专题10.万有引力与航天2-非绕行问题及天体各参数的计算（解析版）

这是一份专题10.万有引力与航天2-非绕行问题及天体各参数的计算（解析版），共18页。

TOC \ "1-2" \h \u \l _Tc12772 题型一、估算类问题 PAGEREF _Tc12772 1
\l _Tc6009 题型二、天体运动各参数的计算 PAGEREF _Tc6009 6
\l _Tc24824 题型三、非绕行问题—万有引力提供物体重力的综合分析 PAGEREF _Tc24824 16
题型一、估算类问题
1.（2021全国甲）2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105m。已知火星半径约为3.4×106m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为（ ）
A. 6×105mB. 6×106mC. 6×107mD. 6×108m
【答案】C
【解析】忽略火星自转则
①
可知
设与为1.8×105s的椭圆形停泊轨道周期相同的圆形轨道半径为，由万引力提供向心力可知
②
设近火点到火星中心为
③
设远火点到火星中心为
④
由开普勒第三定律可知
⑤
由以上分析可得
故选C。
2.（2021全国乙）科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为（太阳到地球的距离为）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】可以近似把S2看成匀速圆周运动，由图可知，S2绕黑洞的周期T=16年，地球的公转周期T0=1年，S2绕黑洞做圆周运动的半径r与地球绕太阳做圆周运动的半径R关系是

地球绕太阳的向心力由太阳对地球的引力提供，由向心力公式可知
解得太阳的质量为
同理S2绕黑洞的向心力由黑洞对它的万有引力提供，由向心力公式可知
解得黑洞的质量为
综上可得
故选B。
3.（2021河北） “祝融号”火星车登陆火星之前，“天问一号”探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行，其周期为2个火星日，假设某飞船沿圆轨道绕火星飞行，其周期也为2个火星日，已知一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的0.1倍，则该飞船的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径的比值约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】绕中心天体做圆周运动，根据万有引力提供向心力，可得
则
，
由于一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的0.1倍，则飞船的轨道半径
则
故选D。
4.（2018·全国卷2）2018年2月，我国500 m口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，其自转周期T=5.19 ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】试题分析;在天体中万有引力提供向心力，即 ，天体的密度公式，结合这两个公式求解。设脉冲星值量为M，密度为
根据天体运动规律知： 代入可得： ，故C正确；
5.（2018全国1） 2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈，将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星（ ）
A. 质量之积 B. 质量之和 C. 速率之和 D. 各自的自转角速度
【答案】BC
【解析】本题考查天体运动、万有引力定律、牛顿运动定律及其相关的知识点。
双中子星做匀速圆周运动的频率f=12Hz（周期T=1/12s），由万有引力等于向心力，可得，=m1r1（2πf）2，=m2r2（2πf）2，r1+ r2=r=40km，联立解得：（m1+m2）=（2πf）2Gr3，选项B正确A错误；由v1=ωr1=2πf r1，v2=ωr2=2πf r2，联立解得：v1+ v2=2πf r，选项C正确；不能得出各自自转的角速度，选项D错误。
6.（2016全国1）利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯。目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的倍。假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为（ ）
1hB.4hC.8hD.16h
【答案】B
【解析】地球自转周期变小，卫星要与地球保持同步，则卫星的公转周期也应随之变小，由 可得，则卫星离地球的高度应变小，要实现三颗卫星覆盖全球的目的，则卫星周期最小时，由数学几何关系可作出图。由几何关系得，卫星的轨道半径为①
由开普勒第三定律，代入题中数据，得②
由①②解得
7.（2014全国卷1）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动．当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”．据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日．已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列判断正确的是( )
A.各地外行星每年都会出现冲日现象
B．在2015年内一定会出现木星冲日
C．天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半
D．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短
【答案】：BD
