初中数学解题模型之一元二次方程的应用（图形面积问题）（含答案）

这是一份初中数学解题模型之一元二次方程的应用（图形面积问题）（含答案），共28页。
A．（60﹣x）x＝864 B．
C．（60+x）x＝864 D．（30+x）（30﹣x）＝864
2．（2021秋•信丰县期末）如图，面积为50m2的矩形试验田一面靠墙（墙的长度不限），另外三面用20m长的篱笆围成，平行于墙的一边开有一扇1m宽的门（门的材料另计）．设试验田垂直于墙的一边AB的长为x，则所列方程正确的是（ ）

A．（20+1﹣x）x＝50 B．（20﹣1﹣x）x＝50
C．（20+1﹣2x）x＝50 D．（20﹣1﹣2x）x＝50
3．（2021秋•高新区校级期末）如图，郑州中学在操场西边开发出一块边长分别为30米、25米的长方形校园菜园，作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为650平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（ ）

A．（30﹣2x）（25﹣x）＝650
B．30x+2×25x﹣2x2＝650
C．30×25﹣30x﹣25x+2x2＝650
D．（30﹣x）（25﹣2x）＝650
4．（2021秋•太原期末）学校计划在长为12m，宽为9m矩形地块的正中间建一座劳动实践大棚．大棚是占地面积为88m2的矩形．建成后，大棚外围留下宽度都相同的区域，这个宽度应设计为（ ）

A．1.8m B．1.5m C．1m D．0.5m
5．（2021秋•青岛期末）如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（ ）

A．（45﹣2x）（25﹣x）＝625 B．（45﹣x）（25﹣x）＝625
C．（45﹣x）（25﹣2x）＝625 D．（45﹣2x）（25﹣2x）＝625
6．（2021秋•海口期末）用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框．若窗框的面积为1.5m2，则窗框AB的长为（ ）

A．1m B．1.5m C．1.6m D．1.8m
7．（2021秋•洛阳期末）如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒，则剪去的正方形的边长为（ ）

A．cm B．1cm C．cm D．2cm
8．（2021秋•历城区期末）如图，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为55米的栅栏围成，若设栅栏AB的长为x米，则下列各方程中，符合题意的是（ ）

A．x（55﹣2x）＝375 B．x（55﹣2x）＝375
C．x（55﹣x）＝375 D．x（55﹣x）＝375
9．（2021秋•北京期末）南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为x步，根据题意可以列方程为（ ）
A．x2﹣60x﹣864＝0 B．x（x+60）＝864
C．x2﹣60x+864＝0 D．x（x+30）＝864
10．（2021秋•南岸区期末）一个矩形纸片的面积为30cm2，将它的一边剪短1cm，另一边剪短2cm，恰好变成一个正方形．若设正方形的边长为xcm，根据题意可得方程（ ）
A．（x+1）（x+2）＝30 B．（x﹣1）（x﹣2）＝30
C．（x+1）（x﹣2）＝30 D．（x﹣1）（x+2）＝30
11．（2021秋•霸州市期末）如图，要把长为4m、宽为3m的长方形花坛四周扩展相同的宽度xm，得到面积为30m2的新长方形花坛，则x的值为（ ）

A．4.5 B．2 C．1.5 D．1
12．（2021秋•巴中期末）对于一元二次方程，我国及其他一些国家的古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x2+2x﹣35＝0即x（x+2）＝35为例加以说明，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆图注》中记载的方法是：构造如图，一方面，图中的大方形的面积是（x+x+2）2；另一方面，它又等于四个矩形面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22.据此易得x＝5，那么在下面的四个构图中，能够说明x2﹣2x﹣8＝0的正确构图是（ ）

A．
B．
C．
D．
13．（2021秋•江津区期末）某社区服务中心学习十九届六中全会精神，贯彻落实“为民办实事”．社区服务中心为解决居民停车难的问题，准备利用社区内一块矩形空地修建一个停车场（如图）．已知停车场的长为52米，宽为36米，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道．设通道的宽是x米，若停车位的面积为1104平方米．依题意可列出方程（ ）

