ）
A．平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形
B．圆既是轴对称性图形，又是中心对称图形
C．线段是轴对称图形，又是中心对称图形
D．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
【分析】根据平行四边形、圆、线段、正三角形的对称性逐项判断即可．
【解答】解：平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，正确，故A不符合题意；
圆既是轴对称性图形，又是中心对称图形，正确，故B不符合题意；
线段是轴对称图形，又是中心对称图形，正确，故C不符合题意；
正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形，不正确，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行四边形、圆、线段、正三角形的对称性．
7．（3分）如图，四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA'＝1：2，则四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的周长比为（ ）
A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4
【分析】根据位似的性质得到四边形ABCD和四边形A'B'C'D'的相似比为1：2，然后根据相似多边形的周长之比等于相似比求解．
【解答】解：∵四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA'＝1：2，
∴四边形ABCD和四边形A'B'C'D'的相似比为1：2，
∴四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的周长比为1：2．
故选：B．
【点评】本题考查的是位似变换的性质，掌握位似图形与相似图形的关系、相似多边形的性质是解题的关键．
8．（3分）某校举行古诗词朗诵比赛，决赛阶段只剩下A、B、C、D四名同学，则C、D同学获得后两名的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意先画出树状图，得出所有等可能的结果，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：根据题意画图如下：
所以等可能的结果为24种，C、D同学获得后两名的有4种结果，
所以C、D同学获得后两名的概率为＝，
故选：B．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
9．（3分）已知一元二次方程2x2﹣5x+1＝0的两个根为x1，x2，下列结论正确的是（ ）
A．x1，x2都是正数 B．x1•x2＝1
C．x1，x2都是有理数 D．x1+x2＝﹣
【分析】利用根与系数的关系可得出x1+x2＝，x1x2＝，进而可得出x1，x2都是正数，此题得解．
【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣5x+1＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝，x1x2＝，
∴x1，x2都是正数．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系，利用根与系数的关系找出两根之和、两根之积均为正数是解题的关键．
10．（3分）如图是边长为6cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形；以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：cm）不正确的（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用勾股定理求出正方形的对角线为6≈8.4（cm），由此即可判定B不正确．
【解答】解：∵正方形的边长为6cm，
∴原正方形对角线是6≈8.4（cm），
在B选项中，9＞8.4，
∴这个图形不可能存在．
而A、C、D都可能存在，
故选：B．
【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用勾股定理求出正方形的对角线的长．
11．（3分）如图，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆内部包含的格点数为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【分析】根据圆的确定先做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案．
【解答】解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，
以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，
由图可知，⊙O内包含13个格点，
故选：C．
【点评】本题主要考查圆的确定，熟练掌握圆上各点到圆心的距离相等得出其外接圆是解题的关键．
12．（3分）某学校要种植一块面积为60m2的长方形草坪，要求两边长均不小于3m，则草坪的一边长为y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】易知y是x的反比例函数，再根据边长的取值范围即可解题．
【解答】解：∵草坪面积为60m2，
∴x、y存在关系y＝，
∵两边长均不小于3m，
