初中数学解题模型之一元二次方程的应用（增长率问题）（含答案）

这是一份初中数学解题模型之一元二次方程的应用（增长率问题）（含答案），共21页。
A．25% B．30% C．45% D．50%
2．（2021秋•大连期末）为满足人们对防疫物资的需求，某口罩加工厂增加设备，努力提高口罩生产量．2021年10月份该工厂的口罩产量为600万个，12月份产量为726万个，若口罩产量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ）
A．600（1+2x）＝726 B．726（1﹣x）2＝600
C．600（1+x2）＝726 D．600（1+x）2＝726
3．（2021秋•重庆期末）某运动品牌的一款跑步鞋经过最近的两次降价，使每双的价格由1200元降至867元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为（ ）
A．1200（1﹣x）2＝867
B．1200（1﹣x）+1200（1﹣x）2＝867
C．867（1+x）2＝1200
D．1200（1﹣x）×2＝867
4．（2021秋•泉州期末）2021年新冠疫情依然很严重，疫情未结束，防控不松懈，戴口罩能有效防止病毒感染．某一种口罩原价每盒20元，经过两次降价后每盒9元，设两次降价的百分率都为x，则x满足方程（ ）
A．20x2＝9 B．20（1﹣2x）＝9
C．20（1﹣x）2＝9 D．20（1﹣2x）2＝9
5．（2021秋•高州市期末）受疫情及其他因素影响，2021年2月份猪肉价格两次大幅度上涨，排骨价格由原来23元/千克，连续两次上涨x%后，售价上升到60元/千克，则下列方程中正确的是（ ）
A．23（1﹣x%）2＝60 B．23（1+2x%）＝60
C．23（1+x%）2＝60 D．23（1+x2%）＝60
6．（2021秋•萍乡期末）某县2019年投入教育经费2500万元，2021年投入教育经费3600万元．已知2019至2021年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则2020年该县投入的教育经费为（ ）
A．2700万元 B．2800万元 C．2900万元 D．3000万元
7．（2022•随州模拟）某经济技术开发区今年一月份工业产值达40亿元，且一月份、二月份、三月份的产值为175亿元，若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程（ ）
A．40（1+x）2＝175
B．40+40（1+x）2＝175
C．40（1+x）2+40（1+x）2＝175
D．40+40（1+x）+40（1+x）2＝175
8．（2021秋•莆田期末）某小区居民今年从三月开始到五月底全部接种新冠疫苗．已知该小区常驻人口1820人，三月已有500人接种新冠疫苗，四月、五月每月新接种人数都较前一个月有增长，且月增长率均为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．500（1+x）2＝1820
B．500+500（1+x）2＝1820
C．500（1+x）+500（1+x）2＝1820
D．500+500（1+x）+500（1+x）2＝1820
9．（2022•大渡口区模拟）电影《长津湖》于2021年9月30日在中国大陆上映，某地第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达7亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A．2（1+x）＝7 B．2（1+x）2＝7
C．2+2（1+x）2＝7 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝7
10．（2022•遵义模拟）某景点今年三月份接待游客25万人次，五月份接待游客61万人次，设该景点今年三月份到五月份接待游客人次的月平均增长率为x（x＞0），则可列方程为（ ）
A．61（1﹣x）2＝25 B．25（1﹣x）2＝61
C．61（1+x）2＝25 D．25（1+x）2＝61
11．（2021秋•铜仁市期末）世界各地来梵净山旅游的人数逐年增加，据有关部门统计，2019年约为10万人次，2021年约为14.4万人次．设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（ ）
A．10（1+2x）＝14.4
B．14.4（1+x）2＝10
C．10（1+x）2＝14.4
D．10+10（1+x）+10（1+x）2＝14.4
12．（2021秋•长寿区期末）为了绿化荒山，某地区政府提出了2028年荒山的森林覆盖率达到45%的目标．已知2019年该地区森林覆盖率已达到34%，若要在2021年使该地区荒山的森林覆盖率达到38%．设从2019年起该地区荒山的森林覆盖率的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．34%（1+2x）＝38% B．34%（1+2x）＝38
C．34%（1+x）2＝38% D．34%（1+x）2＝38
13．（2021秋•渝中区期末）2021年5月11日，国新办发布我国第七次人口普查结果，全国总人口约14.11亿，与第五次、第六次人口普查数据相比较，我国人口总量持续增长．据查，2000年第五次人口普查全国总人口约12.95亿．若设从第五次到第七次人口普查总人口的平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．12.95（1+x）＝14.11 B．12.95（1+2x）2＝14.11
C．12.95（1+2x）＝14.11 D．12.95（1+x）2＝14.11
14．（2021秋•高新区期末）某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11，12两个月营业额的月平均增长率．设该公司11，12两个月营业额的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．2500（1+x）2＝9100
B．2500（1+x）（1+2x）＝9100
C．2500+2500（1+x）+2500（1+2x）＝9100
D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100
