2022年中考数学复习新题速递之图形的相似（含答案）

这是一份2022年中考数学复习新题速递之图形的相似（含答案），共39页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年中考数学复习新题速递之图形的相似
一、选择题（共10小题）
1．（2022•萧山区开学）若线段，点是线段的黄金分割点，且，则的长为
A． B． C． D．
2．（2022•福州模拟）如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到的两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是

A． B． C． D．
3．（2022•安庆模拟）若，则的值为
A． B． C． D．
4．（2021秋•舒城县期末）如图，电灯在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，米，米，点到的距离是4米，则到的距离为

A．2.5米 B．1.6米 C．1.5米 D．1.2米
5．（2021秋•市中区期末）地图上乐山到峨眉的图上距离为3.8厘米，比例尺是，那么乐山到峨眉的实际距离是
A．3800米 B．38000米 C．380000米 D．3800000米
6．（2021秋•山阴县期末）如图，直线，，截直线和，，，则下列结论中，正确的是

A． B． C． D．
7．（2021秋•方城县期末）如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是

A． B． C． D．
8．（2021秋•亳州期末）如图，在中，点、分别是、上的点，连接，下列条件不能使得与相似的是

A． B． C． D．
9．已知，相似比为．则下列说法错误的是
A．周长比为 B．对应角的比为
C．对应中线的比为 D．对应高的比为
10．在下列图形中，不构成相似图形的一组是
A． B．
C． D．
二、填空题（共7小题）
11．（2022•龙岗区一模）四条线段、、、成比例，其中、、，则线段 ．
12．（2021秋•舒城县期末）如图，抛物线交轴于点、，交轴于点，为抛物线的顶点．
（1）点坐标为 ；
（2）点关于抛物线对称轴的对称点为点，点是抛物线对称轴上一点，且和相似，点坐标为 ．

13．（2021秋•市中区期末）若实数、满足，则代数式 ．
14．（2021•沂水县二模）如图1，点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．设，，则，所以，即叫做黄金比．一些美术家认为：人的上、下身长之比接近黄金比，可以增加美感．如图2的人体雕像高为，下身长为，为增加视觉美感，若图中为2米，则为 米．

15．（2020•双阳区一模）如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、．若，，，则的长度是 ．

16．如图，，分别是矩形的边，的中点，若矩形与矩形相似，，则 ．

17．请将图中的相似图形的序号写出来 ．

三、解答题（共8小题）
18．（2022•南昌模拟）如图，在中，，，是的平分线．求证：．

19．（2022•大渡口区模拟）计算：
（1）已知，若，求，的值．
（2）解方程：．
20．（2021秋•沐川县期末）在平面直角坐标系中，已知与是位似图形，且点的对应点，点的对应点，点的对应点，求位似中心的坐标．
21．（2021秋•方城县期末）如图，已知点是坐标原点，，两点的坐标分别为，．以点为位似中心，在轴的左侧将放大到原来的2倍（即新图形与原图形的相似比为，画出△．根据所画图形回答下列问题：
（1）分别写出，两点的对应点，的坐标为 ， ；
（2）如果内部一点的坐标为，写出点的对应点的坐标为 ．

22．（2021•思明区校级二模）如图，在中，，点在上．
（1）在上求作点，使；（要求：尺规作图，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若．求证：．

23．（2021•陕西模拟）如图，四边形是一个边长为360米的正方形公园，公园东门位于的中点，公园南门位于的中点，出东门60米的处有一个商店，求出南门多少米恰好看到位于处的商店（即点在直线上）？请你计算的长为多少米？

24．（2021•房县模拟）如图，已知是的直径，是上一点，的平分线交于点，交的切线于点，过点作，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的值．

25．在下图中，把互为相似的两图形用直线连起来．



2022年中考数学复习新题速递之图形的相似（2022年3月）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．（2022•萧山区开学）若线段，点是线段的黄金分割点，且，则的长为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】黄金分割
【专题】图形的相似；运算能力
【分析】根据黄金分割点的定义和得出，代入数据即可得出的长度，再利用求出答案．
【解答】解：由于为线段的黄金分割点，
且，
则，
，
故选：．
【点评】本题考查了黄金分割．识记黄金分割的公式是解题的关键．
2．（2022•福州模拟）如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到的两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是

A． B． C． D．
【答案】
【考点】矩形的性质；相似多边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【专题】图形的相似；应用意识
【分析】表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解．
【解答】解：设原来矩形的长为，宽为，
则对折后的矩形的长为，宽为，
得到的两个矩形都和原矩形相似，
，
解得．
故选：．