【解析】： 本题考查万有引力知识，开普勒行星第三定律，天体追及问题．因为冲日现象实质上是角速度大的天体转过的弧度恰好比角速度小的天体多出2π，所以不可能每年都出现(A选项)．由开普勒行星第三定律有eq \f(Teq \\al(2,木),Teq \\al(2,地))＝eq \f(req \\al(3,木),req \\al(3,地))＝140.608，周期的近似比值为12，故木星的周期为12年，由曲线运动追及公式eq \f(2π,T1)t－eq \f(2π,T2)t＝2nπ，将n＝1代入可得t＝eq \f(12,11)年，为木星两次冲日的时间间隔，所以2015年能看到木星冲日现象，B正确．同理可算出天王星相邻两次冲日的时间间隔为1.01年．土星两次冲日的时间间隔为1.03年．海王星两次冲日的时间间隔为1.006年，由此可知C错误，D正确．
8.（2014·浙江） 长期以来“卡戎星(Charn)”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径r1＝19 600 km，公转周期T1＝6.39天.2006年3月，天文学家新发现两颗冥王星的小卫星，其中一颗的公转轨道半径r2＝48 000 km，则它的公转周期T2最接近于( )
A．15天 B．25天 C．35天 D．45天
【答案】B
【解析】本题考查开普勒第三定律、万有引力定律等知识．根据开普勒第三定律eq \f(req \\al(3,1),Teq \\al(2,1))＝eq \f(req \\al(3,2),Teq \\al(2,2))，代入数据计算可得T2约等于25天．选项B正确．
题型二、天体运动各参数的计算
9.（2020海南） 2020年5月5日，长征五号B运载火箭在中国文昌航天发射场成功首飞，将新一代载人飞船试验船送入太空，若试验船绕地球做匀速圆周运动，周期为T，离地高度为h，已知地球半径为R，万有引力常量为G，则（ ）
A. 试验船的运行速度为
B. 地球的第一宇宙速度为
C. 地球的质量为
D. 地球表面的重力加速度为
【答案】B
【解析】A．试验船的运行速度为，故A错误；
B．近地轨道卫星的速度等于第一宇宙速度，根据万有引力提供向心力有
根据试验船受到的万有引力提供向心力有
联立两式解得第一宇宙速度
故B正确；
C．根据试验船受到的万有引力提供向心力有
解得
故C错误；
D．地球重力加速度等于近地轨道卫星向心加速度，根据万有引力提供向心力有
根据试验船受到的万有引力提供向心力有
联立两式解得重力加速度
故D错误。
故选B。
10.（2021湖南） 2021年4月29日，中国空间站天和核心舱发射升空，准确进入预定轨道。根据任务安排，后续将发射问天实验舱和梦天实验舱，计划2022年完成空间站在轨建造。核心舱绕地球飞行的轨道可视为圆轨道，轨道离地面的高度约为地球半径的。下列说法正确的是（ ）
A. 核心舱进入轨道后所受地球的万有引力大小约为它在地面时的倍
B. 核心舱在轨道上飞行的速度大于
C. 核心舱在轨道上飞行的周期小于
D. 后续加挂实验舱后，空间站由于质量增大，轨道半径将变小
【答案】AC
【解析】A．根据万有引力定律有
核心舱进入轨道后的万有引力与地面上万有引力之比为
所以A正确；
B．核心舱在轨道上飞行的速度小于7.9km/s，因为第一宇宙速度是最大的环绕速度，所以B错误；
C．根据
可知轨道半径越大周期越大，则其周期比同步卫星的周期小，小于24h，所以C正确；
D．卫星做圆周运动时万有引力提供向心力有
解得
则卫星的环绕速度与卫星的质量无关，所以变轨时需要点火减速或者点火加速，增加质量不会改变轨道半径，所以D错误；
故选AC。
11.（2021广东）2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是（ ）
A. 核心舱的质量和绕地半径
B. 核心舱的质量和绕地周期
C. 核心舱的绕地角速度和绕地周期
D. 核心舱的绕地线速度和绕地半径
【答案】D
【解析】根据核心舱做圆周运动的向心力由地球的万有引力提供，可得
可得
可知已知核心舱的质量和绕地半径、已知核心舱的质量和绕地周期以及已知核心舱的角速度和绕地周期，都不能求解地球的质量；若已知核心舱的绕地线速度和绕地半径可求解地球的质量。
故选D。
12.（2020江苏）.甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍。下列应用公式进行的推论正确的有（ ）
A. 由可知，甲的速度是乙的倍
B. 由可知，甲的向心加速度是乙的2倍
C. 由可知，甲的向心力是乙的
D. 由可知，甲的周期是乙的倍
【答案】CD
【解析】卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，则
A．因为在不同轨道上g是不一样的，故不能根据得出甲乙速度的关系，卫星的运行线速
代入数据可得故A错误；
B．因为在不同轨道上两卫星的角速度不一样，故不能根据得出两卫星加速度的关系，卫星的运行加速度
代入数据可得故B错误；
C．根据，两颗人造卫星质量相等，可得，故C正确；
D．两卫星均绕地球做圆周运动，根据开普勒第三定律，可得
故D正确。故选CD。
13.（2020全国3）.“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的K倍。已知地球半径R是月球半径的P倍，地球质量是月球质量的Q倍，地球表面重力加速度大小为g。则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】假设在地球表面和月球表面上分别放置质量为和的两个物体，则在地球和月球表面处，分别有，
解得
设嫦娥四号卫星的质量为，根据万有引力提供向心力得
解得：故选D。
14.（2020全国2）.若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】卫星在星体表面附近绕其做圆周运动，则：， ，
知卫星该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期：
15.（2019全国3）金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金a火B．a火>a地>a金 C．v地>v火>v金D．v火>v地>v金
【答案】A
【解析】：天体绕行类问题遵循“高轨低速长周期”原则；即轨道半径越大卫星的角速度、线速度、向心加速度越小，周期越长。