15．（2021秋•滨州期末）我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹！某贫困村从2018年开始大力发展乡村民宿旅游产业，据统计，该村2018年乡村民宿旅游收入约为2000万元，2020年该村乡村民宿旅游收入达到3380万元，则该村2018年到2020年乡村民宿旅游收入的年平均增长率约为（ ）
A．20% B．25% C．30% D．35%
二．填空题（共5小题）
16．（2022•泗洪县一模）某工厂两年内产值翻了一番，则该工厂产值年平均增长的百分率等于 ．（结果精确到0.1%，参考数据：≈1.414，≈1.732．）
17．（2022•南平模拟）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱．2020年某款新能源汽车销售量为15万辆，销售量逐年增加，2022年预估当年销售量为21.6万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率是多少？可设年平均增长率为x，根据题意可列方程 ．
18．（2021秋•广陵区期末）某书店第一天销售500本图书，之后两天的销售量按相同的增长率增长，第三天的销售量为720本，若设每天的增长率为x，可列方程为 ．
19．（2021秋•高邮市期末）无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业，2019年底至2021年底，我国拥有民用无人机驾驶执照的人数从2.44万人增加到6.72万人．若设2019年底至2021年底，我国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为 ．
20．（2022•平度市校级开学）某地区加大教育投入，2020年投入教育经费2000万元，以后每年逐步增长，预计2022年，教育经费投入为2420万元，则年平均增长率为 ．
三．解答题（共5小题）
21．（2022•陕西模拟）2021年“房住不炒”第三次出现在政府报告中，明确了要稳地价，稳房价、稳预期．为响应中央“房住不炒”的基本政策，某房企连续降价两次后的平均价格比降价之前减少了19%，求平均每次降价的百分率．
22．（2022•泉州模拟）为积极响应国家“双减”政策，鼓励教师积极参与课后服务工作，某市推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．
（1）如果第二批、第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；
（2）如果按照（1）中的增长率，预计第四批公益课受益学生数将达到多少万人次？
23．（2022春•江都区月考）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据统计，该店2021年10月的销量为3万件，2021年12月的销量为3.63万件．
（1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；
（2）假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，则2022年1月“冰墩墩”的销量有没有超过4万件？请利用计算说明．

24．（2021秋•韶关期末）为深化疫情防控国际合作、共同应对全球公共卫生危机，我国有序开展医疗物资出口工作．2020年10月，国内某企业口罩出口订单额为100万元，2020年12月该企业口罩出口订单额为121万元．
（1）求该企业2020年10月到12月口罩出口订单额的月平均增长率；
（2）按照（1）的月平均增长率，预计该企业2021年1月口罩出口订单额能否达到140万元？
25．（2022•南昌模拟）香香猪肉铺10月五花肉售价约30元/千克，后受市场供需关系影响，五花肉价格逐月上涨，12月五花肉售价约为36.3元/千克，若在此期间五花肉价格每月增长率相同．
（1）求此期间五花肉价格月增长率．
（2）11月某天小刚妈妈用99元在香香猪肉铺买了一些五花肉包饺子，请问她买了多少五花肉．
初中数学解题模型之一元二次方程的应用（增长率问题）
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．（2022春•秀英区校级月考）据省商务厅2月6日提供的统计数据显示，海南离岛免税店今年第5周的销售额近20亿元．随着虎年春节的远去，预计第7周的销售额将跌至5亿元，若每周的销售额下降率均相同．则该下降率为（ ）
A．25% B．30% C．45% D．50%
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设每周的销售额下降率为x，利用第7周的销售额＝第5周的销售额×（1﹣每周的销售额下降率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：设每周的销售额下降率为x，
依题意得：20（1﹣x）2＝5，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝1.5（不合题意，舍去）．
∴每周的销售额下降率为50%．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2021秋•大连期末）为满足人们对防疫物资的需求，某口罩加工厂增加设备，努力提高口罩生产量．2021年10月份该工厂的口罩产量为600万个，12月份产量为726万个，若口罩产量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ）
A．600（1+2x）＝726 B．726（1﹣x）2＝600
C．600（1+x2）＝726 D．600（1+x）2＝726
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】利用2021年12月份产量＝2021年10月份产量×（1+平均每月增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：600（1+x）2＝726．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．（2021秋•重庆期末）某运动品牌的一款跑步鞋经过最近的两次降价，使每双的价格由1200元降至867元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为（ ）