A．2×36x+52x＝52×36﹣1104
B．36x+2×52x﹣x2＝52×36﹣1104
C．（52﹣2x）（36﹣2x）＝1104
D．（52﹣2x）（36﹣x）＝1104
14．（2021秋•岚皋县期末）为绿化、美化环境，某园林部门计划在某地修建一个面积为150平方米的矩形花园，它的长比宽多5米，设长为x米，可列方程为（ ）
A．x（x﹣5）＝150 B．x（x+5）＝150
C．2x+2（x+5）＝150 D．2x+2（x﹣5）＝150
15．（2021秋•莲池区期末）如图，用长为20m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1m的两扇小门．若花圃的面积刚好为40m2，设AB段的长为xm，则可列方程为（ ）

A．x（22﹣3x）＝40 B．x（20﹣2x）＝40
C．x（18﹣3x）＝40 D．x（20﹣3x）＝40
二．填空题（共10小题）
16．（2021秋•朝阳县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝8cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则 秒时，△BPQ的面积是6cm2．

17．（2021秋•仙居县期末）如图，在一块长22m，宽为14m的矩形空地内修建三条宽度相等的小路，其余部分种植花草．若花草的种植面积为240m2，则小路宽为 m．

18．（2021秋•丹江口市期末）如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2，如果要使所占的面积是图案面积的四分之一，设横彩条的宽为3xcm，依题意列方程为 ．

19．（2021秋•綦江区期末）如图，用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃（靠墙处不用篱笆），中间用篱笆隔开分成两个小长方形区域，分别种植两种花草，篱笆总长为19米（恰好用完），围成的大长方形花圃的面积为24平方米，设垂直于墙的一段篱笆长为x米，可列出方程为 ．

20．（2021秋•滕州市期中）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．你来解决这道古算题，可以求得矩形的长为 步．
21．（2021•襄州区模拟）如图，把长为40cm，宽30cm的长方形硬纸板，剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，且折成的长方体盒子的表面积为888cm2，则剪掉的小正方形边长为 cm（纸板的厚度忽略不计）．

22．（2020秋•城阳区期末）如图所示，某小区想借助互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用40m长的篱笆围成一个面积为384m2矩形花园．设宽AB＝xm，且AB＜BC，则x＝ m．

23．（2019秋•北辰区校级月考）长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为 cm．
24．（2021秋•普陀区期末）如图，阴影部分是一块长方形的草坪，草坪的长是8米，宽是5米，在草坪的四周准备修建等宽的道路，道路和草坪的总面积为70平方米．如果设道路的宽为x米，那么根据题意可列方程为 ．

25．（2021秋•巴中期末）《算法宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云周一百二十步，问长多几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，且周长为120步，问它的长比宽多了多少步？则这块矩形田地的长比宽多了 步．
初中数学解题模型之一元二次方程的应用（图形面积问题）
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．（2022•福州模拟）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长比宽多多少步？若设长比宽多x步，则下列符合题意的方程是（ ）
A．（60﹣x）x＝864 B．
C．（60+x）x＝864 D．（30+x）（30﹣x）＝864
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】根据长与宽之间的关系，可得出长为步，宽为步，利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵长与宽和为60步，长比宽多x步，
∴长为步，宽为步．
依题意得：•＝864．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2021秋•信丰县期末）如图，面积为50m2的矩形试验田一面靠墙（墙的长度不限），另外三面用20m长的篱笆围成，平行于墙的一边开有一扇1m宽的门（门的材料另计）．设试验田垂直于墙的一边AB的长为x，则所列方程正确的是（ ）