16.（2018·天津卷）2018年2月2日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空，标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一。通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面处的重力加速度。若将卫星绕地球的运动看作是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的（ ）
A. 密度 B. 向心力的大小 C. 离地高度 D. 线速度的大小
【答案】CD
【解析】根据题意，已知卫星运动的周期T，地球的半径R，地球表面的重力加速度g，卫星受到的外有引力充当向心力，故有，卫星的质量被抵消，则不能计算卫星的密度，更不能计算卫星的向心力大小，AB错误；由解得，而，故可计算卫星距离地球表面的高度，C正确；根据公式，轨道半径可以求出，周期已知，故可以计算出卫星绕地球运动的线速度，D正确；
17.（2018·全国卷3）为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为（ ）
A. 2:1 B. 4:1 C. 8:1 D. 16:1
【答案】C
【解析】试题分析 本题考查卫星的运动、开普勒定律及其相关的知识点。
解析 设地球半径为R，根据题述，地球卫星P的轨道半径为RP=16R，地球卫星Q的轨道半径为RQ=4R，根据开普勒定律，==64，所以P与Q的周期之比为TP∶TQ=8∶1，选项C正确。
18.（2015四川）．登上火星是人类的梦想，“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于2020年登陆火星。地球和火星公转视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响。根据下表，火星和地球相比（ ）
A．火星的公转周期较小 B．火星做圆周运动的加速度较小
C．火星表面的重力加速度较大 D．火星的第一宇宙速度较大
【答案】B
【解析】：根据
结论：同一个中心天体，外有不同绕行天体，绕行天体的线速度、角速度、向心加速度的大小随轨道半径的增大而减小，周期则随轨道半径的增大而增大，简称：“高轨低速长周期”。火星公转的轨道半径大于地球公转的轨道半径，所以火星的公转周期大，向心加速度小；根据：；得，分别将火星的质量、半径地球的质量半径代入上式即可比较二者表面的重力加速度之比；假设第一宇宙速度的大小为V1，，分别代入参数即可比较；
19.（2014·福建卷） 若有一颗“宜居”行星，其质量为地球的p倍，半径为地球的q倍，则该行星卫星的环绕速度是地球卫星环绕速度的( )
A.eq \r(pq)倍 B.eq \r(\f(q,p))倍 C.eq \r(\f(p,q))倍 D.eq \r(pq3)倍
【答案】C
【解析】 由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)可知，卫星的环绕速度v＝eq \r(\f(GM,R))，由于“宜居”行星的质量为地球的p倍，半径为地球的q倍，则有eq \f(v宜,v地)＝eq \r(\f(M宜,M地)·\f(R地,R宜))＝eq \r(\f(p,1)·\f(1,q))＝eq \r(\f(p,q))，故C项正确．
20.（2014上海）动能相等的两人造地球卫星A、B的轨道半径之比，它们的角速度之比 ，质量之比 。
【答案】2：1 ； 1：2
【解析】 根据Geq \f(Mm,R2)＝mω2R得出ω＝,则ωA : ωB＝：＝2：1 ；又因动能EK＝eq \f(1,2)mv2相等 以及v=ωR ,得出mA : mB ＝＝1 ：2
21.（2015江苏）过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径为，该中心恒星与太阳的质量比约为（ ）
A． B．1 C．5 D．10
【答案】B
【解析】：根据万有引力提供向心力：，可得恒星的质量与太阳的质量比为81：80
22.（2015福建）如图，若两颗人造卫星a和b均绕地球做匀速圆周运动，a、b到地心O的距离分别为r1、r2, 线速度大小分别为v1 、 v2。则 （ ）


【答案】：A
【解析】：两颗人造卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据，得：，所以，故A正确；B、C、D错误。
23.（2014·江苏） 已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球的半径约为火星半径的2倍，则航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为( )
A．3.5 km/s B．5.0 km/s C．17.7 km/s D．35.2 km/s
【答案】：A
【解析】： 航天器在火星表面附近做圆周运动所需的向心力是由万有引力提供的，由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)知v＝eq \r(\f(GM,R))，当航天器在地球表面附近绕地球做圆周运动时有v地＝7.9 km/s，eq \f(v火,v地)＝eq \f(\r(\f(GM火,R火)),\r(\f(GM地,R地)))＝eq \r(\f(M火,M地)·\f(R地,R火))＝eq \f(\r(5),5)，故v火＝eq \f(\r(5),5)v地＝eq \f(\r(5),5)×7.9 km/s≈3.5 km/s，则A正确．
题型三、非绕行问题—万有引力提供物体重力的综合分析
24.（2020全国1）.火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为（ ）
A. 0.2B. 0.4C. 2.0D. 2.5
【答案】B
【解析】设物体质量为m，在火星表面所受引力的大小为F1,则在火星表面有:
在地球表面所受引力的大小为F2，则在地球表面有：
由题意知有：；
故联立以上公式可得：。故B选项正确。