A．1200（1﹣x）2＝867
B．1200（1﹣x）+1200（1﹣x）2＝867
C．867（1+x）2＝1200
D．1200（1﹣x）×2＝867
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣平均每次降价的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：1200（1﹣x）2＝867．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．（2021秋•泉州期末）2021年新冠疫情依然很严重，疫情未结束，防控不松懈，戴口罩能有效防止病毒感染．某一种口罩原价每盒20元，经过两次降价后每盒9元，设两次降价的百分率都为x，则x满足方程（ ）
A．20x2＝9 B．20（1﹣2x）＝9
C．20（1﹣x）2＝9 D．20（1﹣2x）2＝9
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣每次降价的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：20（1﹣x）2＝9．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．（2021秋•高州市期末）受疫情及其他因素影响，2021年2月份猪肉价格两次大幅度上涨，排骨价格由原来23元/千克，连续两次上涨x%后，售价上升到60元/千克，则下列方程中正确的是（ ）
A．23（1﹣x%）2＝60 B．23（1+2x%）＝60
C．23（1+x%）2＝60 D．23（1+x2%）＝60
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】利用经过两次上涨后的猪肉价格＝原价×（1+每次上涨的百分数）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：23（1+x%）2＝60．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．（2021秋•萍乡期末）某县2019年投入教育经费2500万元，2021年投入教育经费3600万元．已知2019至2021年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则2020年该县投入的教育经费为（ ）
A．2700万元 B．2800万元 C．2900万元 D．3000万元
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据题意可知：2019年投入的教育经费×（1+增长率）2＝2021年的投入的教育经费，然后即可列出相应的方程，再求解即可得到增长率，然后再计算2020年投入的教育经费即可．
【解答】解：设教育经费每年增加的百分率为x，
由题意可得：2500（1+x）2＝3600，
解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去），
即教育经费每年增加的百分率为20%，
∴2020年该县投入的教育经费为2500（1+20%）＝3000（万元），
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题．
7．（2022•随州模拟）某经济技术开发区今年一月份工业产值达40亿元，且一月份、二月份、三月份的产值为175亿元，若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程（ ）
A．40（1+x）2＝175
B．40+40（1+x）2＝175
C．40（1+x）2+40（1+x）2＝175
D．40+40（1+x）+40（1+x）2＝175
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．
【解答】解：二月份的产值为：40（1+x），
三月份的产值为：40（1+x）（1+x）＝40（1+x）2，
故第一季度总产值为：40+40（1+x）+40（1+x）2＝175．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（2021秋•莆田期末）某小区居民今年从三月开始到五月底全部接种新冠疫苗．已知该小区常驻人口1820人，三月已有500人接种新冠疫苗，四月、五月每月新接种人数都较前一个月有增长，且月增长率均为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．500（1+x）2＝1820
B．500+500（1+x）2＝1820
C．500（1+x）+500（1+x）2＝1820
D．500+500（1+x）+500（1+x）2＝1820
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】分别表示出四月和五月的人数即可列出方程．
【解答】解：∵三月已有500人接种新冠疫苗，四月、五月实现接种人数较前一个月的平均增长率为x，
∴四月份接种人数为500（1+x），五月份为500（1+x）2人，
∴方程为：500+500（1+x）+500（1+x）2＝1820，
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是分别表示出两个月的接种人数．
9．（2022•大渡口区模拟）电影《长津湖》于2021年9月30日在中国大陆上映，某地第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达7亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A．2（1+x）＝7 B．2（1+x）2＝7
C．2+2（1+x）2＝7 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝7
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】若把增长率记作x，则第二天票房约为2（1+x）亿元，第三天票房约为2（1+x）2亿元，根据三天后票房收入累计达7亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：若把增长率记作x，则第二天票房约为2（1+x）亿元，第三天票房约为2（1+x）2亿元，