A．（20+1﹣x）x＝50 B．（20﹣1﹣x）x＝50
C．（20+1﹣2x）x＝50 D．（20﹣1﹣2x）x＝50
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】根据篱笆的总长及AB的长度，可得出BC＝（20+1﹣2x）m，利用矩形的面积计算公式，结合矩形试验田的面积为50m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵篱笆的总长为20m，且AB＝xm，平行于墙的一边开有一扇1m宽的门，
∴BC＝（20+1﹣2x）m．
依题意得：（20+1﹣2x）x＝50．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．（2021秋•高新区校级期末）如图，郑州中学在操场西边开发出一块边长分别为30米、25米的长方形校园菜园，作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为650平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（ ）

A．（30﹣2x）（25﹣x）＝650
B．30x+2×25x﹣2x2＝650
C．30×25﹣30x﹣25x+2x2＝650
D．（30﹣x）（25﹣2x）＝650
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】由小道的宽为x米，可得出种植菜园的部分可合成长为（30﹣2x）米，宽为（25﹣x）米的长方形，再根据种植面积为650平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵小道的宽为x米，
∴种植菜园的部分可合成长为（30﹣2x）米，宽为（25﹣x）米的长方形．
依题意得：（30﹣2x）（25﹣x）＝650．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．（2021秋•太原期末）学校计划在长为12m，宽为9m矩形地块的正中间建一座劳动实践大棚．大棚是占地面积为88m2的矩形．建成后，大棚外围留下宽度都相同的区域，这个宽度应设计为（ ）

A．1.8m B．1.5m C．1m D．0.5m
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设大棚外围留下宽度为xm，则建造大棚的长为（12﹣2x）m，宽为（9﹣2x）m，根据大棚的面积为88m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：设大棚外围留下宽度为xm，则建造大棚的长为（12﹣2x）m，宽为（9﹣2x）m，
依题意得：（12﹣2x）（9﹣2x）＝88，
整理得：2x2﹣21x+10＝0，
解得：x1＝0.5，x2＝10（不合题意，舍去）．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．（2021秋•青岛期末）如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（ ）

A．（45﹣2x）（25﹣x）＝625 B．（45﹣x）（25﹣x）＝625
C．（45﹣x）（25﹣2x）＝625 D．（45﹣2x）（25﹣2x）＝625
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】由剪去小正方形的边长可得出该无盖纸盒的底面长为（45﹣2x）cm，宽为（25﹣2x）cm，根据该无盖纸盒的底面积为625cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵剪去小正方形的边长为xcm，
∴该无盖纸盒的底面长为（45﹣2x）cm，宽为（25﹣2x）cm．
依题意得：（45﹣2x）（25﹣2x）＝625．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．（2021秋•海口期末）用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框．若窗框的面积为1.5m2，则窗框AB的长为（ ）

A．1m B．1.5m C．1.6m D．1.8m
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设窗框AB的长为xm，则AB的邻边长为m，根据窗框的面积为1.5m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出窗框AB的长．
【解答】解：设窗框AB的长为xm，则AB的邻边长为m，
依题意得：x•＝1.5，
整理得：4x2﹣12x+9＝0，
解得：x1＝x2＝1.5．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及全等图形，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．（2021秋•洛阳期末）如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒，则剪去的正方形的边长为（ ）

A．cm B．1cm C．cm D．2cm
【考点】一元二次方程的应用；全等图形．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设剪去的正方形的边长为xcm，则制成有盖的长方体铁盒的底面长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣x）cm，根据长方体铁盒的底面积是24cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：设剪去的正方形的边长为xcm，则制成有盖的长方体铁盒的底面长为（10﹣2x）cm，宽为＝（6﹣x）cm，
依题意得：（10﹣2x）（6﹣x）＝24，
整理得：x2﹣11x+18＝0，
解得：x1＝2，x2＝9（不合题意，舍去）．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及全等图形，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（2021秋•历城区期末）如图，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为55米的栅栏围成，若设栅栏AB的长为x米，则下列各方程中，符合题意的是（ ）