25.(2019全国2)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆，在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图像是（ ）
【答案】D
【解析】：根据万有引力定律可得： ，式中R 表示地球的半径、随着h增大，F在减小，故选项D正确；
26.(2019 天津)2018年12月8日，肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射，“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国足迹”。已知月球的质量为、半径为，探测器的质量为，引力常量为，嫦娥四号探测器围绕月球做半径为的匀速圆周运动时，探测器的（ ）
A．周期为B．动能为
C．角速度为D．向心加速度为
【答案】A
【解析】：万有引力提供探测器做圆周运动的向心力；
解的T=故A 正确；
解得： 故C错
解得：，联立得：故B 错
解得：故D 错
27.（2018·北京卷）若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证（ ）
A. 地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的1/602
B. 月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的1/602
C. 自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的1/6
D. 苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的1/60
【答案】B
【解析】设月球的质量为M2地球的质量为M1苹果的质量为m；地球的半径为r
月球受到的万有引力的大小为：
苹果受到的万有引力的大小为：
因月球和苹果的质量关系未知，所以A 选项无法比较；故A 错；
设月球的公转加速大小为a1，苹果落地的加速度大小为a2
联立两式得：故B 对；
月球表面的重力加速度：，地球表面的重力加速度：；r1、r2的大小关系未知；所以无法求得月地表面的重力加速度之比，故C错；D错；
28.（2014全国2） 假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为( )
A. B. C. D、
【答案】B
【解析】： 在赤道： 在北极上：
密度
表达式（2）可变形为： （3）（4）、（5）联立：
(1)、(2)两式联立：
将(7)式代入(6)式得：。
29.（2015重庆）宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为，距地面高度为，地球质量为，半径为，引力常量为，则飞船所在处的重力加速度大小为（ ）
A.0 B. C. D.
【答案】B
【解析】：对飞船受力分析知，所受到的万有引力提供匀速圆周运动的向心力，等于飞船所在位置的重力，即，可得飞船的重力加速度为，故选B。
30.（2014·北京）万有引力定律揭示了天体运行规律与地上物体运动规律具有内在的一致性．
(1)用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果．已知地球质量为M，自转周期为T，万有引力常量为G.将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响．设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F0.
a. 若在北极上空高出地面h处称量，弹簧秤读数为F1，求比值eq \f(F1,F0)的表达式，并就h＝1.0%R的情形算出具体数值(计算结果保留两位有效数字)；
b. 若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F2，求比值eq \f(F2,F0)的表达式．
(2)设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径r、太阳的半径Rs和地球的半径R三者均减小为现在的1.0%，而太阳和地球的密度均匀且不变．仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的1年将变为多长．
【答案】：(1)a. eq \f(F1,F0)＝eq \f(R2,（R＋h）2) 0.98 b． eq \f(F2,F0)＝1－eq \f(4π2R3,GMT2)
(2)1年
【解析】 (1)设小物体质量为m.a．在北极地面
Geq \f(Mm,R2)＝F0
在北极上空高出地面h处
Geq \f(Mm,（R＋h）2)＝F1
eq \f(F1,F0)＝eq \f(R2,（R＋h）2)
当h＝1.0%R时
eq \f(F1,F0)＝eq \f(1,1.012)≈0.98.
b．在赤道地面，小物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和弹簧秤的作用力，有
Geq \f(Mm,R2)－F2＝meq \f(4π2,T2)R
得
eq \f(F2,F0)＝1－eq \f(4π2R3,GMT2).
(2)地球绕太阳做匀速圆周运动，受到太阳的万有引力，设太阳质量为MS，地球质量为M，地球公转周期为TE，有
Geq \f(MSM,r2)＝Mreq \f(4π2,Teq \\al(2,E))
得
TE＝eq \r(\f(4π2r3,GMS))＝eq \r(\f(3πr3,GρReq \\al(3,S))).
其中ρ为太阳的密度．
由上式可知，地球公转周期TE仅与太阳的密度、地球公转轨道半径与太阳半径之比有关．因此“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同．
地球
火星
木星
土星
天王星
海王星
轨道半径(AU)
1.0
1.5
5.2
9.5
19
30
行星
半径/m
质量/kg
轨道半径/m
地球
6.4×106
6.0×1024
1.5×1011
火星
3.4×106
6.4×1023
2.3×1011