依题意得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝7．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（2022•遵义模拟）某景点今年三月份接待游客25万人次，五月份接待游客61万人次，设该景点今年三月份到五月份接待游客人次的月平均增长率为x（x＞0），则可列方程为（ ）
A．61（1﹣x）2＝25 B．25（1﹣x）2＝61
C．61（1+x）2＝25 D．25（1+x）2＝61
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】关于增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），代入相关数值解答即可．
【解答】解：设该景点今年三月份到五月份接待游客人次的月平均增长率为x（x＞0），
则可列方程为25（1+x）2＝61．
故选：D．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
11．（2021秋•铜仁市期末）世界各地来梵净山旅游的人数逐年增加，据有关部门统计，2019年约为10万人次，2021年约为14.4万人次．设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（ ）
A．10（1+2x）＝14.4
B．14.4（1+x）2＝10
C．10（1+x）2＝14.4
D．10+10（1+x）+10（1+x）2＝14.4
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】关于增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设观赏人数年均增长率为x，那么根据题意可用x表示到2021年的游客总人数，然后根据已知可以得出方程．
【解答】解：设观赏人数年均增长率为x，
那么根据题意，得10（1+x）2＝14.4．
故选：C．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
12．（2021秋•长寿区期末）为了绿化荒山，某地区政府提出了2028年荒山的森林覆盖率达到45%的目标．已知2019年该地区森林覆盖率已达到34%，若要在2021年使该地区荒山的森林覆盖率达到38%．设从2019年起该地区荒山的森林覆盖率的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．34%（1+2x）＝38% B．34%（1+2x）＝38
C．34%（1+x）2＝38% D．34%（1+x）2＝38
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设从2019年起该地区荒山的森林覆盖率的年平均增长率为x，则2020年该地区森林覆盖率已达到为34%（1+x），2021年使该地区荒山的森林覆盖率达到34%（1+x）2，从而建立方程．
【解答】解：设从2019年起该地区荒山的森林覆盖率的年平均增长率为x，
由题意，得34%（1+x）2＝38%．
故选：C．
【点评】本题考查从实际问题中抽象出一元二次方程，掌握求平均变化率的方法：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
13．（2021秋•渝中区期末）2021年5月11日，国新办发布我国第七次人口普查结果，全国总人口约14.11亿，与第五次、第六次人口普查数据相比较，我国人口总量持续增长．据查，2000年第五次人口普查全国总人口约12.95亿．若设从第五次到第七次人口普查总人口的平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．12.95（1+x）＝14.11 B．12.95（1+2x）2＝14.11
C．12.95（1+2x）＝14.11 D．12.95（1+x）2＝14.11
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设从第五次到第七次人口普查总人口平均增长率为x，则第六次人口普查的人数为12.95（1+x），第七次人口普查全国总人口约12.95（1+x）2，从而建立方程．
【解答】解：设从第五次到第七次人口普查总人口平均增长率为x，由题意得
12.95（1+x）2＝14.11．
故选：D．
【点评】本题考查从实际问题中抽象出一元二次方程，掌握求平均变化率的方法：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
14．（2021秋•高新区期末）某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11，12两个月营业额的月平均增长率．设该公司11，12两个月营业额的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．2500（1+x）2＝9100
B．2500（1+x）（1+2x）＝9100
C．2500+2500（1+x）+2500（1+2x）＝9100
D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率）．即可表示出11月与12月的营业额，根据第四季的总营业额要达到3600万元，即可列方程．
【解答】解：设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
15．（2021秋•滨州期末）我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹！某贫困村从2018年开始大力发展乡村民宿旅游产业，据统计，该村2018年乡村民宿旅游收入约为2000万元，2020年该村乡村民宿旅游收入达到3380万元，则该村2018年到2020年乡村民宿旅游收入的年平均增长率约为（ ）
A．20% B．25% C．30% D．35%
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设该村2018年到2020年乡村民宿旅游收入的年平均增长率约为x，利用2020年该村乡村民宿旅游收入＝2018年该村乡村民宿旅游收入×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设该村2018年到2020年乡村民宿旅游收入的年平均增长率约为x，