A．x（55﹣2x）＝375 B．x（55﹣2x）＝375
C．x（55﹣x）＝375 D．x（55﹣x）＝375
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】由栅栏的总长度可得出AD＝米，根据矩形仓库的面积为375平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵AB＝x米，
∴AD＝米．
依题意得：x•＝375，
即x（55﹣x）＝375．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．（2021秋•北京期末）南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为x步，根据题意可以列方程为（ ）
A．x2﹣60x﹣864＝0 B．x（x+60）＝864
C．x2﹣60x+864＝0 D．x（x+30）＝864
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程；数学常识．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】由矩形田地的长与宽的和是60步，可得出矩形田地的宽为（60﹣x）步，根据矩形田地的面积是864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵矩形田地的长为x步，矩形田地的长与宽的和是60步，
∴矩形田地的宽为（60﹣x）步．
依题意得：x（60﹣x）＝864，
整理得：x2﹣60x+864＝0．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（2021秋•南岸区期末）一个矩形纸片的面积为30cm2，将它的一边剪短1cm，另一边剪短2cm，恰好变成一个正方形．若设正方形的边长为xcm，根据题意可得方程（ ）
A．（x+1）（x+2）＝30 B．（x﹣1）（x﹣2）＝30
C．（x+1）（x﹣2）＝30 D．（x﹣1）（x+2）＝30
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】由正方形的长可得出矩形纸片的长为（x+2）cm，宽为（x+1）cm，根据矩形纸片的面积为30cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∴正方形的边长为xcm，
∴矩形纸片的长为（x+2）cm，宽为（x+1）cm．
依题意得：（x+2）（x+1）＝30．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11．（2021秋•霸州市期末）如图，要把长为4m、宽为3m的长方形花坛四周扩展相同的宽度xm，得到面积为30m2的新长方形花坛，则x的值为（ ）

A．4.5 B．2 C．1.5 D．1
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】利用长方形的面积计算公式，结合新长方形花坛的面积为30m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：依题意得：（4+2x）（3+2x）＝30，
整理得：2x2+7x﹣9＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣4.5（不合题意，舍去）．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．（2021秋•巴中期末）对于一元二次方程，我国及其他一些国家的古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x2+2x﹣35＝0即x（x+2）＝35为例加以说明，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆图注》中记载的方法是：构造如图，一方面，图中的大方形的面积是（x+x+2）2；另一方面，它又等于四个矩形面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22.据此易得x＝5，那么在下面的四个构图中，能够说明x2﹣2x﹣8＝0的正确构图是（ ）

A．
B．
C．
D．
【考点】一元二次方程的应用；勾股定理的证明；数学常识；解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】变形方程x2﹣2x﹣8＝0得x2﹣2x＝8，即x（x﹣2）＝8，则大长方形的面积是（x+x﹣2）2，四个矩形的面积是4x（x﹣2），中间小正方形的面积是22，即可得出x的值，进而得出正确构图．
【解答】解：变形方程x2﹣2x﹣8＝0得x2﹣2x＝8，
即x（x﹣2）＝8，
则大长方形的面积是（x+x﹣2）2，四个矩形的面积是4x（x﹣2），中间小正方形的面积是22，
即（x+x﹣2）2＝4x（x﹣2）+22，
∴（2x﹣2）2＝4×8+4，
解得x＝4，
∴正确的图解为B，
故选：B．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，正确理解一元二次方程的几何解法是解题的关键．
13．（2021秋•江津区期末）某社区服务中心学习十九届六中全会精神，贯彻落实“为民办实事”．社区服务中心为解决居民停车难的问题，准备利用社区内一块矩形空地修建一个停车场（如图）．已知停车场的长为52米，宽为36米，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道．设通道的宽是x米，若停车位的面积为1104平方米．依题意可列出方程（ ）