∴x≥3、y≥3，
则x≤20．
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数的应用，根据反比例函数解析式确定y的取值范围，即可求得x的取值范围，熟练掌握实际问题的反比例函数图象是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请答案填在答题卡的横线上。
13．（3分）计算：（﹣2）2＝ 4 ．
【分析】根据有理数乘方的意义可得．
【解答】解：（﹣2）2＝（﹣2）×（﹣2）＝4．
【点评】此题考查有理数乘方的简单运算，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；﹣1的奇数次幂是﹣1，﹣1的偶数次幂是1．
14．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≤2 ．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：2﹣x≥0，解得：x≤2．
故答案是：x≤2．
【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
15．（3分）如表是某体校女子体操队队员的年龄分布：
年龄/岁
13
14
15
16
人数
8
6
2
1
则该体校女子体操队队员年龄的中位数是 14 岁．
【分析】根据中位数的定义进行计算即可．
【解答】解：将这17名队员的年龄从小到大排列，处在中间位置的一个数是14岁，
故答案为：14．
【点评】本题考查中位数，理解中位数的定义是正确解答的前提．
16．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，．若∠CAB＝30°，则∠BAD＝ 60° ．
【分析】连接OD、OC，如图，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠AOC＝120°，再根据圆心角、弧、弦的关系得到∠AOD＝∠COD＝60°，然后根据圆周角定理得到∠CAD的度数，根据角的和差即可得解．
【解答】解：连接OD、OC，如图，
∵OA＝OC，∠CAB＝30°，
∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴∠AOC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵＝，
∴∠AOD＝∠COD＝∠AOC＝60°，
∴∠CAD＝∠COD＝30°，
∴∠BAD＝∠CAD+∠BAC＝60°，
故答案为：60°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正方形OBCD的边OB在x轴上，O是坐标原点，固定点O，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在点D'处，此时∠D'OB＝60°，则点C的对应点C'的坐标为 （9，3） ．
【分析】过C'作C'H⊥x轴于H，在Rt△BC'H中，可得BH＝BC'＝3，C'H＝BH＝3，即可得C'（9，3）．
【解答】解：过C'作C'H⊥x轴于H，如图：
由已知得：BC'＝BC＝6，∠C'BH＝∠D'OB＝60°，
∴BH＝BC'＝3，C'H＝BH＝3，
∴OH＝OB+BH＝9，
∴C'（9，3），
故答案为：（9，3）．
【点评】本题考查正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交x轴于点P．若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称，则点A'的坐标为 （﹣2，﹣3） ．
【分析】根据等腰直角三角形，可得AB的长，再根据锐角三角函数，可得AD，BD的长，再根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量与函数值得对应关系，可得P点坐标，根据中点坐标公式，可得答案．
【解答】解：如图：
点B，C的坐标为（2，1），（6，1），得
BC＝4．
由∠BAC＝90°，AB＝AC，
得AB＝2，∠ABD＝45°，
∴BD＝AD＝2，
A（4，3），
设AB的解析式为y＝kx+b，将A，B点坐标代入，得
，
解得，
AB的解析式为y＝x﹣1，
当y＝0时，x＝1，即P（1，0），
由中点坐标公式，得
xA′＝2xP﹣xA＝2﹣4＝﹣2，
yA′＝2yA′﹣yA＝0﹣3＝﹣3，
A′（﹣2，﹣3）．
故答案为：（﹣2，﹣3）．
【点评】本题考查了等腰直角三角形，利用等腰直角三角形得出AB的长是解题关键．
三、解答题（本大题8个小题，共66分。解答时要写出必要的文字说明、演算步骤或推证过程）
19．（6分）计算：+（π﹣3.14）0﹣|1﹣sin45°|．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、立方根的性质、绝对值的性质分别化简，进而合并得出答案．
【解答】解：原式＝3+1﹣|1﹣|
＝3+1﹣（1﹣）
＝3+1﹣1+
＝3+．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
20．（6分）解方程：＝1．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：（x+2）2+x﹣2＝x2﹣4，
解得：x＝﹣，
检验：把x＝﹣代入得：（x+2）（x﹣2）≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
21．（6分）在6×6的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共顶点的格点三角形（画出一个即可）；