依题意得：2000（1+x）2＝3380，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
16．（2022•泗洪县一模）某工厂两年内产值翻了一番，则该工厂产值年平均增长的百分率等于 41.4% ．（结果精确到0.1%，参考数据：≈1.414，≈1.732．）
【考点】一元二次方程的应用；近似数和有效数字．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设该工厂产值年平均增长的百分率为x，利用两年后的产值＝原产值×（1+年平均增长的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设该工厂产值年平均增长的百分率为x，
依题意得：（1+x）2＝2，
解得：x1＝﹣1≈0.414＝41.4%，x2＝﹣﹣1≈﹣2.414（不合题意，舍去），
∴该工厂产值年平均增长的百分率约为41.4%．
故答案为：41.4%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及近似数和有效数字，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17．（2022•南平模拟）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱．2020年某款新能源汽车销售量为15万辆，销售量逐年增加，2022年预估当年销售量为21.6万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率是多少？可设年平均增长率为x，根据题意可列方程 15（1+x）2＝21.6 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】利用2022年某款新能源汽车的销售量＝2020年某款新能源汽车的销售量×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：15（1+x）2＝21.6．
故答案为：15（1+x）2＝21.6．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18．（2021秋•广陵区期末）某书店第一天销售500本图书，之后两天的销售量按相同的增长率增长，第三天的销售量为720本，若设每天的增长率为x，可列方程为 500（1+x）2＝720 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】利用第三天的销售量＝第一天的销售量×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：500（1+x）2＝720．
故答案是：500（1+x）2＝720．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19．（2021秋•高邮市期末）无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业，2019年底至2021年底，我国拥有民用无人机驾驶执照的人数从2.44万人增加到6.72万人．若设2019年底至2021年底，我国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为 2.44（1+x）2＝6.72 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】利用2021年底全国拥有民用无人机驾驶执照的人数＝2019年底全国拥有民用无人机驾驶执照的人数×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：2.44（1+x）2＝6.72．
故答案为：2.44（1+x）2＝6.72．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．（2022•平度市校级开学）某地区加大教育投入，2020年投入教育经费2000万元，以后每年逐步增长，预计2022年，教育经费投入为2420万元，则年平均增长率为 10% ．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），2021年要投入教育经费是2000（1+x）万元，在2014年的基础上再增长x，就是2022年的教育经费数额，即可列出方程求解．
【解答】解：设年平均增长率为x，根据题意得：
2000（1+x）2＝2420，
解得：x＝0.1＝10%，或x＝﹣2.1（不合题意舍去）．
即：年平均增长率为10%．
故答案是：10%．
【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．掌握增长前的量×（1+年平均增长率）年数＝增长后的量是本题的关键．
三．解答题（共5小题）
21．（2022•陕西模拟）2021年“房住不炒”第三次出现在政府报告中，明确了要稳地价，稳房价、稳预期．为响应中央“房住不炒”的基本政策，某房企连续降价两次后的平均价格比降价之前减少了19%，求平均每次降价的百分率．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设平均每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的平均价格＝原价×（1﹣平均每次降价的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，
依题意得：（1﹣x）2＝1﹣19%，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：平均每次降价的百分率为10%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．（2022•泉州模拟）为积极响应国家“双减”政策，鼓励教师积极参与课后服务工作，某市推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．
（1）如果第二批、第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；