A．2×36x+52x＝52×36﹣1104
B．36x+2×52x﹣x2＝52×36﹣1104
C．（52﹣2x）（36﹣2x）＝1104
D．（52﹣2x）（36﹣x）＝1104
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设通道的宽为x米，根据矩形的面积公式列出方程．
【解答】解：设通道的宽为x米，
根据题意，得（52﹣2x）（36﹣2x）＝1104．
故选：C．
【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
14．（2021秋•岚皋县期末）为绿化、美化环境，某园林部门计划在某地修建一个面积为150平方米的矩形花园，它的长比宽多5米，设长为x米，可列方程为（ ）
A．x（x﹣5）＝150 B．x（x+5）＝150
C．2x+2（x+5）＝150 D．2x+2（x﹣5）＝150
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设长为x米，则宽为（x﹣5）米，根据矩形花园的面积为150平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设长为x米，则宽为（x﹣5）米，
依题意得：x（x﹣5）＝150．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．（2021秋•莲池区期末）如图，用长为20m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1m的两扇小门．若花圃的面积刚好为40m2，设AB段的长为xm，则可列方程为（ ）

A．x（22﹣3x）＝40 B．x（20﹣2x）＝40
C．x（18﹣3x）＝40 D．x（20﹣3x）＝40
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设AB＝x米，则BC＝（20﹣3x+2）米，根据围成的花圃的面积刚好为40平方米，即可得出关于x的一元二次方程．
【解答】解：设AB＝x米，则BC＝（20﹣3x+2）米，
依题意，得：x（20﹣3x+2）＝40，即x（22﹣3x）＝40．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二．填空题（共10小题）
16．（2021秋•朝阳县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝8cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则 2或3 秒时，△BPQ的面积是6cm2．

【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设运动时间为t 秒，则PB＝（10﹣2t）cm，BQ＝tcm，利用三角形的面积计算公式，结合△BPQ的面积是6cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设运动时间为t 秒，则PB＝（10﹣2t）cm，BQ＝tcm，
依题意得：（10﹣2t）t＝6，
整理得：t2﹣5t+6＝0，
解得：t1＝2，t2＝3．
∴2或3秒时，△BPQ的面积是6cm2．
故答案为：2或3．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17．（2021秋•仙居县期末）如图，在一块长22m，宽为14m的矩形空地内修建三条宽度相等的小路，其余部分种植花草．若花草的种植面积为240m2，则小路宽为 2 m．

【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设小路宽为xm，则种植花草部分的面积等同于长（22﹣x）m，宽（14﹣x）m的矩形的面积，根据花草的种植面积为240m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：设小路宽为xm，则种植花草部分的面积等同于长（22﹣x）m，宽（14﹣x）m的矩形的面积，
依题意得：（22﹣x）（14﹣x）＝240，
整理得：x2﹣36x+68＝0，
解得：x1＝2，x2＝34（不合题意，舍去）．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18．（2021秋•丹江口市期末）如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2，如果要使所占的面积是图案面积的四分之一，设横彩条的宽为3xcm，依题意列方程为 （30﹣4x）（20﹣6x）＝×30×20 ．

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】由横、竖彩条的宽度比为3：2可得出竖彩条的宽为2xcm，根据彩条所占的面积是图案面积的四分之一，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵横、竖彩条的宽度比为3：2，横彩条的宽为3xcm，
∴竖彩条的宽为2xcm．
依题意得：（30﹣2×2x）（20﹣2×3x）＝（1﹣）×30×20，
即（30﹣4x）（20﹣6x）＝×30×20．
故答案为：（30﹣4x）（20﹣6x）＝×30×20．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19．（2021秋•綦江区期末）如图，用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃（靠墙处不用篱笆），中间用篱笆隔开分成两个小长方形区域，分别种植两种花草，篱笆总长为19米（恰好用完），围成的大长方形花圃的面积为24平方米，设垂直于墙的一段篱笆长为x米，可列出方程为 x（19﹣3x）＝24 ．