【点评】本题主要利用相似多边形对应边成比例的性质，需要熟练掌握．
3．（2022•安庆模拟）若，则的值为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】比例的性质
【专题】分式；运算能力
【分析】根据比例的性质进行计算即可解答．
【解答】解：，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
4．（2021秋•舒城县期末）如图，电灯在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，米，米，点到的距离是4米，则到的距离为

A．2.5米 B．1.6米 C．1.5米 D．1.2米
【答案】
【考点】相似三角形的应用；中心投影
【专题】图形的相似；应用意识
【分析】利用相似三角形对应高的比等于相似比，列出方程即可解答．
【解答】解：

到的距离：点到的距离．
到的距离：4，
到的距离为，
故选：．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形对应高的比等于相似比，列出方程，通过解方程求出到的距离．
5．（2021秋•市中区期末）地图上乐山到峨眉的图上距离为3.8厘米，比例尺是，那么乐山到峨眉的实际距离是
A．3800米 B．38000米 C．380000米 D．3800000米
【答案】
【考点】比例线段
【专题】运算能力；图形的相似
【分析】设乐山到峨眉的实际距离为，利用比例尺的定义得到，然后利用比例的性质求出，再化单位化为米即可．
【解答】解：设乐山到峨眉的实际距离为厘米，
根据题意得，
解得，
所以乐山到峨眉的实际距离是3800000厘米，即38000米．
故选：．
【点评】本题考查了比例线段，正确理解比例尺的定义是解决问题的关键．
6．（2021秋•山阴县期末）如图，直线，，截直线和，，，则下列结论中，正确的是

A． B． C． D．
【答案】
【考点】平行线分线段成比例
【专题】图形的相似；推理能力
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解答本题．
【解答】解：，，
，
，，，故选项正确，符合题意，选项、不正确，不符合题意；
连接，交于，

，
，
，
，
选项不正确，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
7．（2021秋•方城县期末）如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是

A． B． C． D．
【答案】
【考点】相似三角形的判定与性质
【专题】推理能力；图形的相似
【分析】根据三角形的面积公式计算，判断；证明，根据相似三角形的性质列出比例式，判断；同的方法判断；证明，列出比例式，判断．
【解答】解：、由三角形的面积公式可知，，
，本选项结论正确，不符合题意；
、，，
，
，
，本选项结论正确，不符合题意；
、同上可知：，本选项结论错误，符合题意；
、，
，
，
，
，
，
，
，
，本选项结论正确，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
8．（2021秋•亳州期末）如图，在中，点、分别是、上的点，连接，下列条件不能使得与相似的是

A． B． C． D．
【答案】
【考点】相似三角形的判定
【专题】图形的相似；推理能力
【分析】根据相似三角形的判定方法逐一判断即可．
【解答】解：、，，
，
故不符合题意；
、，
，，
，
故不符合题意；
、，，
与不相似，
故符合题意；
、，，
，
故不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
9．已知，相似比为．则下列说法错误的是
A．周长比为 B．对应角的比为
C．对应中线的比为 D．对应高的比为
【答案】
【考点】相似三角形的性质
【专题】图形的相似；应用题；推理能力
【分析】根据相似三角形的性质来判断．
【解答】解：相似三角形的对应角相等；
相似三角形的周长的比等于相似比；
相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；
故选：．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
10．在下列图形中，不构成相似图形的一组是
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】相似图形
【专题】图形的相似；几何直观
【分析】相似形就是形状相同的两个图形，即对应边的比相等，对应角相等的两个图形，依据定义即可进行判断．
【解答】解：在下列图形中，不构成相似图形的一组是，
故选：．
【点评】此题考查了相似多边形的识别．判定两个图形相似的依据是：对应边的比相等，对应角相等．两个条件必须同时具备．
二、填空题（共7小题）
11．（2022•龙岗区一模）四条线段、、、成比例，其中、、，则线段 9 ．
【答案】9．
【考点】比例线段
【专题】运算能力；推理能力；图形的相似
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义，将，及的值代入即可求得．
【解答】解：，，，是成比例线段，
，
，、，
，
则．
故答案为：9．
【点评】本题考查了比例线段，关键是理解比例线段的概念，列出比例式，用到的知识点是比例的基本性质．
12．（2021秋•舒城县期末）如图，抛物线交轴于点、，交轴于点，为抛物线的顶点．
（1）点坐标为 ；
（2）点关于抛物线对称轴的对称点为点，点是抛物线对称轴上一点，且和相似，点坐标为 ．

