初中数学解题模型之一元二次方程的应用（双循环问题）（含答案）

这是一份初中数学解题模型之一元二次方程的应用（双循环问题）（含答案），共18页。
初中数学解题模型之一元二次方程的应用（双循环问题）
一．选择题（共10小题）
1．（2019秋•建水县期末）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了42场，每两队之间都比赛两场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A．x（x﹣1）＝42 B． x（x+1）＝42
C． x（x﹣1）＝42 D．x（x+1）＝42
2．（2021秋•兰山区期末）一个小组若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送贺卡90张，则这个小组共有（ ）
A．9人 B．10人 C．12人 D．15人
3．（2021•宜州区模拟）某班学生毕业时，每一位同学都向全班其他同学送一张自己的相片作为纪念，全班共送了2550张相片，若设全班有x名学生，则可列方程为（ ）
A．x2﹣1＝2550 B．x（x﹣1）＝2550
C．（x﹣1）2＝2550 D．x（x﹣1）＝5100
4．（2021秋•潮阳区期中）若x支球队参加篮球比赛，共比赛了36场，每2队之间都比赛两场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A．x（x﹣1）＝36 B．x（x+1）＝36
C．x（x﹣1）＝36 D．x（x+1）＝36
5．（2021秋•金台区期末）生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，则根据题意列出的方程是（ ）
A．x（x+1）＝182 B．x（x﹣1）＝182
C．2x（x+1）＝182 D．x（x﹣1）＝182×2
6．（2021秋•融水县期中）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛两场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A．x（x+1）＝45 B．
C． D．x（x﹣1）＝45
7．（2021秋•三水区月考）参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛（这样的比赛叫做双循环比赛），共要比赛90场．设有x个球队参加比赛，根据题意，列出方程为（ ）
A．x（x+1）＝90 B．x（x﹣1）＝90×2
C．x（x﹣1）＝90 D．2x（x+1）＝90
8．（2021•柳南区校级模拟）2021年新年期间班上数学兴趣小组的同学互发微信祝贺，每两名同学都互相发一次．小明统计全组共互发了72次微信，设数学兴趣小组的人数为x，则可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝72 B．x（x﹣1）＝2×72
C．2x（x﹣1）＝72 D．x（x+1）＝72
9．（2020秋•浦东新区校级月考）同学聚会，大家见面，所有人互赠小礼物，共有礼物90件．设x人参加聚会，列方程为（ ）
A． B．
C．x（x+1）＝90 D．x（x﹣1）＝90
10．（2020秋•红桥区期末）要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（ ）
A．x（x+1）＝90 B．x（x﹣1）＝90
C．x（x+1）＝90 D．x（x﹣1）＝90
二．填空题（共5小题）
11．（2021秋•峡江县期末）某校九（1）班的学生互赠新年贺卡，共用去1560张贺卡，则九（1）班有 名学生．
12．（2021秋•虎林市校级期末）2021年10月10日，第七届黑龙江绿色食品产业博览会开幕，虎林市组建团队参加，为增进了解，在参加会议前团队每两个人间互送了一次名片，一共送出90张名片，则这个团队有 人．
13．（2019秋•霍林郭勒市期末）2018﹣2019赛季中国男子篮球职业联赛（CBA），继续采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），总比赛场数为380场．求有多少支队伍参加比赛？设参赛队伍有x支，则可列方程为 ．
14．（2020秋•锦州期末）2021年元旦联欢会上，某班同学之间互赠新年贺卡，共赠贺卡1190张，设全班有x名同学，则可列方程为 ．
15．（2019秋•宜城市期中）2019﹣2020赛季中国男子篮球职业联赛（CBA），继续采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），总比赛场数为552场．求有多少支队伍参加比赛？设参赛队伍有x支，则可列方程为 ．
三．解答题（共10小题）
16．滨州市体育局要组织一次篮球赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），计划安排30场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？
17．要组织一场篮球比赛，每两队之间都赛2场，计划安排90场比赛，应邀请多少个球队参加比赛．
18．（2020秋•湖里区校级月考）中秋节期间，我校数学兴趣小组同学都向本组其他同学各发了一条祝福短信，据统计，发了210条祝福语，问这个数学兴趣小组有多少学生？
19．（2020秋•奈曼旗月考）奈曼旗某中学要组织一次篮球赛，赛制为双循环形式（每两队之间赛两场），计划安排12场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？
20．（2018春•金华期中）阅读下表：解答下列问题：
线段AB上的点数n（包括A、B两点）
图例
线段总条数N
3

