2022届甘肃省兰州市高三下学期4月一诊（一模）数学（文科）试题（原卷版+解析版）

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2022年兰州市高三诊断考试数学（文科）注意事项：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题纸上．2．本试卷满分150分，考试用时120分钟．答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设i为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数（    ）A. -1 B. 0 C. 1 D. 22. 已知集合，，则（    ）A.  B.  C.  D. 3. 已知，，与的夹角为，则（    ）A. 6 B.  C.  D. 4. 圆的圆心到直线的距离是（    ）A.  B.  C. 1 D. 5. 已知一个半径为的扇形圆心角为，面积为，若，则（    ）A.  B.  C.  D. 6. 已知是奇函数，当时，，若，则(    )A.  B.  C. 2 D. 17. 2022年2月4日第24届冬季奥林匹克运动会在北京盛大开幕，中国冬奥健儿在赛场上摘金夺银，在国内掀起一波冬奥热的同时，带动了奥运会周边产品的热销，其中奥运吉祥物冰墩墩盲盒倍受欢迎．已知冰墩墩盲盒共有7个，6个基础款，1个隐藏款，随机购买两个，买到隐藏款的概率为（    ）A.  B.  C.  D. 8. 已知l、m、n为空间中的三条直线，为平面．现有以下三个命题：①若l、m、n两两相交，则l、m、n共面；②若，，则；③若，，则．其中的真命题是（    ）A. ①②③ B. ①③ C. ①② D. ③9. 已知在上单调，且值域为，，则(    )A. 1 B.  C.  D. 10. 如图，在网格上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，若此多面体的所有顶点均可以放置在一个正方体的各面内，则此正方体的对角线长为（    ）A.  B.  C.  D. 11. 已知定义在R上奇函数满足．当时，，则（    ）A. 7 B. 10 C.  D. 12. 已知椭圆与双曲线有公共的焦点、，A为曲线、在第一象限的交点，且的面积为2，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（    ）A  B. 2 C. 1 D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若实数x、y满足则的最大值是______．14. 为了践行绿色发展理念，近年来我国一直在大力推广使用清洁能源．2020年9月我国提出了“努力争取2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和”的新目标．下图是2016至2020年我国清洁能源消费占能源消费总量的比重y的数据统计图，由图中数据可以得到y关于年份序号x的回归直线方程：，根据回归方程可预测2022年我国的清洁能源消费占能源消费总量的比重约为______%．15. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若，在方向上的投影是的，△ABC的面积为，则______．16. 函数有三个零点，且，则的取值范围是______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 在①，②是和的等比中项，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．问题：已知公差d不为0的等差数列的前n项和为，．（1）______，求数列的通项公式；（2）若数列，，求数列前n项和．19. 自“双减”政策颁布实施以来，为了研究中小学各学科作业用时的平衡问题，某市教科研部门制定了该市各年级每个学科日均作业时间的判断标准．下表是初中八年级A学科的判断标准．日均作业时间（分钟）不低于16分钟 判断标准过少较少适中较多过多之后教科研部门又随机抽取该市30所初中学校八年级A学科作业时间作为样本，得到A学科日均作业时间的频数分布表见下表．日均作业时间（分钟）学校数2310105 （1）请将同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，估计该市初中八年级学生完成A学科作业的日平均时间（结果精确到0.1）；（2）针对初期调查所反映的情况，该市进行了A学科教师全员培训，指导教师对作业设计进行优化，之后教科研部门又随机抽取30所初中学校进行了调查，获得了下表数据．日均作业时间（分钟）学校数510852若A学科日均作业时间不低于12分钟，称为“作业超量”，填写列联表，判断是否有99%的把握认为作业是否超量与培训有关．附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828列联表 作业未超量作业超量未培训  培训   21. 已知四棱锥中，底面为菱形，点E为棱PC上一点（与P、C不重合），点M、N分别在棱PD、PB上，平面∥平面．（1）求证：∥平面；（2）若E为PC中点，，，，求点A到平面EBD距离．23. 已知函数，为自然对数的底数．（1）求在处的切线方程；（2）当时，，求实数a的最大值．25. 已知抛物线的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线交抛物线于M、N两点，．（1）求抛物线E的方程；（2）在抛物线E上任取与原点不重合的点A，过A作抛物线E的切线交x轴于点B，点A在直线上的射影为点C，试判断四边形ACBF的形状，并说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-4：坐标系与参数方程】27. 平面直角坐标系下，曲线的参数方程为（t为参数），曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线，的极坐标方程；（2）过极点的直线l与曲线交于A、B两点，与曲线交于M、N两点，求的最小值．【选修4-5：不等式选讲】29. 已知函数．（1）当时，解关于的不等式；（2）当时，的最小值为，且正数满足．求的最小值．