【答案】（1）；（2）或．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与轴的交点；坐标与图形变化对称；相似三角形的性质
【专题】分类讨论；待定系数法；二次函数图象及其性质；图形的相似；运算能力
【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线的解析式，再利用配方法即可求得结论；
（2）利用抛物线的解析式求得，，，，，的长，利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答，依据题意画出图形，利用相似三角形的性质，求得和的长即可得出结论．
【解答】解：（1）抛物线交轴于点，
．
．
抛物线的解析式为．
，
．
故答案为：；
（2），
抛物线的对称轴为直线．
，．
令，则，
．

，．．
令，则．
解得：或3．
．
．
．
．
，
．
由于点是抛物线对称轴上一点，且和相似，
此时有两种情况：在上取点，，连接，，如图，

当时，
．
，
．
，
．
．
当△时，
．
，，
．
．
．
．
综上，点坐标为或．
故答案为：或．
【点评】本题主要考查了待定系数法确定抛物线的解析式，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，配方法，利用分类讨论的思想方法解答问题，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
13．（2021秋•市中区期末）若实数、满足，则代数式 ．
【答案】．
【考点】比例的性质
【专题】分式；运算能力
【分析】根据已知条件得出，再把化成，然后计算即可得出答案．
【解答】解：实数、满足，
，
．
故答案为：．
【点评】此题考查了比例的性质，解题的关键是把化成．
14．（2021•沂水县二模）如图1，点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．设，，则，所以，即叫做黄金比．一些美术家认为：人的上、下身长之比接近黄金比，可以增加美感．如图2的人体雕像高为，下身长为，为增加视觉美感，若图中为2米，则为 米．

【答案】．
【考点】黄金分割
【专题】推理能力；图形的相似
【分析】由题意得，即可得出答案．
【解答】解：雕像的腰部以下与全身的高度比值接近黄金比，
，
米，
故答案为：．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，其中．
15．（2020•双阳区一模）如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、．若，，，则的长度是 ．

【答案】．
【考点】平行线分线段成比例
【专题】推理能力；图形的相似
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：，
，
，，，
，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
16．如图，，分别是矩形的边，的中点，若矩形与矩形相似，，则 ．

【答案】．
【考点】矩形的性质；相似多边形的性质
【专题】图形的相似；应用意识
【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】解：设，则，
矩形与矩形相似，
，即，
解得，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查相似多边形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是掌握相似多边形的性质，属于中考常考题型．
17．请将图中的相似图形的序号写出来 （1）和（3），（2）和（8），（4）和（7），（5）和（9），（6） ．

【答案】（1）和（3），（2）和（8），（4）和（7），（5）和（9），（6）．
【考点】相似图形
【专题】几何直观；图形的相似
【分析】相似形就是形状相同的两个图形，即对应边的比相等，对应角相等的两个图形，依据定义即可进行判断．
【解答】解：（1）和（3），（2）和（8），（4）和（7），（5）和（9），（6），
故答案为：（1）和（3），（2）和（8），（4）和（7），（5）和（9），（6）．
【点评】此题考查了相似多边形的识别．判定两个图形相似的依据是：对应边的比相等，对应角相等．两个条件必须同时具备．
三、解答题（共8小题）
18．（2022•南昌模拟）如图，在中，，，是的平分线．求证：．

【答案】见解析过程．
【考点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定
【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力
【分析】由等腰三角形的性质和角平分线的性质可得，可得结论．
【解答】证明：，，
，
是的平分线，
，
，，
．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
19．（2022•大渡口区模拟）计算：
（1）已知，若，求，的值．
（2）解方程：．
【答案】（1），；
（2），．
【考点】二元一次方程的解；解一元二次方程因式分解法；比例的性质
【专题】分式；一元二次方程及应用；运算能力
【分析】（1）设，，利用得到，然后求出，从而得到、的值；
（2）先移项得到，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1），
设，，
，
，
解得，
，；
（2），
，
或，
，．
【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题的关键．也考查了解一元二次方程．
20．（2021秋•沐川县期末）在平面直角坐标系中，已知与是位似图形，且点的对应点，点的对应点，点的对应点，求位似中心的坐标．
【答案】．
【考点】坐标与图形性质；位似变换
【专题】图形的相似；几何直观
【分析】在平面坐标坐标系中描点得到和，、和的交点为位似中心点，然后写出点坐标．
【解答】解：如图，点为位似中心，点坐标为．