3＝2+1
4

6＝3+2+1
5

10＝4+3+2+1
6

15＝5+4+3+2+1
（1）根据表中规律猜测线段总条数N与线段上点数n（包括线段的两个端点）的关系，用含n的代数式表示N，则N＝ ．
（2）2018年“俄罗斯世界杯足球赛”，第一轮小组赛共有32支球队分成8组（每组4个队），每组组内分别进行单循环赛（即每个队与本小组的其它队各比赛一场），求第一轮共要进行几场比赛？
（3）2018年“中国足球超级联赛”，不分小组，所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛，求共有几支球队参加比赛？
21．（2018•江汉区校级模拟）列方程解应用题：某地足球协会组织一次联赛，赛制为双循环（每两队之间都赛两场），恰好需要打56场比赛，求共有多少支球队参加比赛？
22．（2014秋•新罗区校级月考）某次同学聚会互送礼品共420件，有多少同学参加聚会？
23．（2017•中山市模拟）某市计划举办青少年足球比赛，赛制采取双循环形式（即每两队之间都要打两场比赛），一共组织30场比赛．计分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．
（1）该市举办方应该邀请多少支球队参赛？
（2）此次比赛结束后，如果其中一支参赛球队共平了4场，负了2场，则该球队此次比赛的总积分是多少？
24．（2016春•杭州期末）阅读下表：解答下列问题：
线段AB上的点数n（包括A、B两点）
图例
线段总条数N
3

3＝2+1
4

6＝3+2+1
5

10＝4+3+2+1
6

15＝5+4+3+2+1
（1）根据表中规律猜测线段总条数N与线段上点数n（包括线段的两个端点）的关系，用含n的代数式表示N，则N＝ ．
（2）2016年“欧洲杯足球赛”，第一轮小组赛共有24支球队分成6组（每组4个队），每组组内分别进行单循环赛（即每个队与本小组的其它队各比赛一场），求第一轮共要进行几场比赛？
（3）2016年“中国足球超级联赛”，不分小组，所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛，求共有几支球队参加比赛？
25．（2006•宝山区二模）“中超”足球联赛采用的是主客场制的双循环比赛制度（即每两个队之间都要举行两场比赛）．显然参赛球队的个数对比赛总场次数有直接影响，由于各种原因，到底有几支球队参加“中超”联赛，一直是中国足协考虑的问题之一．在目前的基础上，如果减少4支球队，则比赛总场次数将比现在的总场次数的一半还少6场，那么，现在共有多少支球队参加“中超”联赛？