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】若设垂直于墙的一段篱笆长为x米，则平行于墙的一段篱笆长为（19﹣3x）米，根据围成的大长方形花圃的面积为24平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：若设垂直于墙的一段篱笆长为x米，则平行于墙的一段篱笆长为（19﹣3x）米，
依题意得：x（19﹣3x）＝24．
故答案为：x（19﹣3x）＝24．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．（2021秋•滕州市期中）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．你来解决这道古算题，可以求得矩形的长为 36 步．
【考点】一元二次方程的应用；数学常识．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设矩形的长为x步，则矩形的宽为（x﹣12）步，根据矩形面积864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设矩形的长为x步，则矩形的宽为（x﹣12）步，
依题意得：x（x﹣12）＝864，
整理得：x2﹣12x﹣864＝0，
解得：x1＝36，x2＝﹣24（不合题意，舍去）．
故答案为：36．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．（2021•襄州区模拟）如图，把长为40cm，宽30cm的长方形硬纸板，剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，且折成的长方体盒子的表面积为888cm2，则剪掉的小正方形边长为 6 cm（纸板的厚度忽略不计）．

【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设剪掉的小正方形边长为xcm，则剪掉的小长方形的长为×40＝20（cm），宽为xcm，利用折成的长方体盒子的表面积＝长方形硬纸板的面积﹣2×剪掉的小正方形的面积﹣2×剪掉的小长方形的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设剪掉的小正方形边长为xcm，则剪掉的小长方形的长为×40＝20（cm），宽为xcm，
依题意得：40×30﹣2x2﹣2×20x＝888，
整理得：x2+20x﹣156＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣26（不合题意，舍去）．
∴剪掉的小正方形边长为6cm．
故答案为：6．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．（2020秋•城阳区期末）如图所示，某小区想借助互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用40m长的篱笆围成一个面积为384m2矩形花园．设宽AB＝xm，且AB＜BC，则x＝ 16 m．

【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】由篱笆的全长及AB的长，可得出BC＝（40﹣x）m，根据矩形花园的面积为384m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，结合AB＜BC，即可确定x＝16．
【解答】解：∵宽AB＝xm，
∴长BC＝（40﹣x）m．
依题意得：x（40﹣x）＝384，
整理得：x2﹣40x+384＝0，
解得：x1＝16，x2＝24．
∵AB＜BC，即x＜40﹣x，
∴x＜20，
∴x＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（2019秋•北辰区校级月考）长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为 32 cm．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】长方形的面积＝长×宽，周长＝2（长×宽）．设长方形的宽为xcm，则长是（x+4）cm，根据面积即可得到方程，从而求解．
【解答】解：设长方形的宽为xcm，根据题意得
x（x+4）＝60，
经解和检验后得x＝6，
那么周长就应该是2×（6+10）＝32cm．
答：它的周长为32cm．
【点评】可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．注意本题的周长，要结合面积公式先求出长方形的长和宽．
24．（2021秋•普陀区期末）如图，阴影部分是一块长方形的草坪，草坪的长是8米，宽是5米，在草坪的四周准备修建等宽的道路，道路和草坪的总面积为70平方米．如果设道路的宽为x米，那么根据题意可列方程为 （8+2x）（5+2x）＝70 ．

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设道路的宽为x米，利用“道路和草坪的总面积为70平方米”作为相等关系可列方程（8+2x）（5+2x）＝70．
【解答】解：设道路的宽为x米，根据题意得（8+2x）（5+2x）＝70．
故答案是：（8+2x）（5+2x）＝70．
【点评】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
25．（2021秋•巴中期末）《算法宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云周一百二十步，问长多几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，且周长为120步，问它的长比宽多了多少步？则这块矩形田地的长比宽多了 12 步．
【考点】一元二次方程的应用；数学常识．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设长为x步，宽为（60﹣x）步，根据“一块矩形田地的面积为864平方步”可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题．
【解答】解：设长为x步，宽为（60﹣x）步，
根据题意，得x（60﹣x）＝864，
解得x1＝36，x2＝24（舍去）．
∴当x＝36时，60﹣x＝24，
∴长比宽多：36﹣24＝12（步），
故答案为：12．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答，注意长比宽要长．
考点卡片
1．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
2．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
3．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
4．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
5．全等图形
（1）全等形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形．
（2）全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
（3）三角形全等的符号
“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．
（4）对应顶点、对应边、对应角
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．
6．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．