【点评】本题考查了位似变换：位似的两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行（或共线）．
21．（2021秋•方城县期末）如图，已知点是坐标原点，，两点的坐标分别为，．以点为位似中心，在轴的左侧将放大到原来的2倍（即新图形与原图形的相似比为，画出△．根据所画图形回答下列问题：
（1）分别写出，两点的对应点，的坐标为 ， ；
（2）如果内部一点的坐标为，写出点的对应点的坐标为 ．

【答案】（1）图形见解答，，；
（2）．
【考点】作图位似变换
【专题】几何直观；网格型；图形的相似
【分析】（1）根据位似变换的定义作出点和点的对应点，再与点首尾顺次连接即可得出答案；
（2）根据点、及其对应点、的坐标特点可得答案．
【解答】解：（1）画△如图所示

由图知、，
故答案为：，；
（2）由题意知，点的对应点的坐标为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查作图—位似变换，解题的关键是掌握位似变换的定义与性质．
22．（2021•思明区校级二模）如图，在中，，点在上．
（1）在上求作点，使；（要求：尺规作图，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若．求证：．

【答案】（1）见解答；（2）见解答．
【考点】等腰三角形的性质；作图相似变换
【专题】图形的相似；尺规作图；几何直观；推理能力
【分析】（1）尺规作图作出，即可得到，从而得到；
（2）根据题意得到，根据平行线的判定即可证得结论．
【解答】（1）解：如图，作出，即可得到；

（2）证明：如图，，，

．
【点评】本题考查了作图相似变换，等腰三角形的性质，平行线的判定等，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．
23．（2021•陕西模拟）如图，四边形是一个边长为360米的正方形公园，公园东门位于的中点，公园南门位于的中点，出东门60米的处有一个商店，求出南门多少米恰好看到位于处的商店（即点在直线上）？请你计算的长为多少米？

【答案】的长为540米．
【考点】相似三角形的应用
【专题】图形的相似；应用意识
【分析】证明，利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质可求出的长．
【解答】解：四边形是一个边长为360米的正方形，
米，
公园东门位于的中点，公园南门位于的中点，
米，米，米，
，
，
而，
，
，即，
米；
答：的长为540米．

【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
24．（2021•房县模拟）如图，已知是的直径，是上一点，的平分线交于点，交的切线于点，过点作，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的值．

【答案】（1）证明过程见解答；
（2）．
【考点】切线的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【专题】圆的有关概念及性质；图形的相似；运算能力
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质和角平分线的性质证明即可解答；
（2）连接，根据直径所对的圆周角是直角求出，再根据切线的性质求出，从而证明，最后证明，利用相似三角形的性质进行计算即可．
【解答】（1）证明：连接，

，

，
，
平分，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：连接，

是的直径，
，
，
与相切于点，
，
，
，
，
，

．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25．在下图中，把互为相似的两图形用直线连起来．


【答案】见解析．
【考点】相似图形
【专题】图形的相似；几何直观
【分析】根据相似图形的判定即可得到结论．
【解答】解：如图所示，

【点评】此题考查了相似多边形的识别．判定两个图形相似的依据是：对应边的比相等，对应角相等．两个条件必须同时具备．

考点卡片
1．二元一次方程的解
（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．
（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
2．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
3．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
4．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
5．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
6．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
7．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
8．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
9．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
10．切线的判定与性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
11．坐标与图形变化-对称
（1）关于x轴对称
横坐标相等，纵坐标互为相反数．
（2）关于y轴对称
纵坐标相等，横坐标互为相反数．
（3）关于直线对称
①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b）
②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b）
12．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
13．比例的性质
（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．
（2）常用的性质有：
①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc．
②合比性质．若＝，则＝．
③分比性质．若＝，则＝．
④合分比性质．若＝，则＝．
⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝．
14．比例线段
（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
15．黄金分割
（1）黄金分割的定义：
如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．
黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：．
（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为．
16．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
17．相似图形
（1）相似图形
我们把形状相同的图形称为相似图形．
（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：
①相似图形的形状必须完全相同；
②相似图形的大小不一定相同；
③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．
（3）相似三角形
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．
18．相似多边形的性质
（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．
（3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形．
（4）相似多边形的性质为：
①对应角相等；
②对应边的比相等．
19．相似三角形的性质
相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；
相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．
20．相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
21．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
22．相似三角形的应用
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
23．作图-相似变换
（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．
（2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示：

（3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．
24．位似变换
（1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；
②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．
（2）位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
25．作图-位似变换
（1）画位似图形的一般步骤为：
①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小．
（2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的．
26．中心投影
（1）中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．
（2）中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．
（3）判断投影是中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点，那么所得到的投影就是中心投影．