初中数学解题模型之一元二次方程的应用（双循环问题）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2019秋•建水县期末）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了42场，每两队之间都比赛两场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A．x（x﹣1）＝42 B． x（x+1）＝42
C． x（x﹣1）＝42 D．x（x+1）＝42
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】根据题意，可以明确列出相应的一元二次方程，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
x（x﹣1）＝42，
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，本题是一道典型的双循环问题，解题的关键是明确题意，列出相应的方程．
2．（2021秋•兰山区期末）一个小组若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送贺卡90张，则这个小组共有（ ）
A．9人 B．10人 C．12人 D．15人
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设这个小组共有x人，则每人需送出（x﹣1）张贺卡，根据全组共送贺卡90张，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设这个小组共有x人，则每人需送出（x﹣1）张贺卡，
依题意得：x（x﹣1）＝90，
整理得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．（2021•宜州区模拟）某班学生毕业时，每一位同学都向全班其他同学送一张自己的相片作为纪念，全班共送了2550张相片，若设全班有x名学生，则可列方程为（ ）
A．x2﹣1＝2550 B．x（x﹣1）＝2550
C．（x﹣1）2＝2550 D．x（x﹣1）＝5100
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】由全班共x名学生，可得出每一位同学需送出（x﹣1）张相片，根据全班共送了2550张相片，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵每一位同学都向全班其他同学送一张自己的相片作为纪念，且全班有x名学生，
∴每一位同学需送出（x﹣1）张相片．
依题意得：x（x﹣1）＝2550．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．（2021秋•潮阳区期中）若x支球队参加篮球比赛，共比赛了36场，每2队之间都比赛两场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A．x（x﹣1）＝36 B．x（x+1）＝36
C．x（x﹣1）＝36 D．x（x+1）＝36
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用．
【分析】根据题意可以列出相应的方程，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，x（x﹣1）＝36，
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，本题是一道典型的双循环问题．
5．（2021秋•金台区期末）生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，则根据题意列出的方程是（ ）
A．x（x+1）＝182 B．x（x﹣1）＝182
C．2x（x+1）＝182 D．x（x﹣1）＝182×2
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】由题意可知，这是一道双循环的题目，从而可以列出相应的方程，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
x（x﹣1）＝182，
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程．
6．（2021秋•融水县期中）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛两场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A．x（x+1）＝45 B．
C． D．x（x﹣1）＝45
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】有x支球队参加篮球比赛，每支球队可参加（x﹣1）场比赛，x支球队参加x（x﹣1）场比赛，据此可列出相应的一元二次方程．
【解答】解：由题意可得，
x（x﹣1）＝45，
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，本题是一道典型的双循环问题，解题的关键是明确题意，列出相应的方程．
7．（2021秋•三水区月考）参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛（这样的比赛叫做双循环比赛），共要比赛90场．设有x个球队参加比赛，根据题意，列出方程为（ ）
A．x（x+1）＝90 B．x（x﹣1）＝90×2
C．x（x﹣1）＝90 D．2x（x+1）＝90
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】有x个球队参加比赛，每两队之间都进行两场比赛即每个队伍都要进行（x﹣1）场比赛，共进行x（x﹣1）场比赛，根据题意列方程即可．
【解答】解：设有x个球队参加比赛，
由题意可得：x（x﹣1）＝90．
故选：C．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解．
8．（2021•柳南区校级模拟）2021年新年期间班上数学兴趣小组的同学互发微信祝贺，每两名同学都互相发一次．小明统计全组共互发了72次微信，设数学兴趣小组的人数为x，则可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝72 B．x（x﹣1）＝2×72
C．2x（x﹣1）＝72 D．x（x+1）＝72
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】根据每两名同学都互相发一次，可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
x（x﹣1）＝72，
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的一元二次方程，这是一道典型的双循环问题．
9．（2020秋•浦东新区校级月考）同学聚会，大家见面，所有人互赠小礼物，共有礼物90件．设x人参加聚会，列方程为（ ）
A． B．
C．x（x+1）＝90 D．x（x﹣1）＝90
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】此题利用一元二次方程应用中的基本数量关系：x人参加聚会，每两名同学之间都互送了一件礼物，所有同学共送了x（x﹣1）件礼物解决问题即可．
【解答】解：有x人参加这次聚会，每两人都互赠了一件礼物，则每人有（x﹣1）件礼物，
依题意，得 x（x﹣1）＝90．
故选：D．
【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程．理清题意，找对等量关系是解答此类题目的关键；需注意的是本题中“每两人都互赠了一件礼物”的条件，类似于球类比赛的双循环赛制．
10．（2020秋•红桥区期末）要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（ ）
A．x（x+1）＝90 B．x（x﹣1）＝90
C．x（x+1）＝90 D．x（x﹣1）＝90
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛90场，可列出方程．
【解答】解：设有x个队参赛，则
x（x﹣1）＝90．
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解．