（2）将图2中的△ABC绕着点B按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的三角形．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可在图1中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共顶点的格点三角形；
（2）根据旋转的性质即可将图2中的△ABC绕着点B按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的三角形．
【解答】解：（1）如图1所示，△ABC′即为所求；
（2）如图2所示，△BDE即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，作图﹣轴对称变换，解决本题的关键是掌握旋转和轴对称的性质．
22．（8分）为了考察甲、乙两种成熟期小麦的株高长势情况，现从中随机抽取6株，并测得它们的株高（单位：cm）如表所示：
甲
63
66
63
61
64
61
乙
63
65
60
63
64
63
（1）请分别计算表内两组数据的方差，并借此比较哪种小麦的株高长势比较整齐？
（2）现将进行两种小麦优良品种杂交实验，需从表内的甲、乙两种小麦中，各随机抽取一株进行配对，以预估整体配对状况，请你用列表法或画树状图的方法，求所抽取的两株配对小麦株高恰好都等于各自平均株高的概率．
【分析】（1）先计算出平均数，再依据方差公式即可得；
（2）列表得出所有等可能结果，由表格得出两株配对小麦株高恰好都等于各自平均株高的结果数，依据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）∵＝＝63，
∴s甲2＝×[（63﹣63）2×2+（66﹣63）2+2×（61﹣63）2+（64﹣63）2]＝3；
∵＝＝63，
∴s乙2＝×[（63﹣63）2×3+（65﹣63）2+（60﹣63）2+（64﹣63）2]＝，
∵s乙2＜s甲2，
∴乙种小麦的株高长势比较整齐；
（2）列表如下：
63
66
63
61
64
61
63
63、63
66、63
63、63
61、63
64、63
61、63
65
63、65
66、65
63、65
61、65
64、65
61、65
60
63、60
66、60
63、60
61、60
64、60
61、60
63
63、63
66、63
63、63
61、63
64、63
61、63
64
63、64
66、64
63、64
61、64
64、64
61、64
63
63、63
66、63
63、63
61、63
64、63
61、63
由表格可知，共有36种等可能结果，其中两株配对小麦株高恰好都等于各自平均株高的有6种，
∴所抽取的两株配对小麦株高恰好都等于各自平均株高的概率为．
【点评】本题考查了平均数、方差及列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E．
（1）求证：△DCE是等腰三角形；
（2）若tanA＝，AB＝3，求BD的长．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，得到∠ACO+∠DCE＝90°，根据直角三角形的性质得到∠EAD+∠E＝90°，根据等角的余角相等得到∠DCE＝∠E，根据等腰三角形的判定定理证明结论；
（2）根据正切的定义得到ED＝AD，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∴∠ACO+∠DCE＝90°，
∵ED⊥AD，
∴∠EDA＝90°，
∴∠EAD+∠E＝90°，
∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠EAD，
∴∠DCE＝∠E，
∴DC＝DE，即△DCE是等腰三角形；
（2）解：设BD＝x，则AD＝AB+BD＝3+x，OD＝OB+BD＝1.5+x，
在Rt△EAD中，tanA＝，即＝，
∴ED＝AD＝（3+x），
∴DC＝（3+x），
在Rt△OCD中，OC2+CD2＝DO2，即1.52+[（3+x）]2＝（1.5+x）2，
解得：x1＝﹣3（舍去），x2＝1，
∴BD＝1．
【点评】本题考查的是切线的性质、正切的定义、等腰三角形的判定，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
24．（10分）某学校为了奖励九年级优秀毕业生，计划购买一批平板电脑和一批学习机，经投标，购买1台平板电脑比购买2台学习机多1400元，购买1台平板电脑和4台学习机共需6200元．
（1）求购买1台平板电脑和1台学习机各需多少元；
（2）学校根据实际情况，决定购买平板电脑和学习机共100台，要求购买的总费用不超过168000元，且购买学习机的台数不超过平板电脑台数的1.7倍．请问有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的不等式组，然后求解即可．
【解答】解：（1）设购买1台平板电脑a元，购买1台学习机b元，
由题意可得：，
解得，
答：购买1台平板电脑3000元，购买1台学习机800元；
（2）设购买平板电脑x台，则购买学习机（100﹣x）台，
由题意可得：，
解得37≤x≤40，
∵x为整数，
∴x＝38，39，40，
∴共有三种购买方案，
方案一：购买平板电脑38台，购买学习机62台，所需费用为：3000×38+800×62＝163600（元）；
方案二：购买平板电脑39台，购买学习机61台，所需费用为：3000×39+800×61＝165800（元）；