（2）如果按照（1）中的增长率，预计第四批公益课受益学生数将达到多少万人次？
【考点】一元二次方程的应用；有理数的混合运算．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】（1）设这个增长率为x，利用第三批公益课受益学人次数＝第一批公益课受益学人次数×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用预计第四批公益课受益学人次数＝第三批公益课受益学人次数×（1+增长率），即可求出结论．
【解答】解：（1）设这个增长率为x，
依题意得：2（1+x）2＝2.42，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
答：这个增长率为10%．
（2）2.42×（1+10%）
＝2.42×1.1
＝2.662（万人次）．
答：如果按照（1）中的增长率，预计第四批公益课受益学生数将达到2.662万人次．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算．
23．（2022春•江都区月考）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据统计，该店2021年10月的销量为3万件，2021年12月的销量为3.63万件．
（1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；
（2）假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，则2022年1月“冰墩墩”的销量有没有超过4万件？请利用计算说明．

【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】（1）设月平均增长率为x，利用2021年12月的销量＝2021年10月的销量×（1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用2022年1月的销量＝2021年12月的销量×（1+月平均增长率），即可求出2022年1月“冰墩墩”的销量．
【解答】解：（1）设月平均增长率为x，
根据题意，得3（1+x）2＝3.63，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1 （不合题意，舍去）．
答：该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为10%．

（2）假设保持相同的月平均增长率，那么2022年1月“冰墩墩”的销量为：3.63×（1+10%）＝3.63×1.1＝3.993（万件）．
答：2022年1月“冰墩墩”的销量为3.993万件．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算．
24．（2021秋•韶关期末）为深化疫情防控国际合作、共同应对全球公共卫生危机，我国有序开展医疗物资出口工作．2020年10月，国内某企业口罩出口订单额为100万元，2020年12月该企业口罩出口订单额为121万元．
（1）求该企业2020年10月到12月口罩出口订单额的月平均增长率；
（2）按照（1）的月平均增长率，预计该企业2021年1月口罩出口订单额能否达到140万元？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】（1）设该企业2020年10月到12月口罩出口订单额的月平均增长率为x，根据2020年10月及12月该企业口罩出口订单额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据该企业2021年1月口罩出口订单额＝该企业2020年12月口罩出口订单额×（1+增长率），即可求出结论．
【解答】解：（1）设该企业2020年10月到12月口罩出口订单额的月平均增长率为x，
依题意，得100（1+x）2＝121，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
答：该企业2020年10月到12月口罩出口订单额的月平均增长率为10%；
（2）121×（1+10%）＝133.1（万元）．
因为133.1＜140．
所以预计该企业2021年1月口罩出口订单额不能达到140万元．
答：预计该企业2021年1月口罩出口订单额不能达到140万元．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．（2022•南昌模拟）香香猪肉铺10月五花肉售价约30元/千克，后受市场供需关系影响，五花肉价格逐月上涨，12月五花肉售价约为36.3元/千克，若在此期间五花肉价格每月增长率相同．
（1）求此期间五花肉价格月增长率．
（2）11月某天小刚妈妈用99元在香香猪肉铺买了一些五花肉包饺子，请问她买了多少五花肉．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】（1）设此期间五花肉价格月增长率为x，由题意得关于x的一元二次方程，求解，并保留符合题意的答案即可；
（2）由（1）中的增长率求得11月份五花肉的单价，然后由题意求得答案．
【解答】解：（1）设此期间五花肉价格月增长率为x，
由题意，得30（1+x）2＝36.3．
解得x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去）．
答：此期间五花肉价格月增长率为10%；
（2）根据题意，得＝3（千克）．
答：她买了3千克五花肉．
【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数＝增长后的量．
考点卡片
1．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
2．近似数和有效数字
（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
（3）规律方法总结：
“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
3．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
4．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．