方案三：购买平板电脑40台，购买学习机60台，所需费用为：3000×40+800×60＝168000（元）；
由上可得，方案一最省钱，
答：有三种购买方案，方案一：购买平板电脑38台，购买学习机62台；方案二：购买平板电脑39台，购买学习机61台；方案三：购买平板电脑40台，购买学习机60台；其中方案一最省钱．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组．
25．（10分）如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，ED平分∠AEC，F为DE的中点，连接AF，BF，过点E作EH∥AD分别交BF，CD于G，H两点．
（1）求证：CE＝AB；
（2）求证：∠ABF＝∠ADE；
（3）当BF•GF＝18时，求AF的长．
【分析】（1）根据矩形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，求得∠DCE＝∠CEA，根据角平分线的定义得到∠AED＝∠CED，求得∠CDE＝∠CED，于是得到结论；
（2）如图，连接CF，根据等腰三角形的性质得到CF⊥ED，根据直角三角形的性质得到AF＝DF＝EF＝ED，求得∠BAF＝∠DEA，根据全等三角形的性质得到∠AFB＝∠DFC＝90°，于是得到结论；
（3）求得∠AEH＝90°，得到∠FEH+∠AED＝90°，根据相似三角形的性质得到EF＝3，即可得到AF＝EF＝3．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠DCE＝∠CEA，
∵ED平分∠AEC，
∴∠AED＝∠CED，
∴∠CDE＝∠CED，
∴CE＝DC，
∴CE＝AB；
（2）证明：如图，连接CF，
∵CE＝CD，F为DE的中点，
∴CF⊥ED，
∴∠DFC＝90°，
在矩形ABCD中，AB＝DC，∠BAD＝90°，
∴AF＝DF＝EF＝ED，
∴∠BAF＝∠DEA，
∵∠CDE＝∠DEA，
∴∠BAF＝∠CDF，
在△BAF和△CDF中，
，
∴△BAF≌△CDF（SAS），
∴∠AFB＝∠DFC＝90°，
∴AF⊥BF，
∴∠AFB＝90°，
∴∠ABF+∠BAF＝∠AED+∠ADE＝90°，
∴∠ABF＝∠ADE；
（3）解：∵AF⊥BF，
∴∠BAF+∠ABF＝90°，
∵EH∥AD，∠BAD＝90°，
∴∠AEH＝90°，
∴∠FEH+∠AED＝90°，
∵∠BAF＝∠DEA，
∴∠ABF＝∠FEH，
∵∠EFG＝∠BFE，
∴△EFG∽△BFE，
∴＝，即EF2＝BF•GF，
∵BF•GF＝18，
∴EF＝3，
∴AF＝EF＝3．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
26．（12分）已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上的三个点，抛物线y＝ax2﹣x+c经过A、B、C三点，且OA＝1，OB＝3．
（1）求该抛物线的解析式及点C坐标；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP的面积等于△ACB的面积？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点Q，使得以点A、B、C、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，令y＝0，求出x的值，进而可得答案；
（2）根据等底等高的三角形面积相等，可得P点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（3）根据菱形的四边相等，可得QB的长，根据菱形的对边平行，可得Q点的纵坐标．
【解答】解：（1）∵OA＝1，OB＝3，
∴A（1，0）、B（0，3），
将点A，B坐标代入抛物线的解析式y＝ax2﹣x+c，得，
解得：a＝﹣，c＝3，
∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+3，
令y＝0，即﹣x2﹣x+3＝0，解得x＝﹣4或x＝1，
∴C（﹣4，0）．
（2）在抛物线上存在一点P，使△ACP的面积等于△ACB的面积，理由为：
设点P的坐标为P（m，n），
∵S△ACB＝×5×3＝，S△ACP＝×5×|n|，
∴×5×|n|＝，n＝±3．
∴当n＝3时，﹣m2﹣m+3＝3，解得m1＝0，x2＝﹣3，即P（﹣3，3）或（0，3）．
当n＝﹣3时，﹣m2﹣m+3＝﹣3，解得m1＝，m2＝，即P 2（，﹣3），P3（，﹣3）
综上所述：P的坐标为（﹣3，3）或（0，3）或（，﹣3）或（，﹣3）
（3）在平面直角坐标系xOy中存在一点Q，使得以点A、B、C、Q为顶点的四边形为菱形，理由为：
∵OB＝3，OC＝4，OA＝1，
∴BC＝AC＝5，
当BQ平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形，
∴BQ＝AC＝BC＝5，
∵BQ∥AC，
∴点Q到x轴的距离等于OB＝3，
∴点Q的坐标为（5，3），
当点Q在第二、三象限时，以点A、B、C、Q为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，
则当点Q的坐标为（5，3）时，以点A、B、C、Q为顶点的四边形为菱形．
【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键是利用等底等高的三角形面积相等得出P点的纵坐标，有利用自变量与函数值的对应关系；解（3）的关键是利用菱形的四边相等得出QB的长．
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