二．填空题（共5小题）
11．（2021秋•峡江县期末）某校九（1）班的学生互赠新年贺卡，共用去1560张贺卡，则九（1）班有 40 名学生．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设九（1）班有x名学生，则每名学生需送出（x﹣1）张新年贺卡，利用九（1）班共用去贺卡的数量＝人数×每人送出新年贺卡的数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设九（1）班有x名学生，则每名学生需送出（x﹣1）张新年贺卡，
依题意得：x（x﹣1）＝1560，
整理得：x2﹣x﹣1560＝0，
解得：x1＝40，x2＝﹣39（不合题意，舍去），
∴九（1）班有40名学生．
故答案为：40．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．（2021秋•虎林市校级期末）2021年10月10日，第七届黑龙江绿色食品产业博览会开幕，虎林市组建团队参加，为增进了解，在参加会议前团队每两个人间互送了一次名片，一共送出90张名片，则这个团队有 10 人．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设这个团队有x人，则每人需送出（x﹣1）张名片，根据在参加会议前该团队共送出90张名片，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设这个团队有x人，则每人需送出（x﹣1）张名片，
依题意得：x（x﹣1）＝90，
整理得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去），
∴这个团队有10人．
故答案为：10．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．（2019秋•霍林郭勒市期末）2018﹣2019赛季中国男子篮球职业联赛（CBA），继续采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），总比赛场数为380场．求有多少支队伍参加比赛？设参赛队伍有x支，则可列方程为 x（x﹣1）＝380 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用．
【分析】设参赛队伍有x支，根据参加篮球职业联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛380场，可列出方程．
【解答】解：设参赛队伍有x支，则
x（x﹣1）＝380．
故答案为：x（x﹣1）＝380．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解．
14．（2020秋•锦州期末）2021年元旦联欢会上，某班同学之间互赠新年贺卡，共赠贺卡1190张，设全班有x名同学，则可列方程为 x（x﹣1）＝1190 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】根据题意可知，每名同学都先（x﹣1）名同学赠送贺卡，从而可以得到相应的方程，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
x（x﹣1）＝1190，
故答案为：x（x﹣1）＝1190．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，这是一道典型的双循环问题，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
15．（2019秋•宜城市期中）2019﹣2020赛季中国男子篮球职业联赛（CBA），继续采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），总比赛场数为552场．求有多少支队伍参加比赛？设参赛队伍有x支，则可列方程为 x（x﹣1）＝552 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设参赛队伍有x支，根据参加篮球职业联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛552场，可列出方程．
【解答】解：设参赛队伍有x支，则x（x﹣1）＝552．
故答案是：x（x﹣1）＝552．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解．
三．解答题（共10小题）
16．滨州市体育局要组织一次篮球赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），计划安排30场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】每个队都要与其余队比赛一场，2队之间要赛2场．等量关系为：队的个数×（队的个数﹣1）＝30，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设有x队参加比赛．
x（x﹣1）＝30，
（x﹣6）（x+5）＝0，
解得x＝6，x＝﹣5（不合题意，舍去）．
答：应邀请6支球队参加比赛．
【点评】本题考查一元二次方程的应用；得到比赛总场数的等量关系是解决本题的关键．
17．要组织一场篮球比赛，每两队之间都赛2场，计划安排90场比赛，应邀请多少个球队参加比赛．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】赛制为双循环形式（每两队之间都赛2场），x个球队比赛总场数＝x（x﹣1）．即可列方程求解．
【解答】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，
x（x﹣1）＝90，
解得x＝10或﹣9（舍去）．
故应邀请10个球队参加比赛．
【点评】考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．
18．（2020秋•湖里区校级月考）中秋节期间，我校数学兴趣小组同学都向本组其他同学各发了一条祝福短信，据统计，发了210条祝福语，问这个数学兴趣小组有多少学生？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据数学兴趣小组同学都向本组其他同学各发了一条祝福短信，据统计，发了210条祝福语，可以列出相应的二元一次方程，然后解方程即可．
【解答】解：设这个数学兴趣小组有x名学生，
x（x﹣1）＝210，
解得，x1＝15，x2＝﹣14（舍去），
答：这个数学兴趣小组有15名学生．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的双循环问题．
19．（2020秋•奈曼旗月考）奈曼旗某中学要组织一次篮球赛，赛制为双循环形式（每两队之间赛两场），计划安排12场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】每个队都要与其余队比赛一场，2队之间要赛2场．等量关系为：队的个数×（队的个数﹣1）＝30，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设要邀请x支球队参加比赛，
由题意，得x（x﹣1）＝12．
解得：x1＝4，x2＝﹣3（舍去）．
答：应邀请4支球队参加比赛．
【点评】本题考查一元二次方程的应用；得到比赛总场数的等量关系是解决本题的关键．
20．（2018春•金华期中）阅读下表：解答下列问题：
线段AB上的点数n（包括A、B两点）
图例
线段总条数N
3

3＝2+1
4

6＝3+2+1
5

10＝4+3+2+1
6

15＝5+4+3+2+1
（1）根据表中规律猜测线段总条数N与线段上点数n（包括线段的两个端点）的关系，用含n的代数式表示N，则N＝ ．
（2）2018年“俄罗斯世界杯足球赛”，第一轮小组赛共有32支球队分成8组（每组4个队），每组组内分别进行单循环赛（即每个队与本小组的其它队各比赛一场），求第一轮共要进行几场比赛？
（3）2018年“中国足球超级联赛”，不分小组，所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛，求共有几支球队参加比赛？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用．
【分析】（1）线段的总条数N与线段上的点数n的关系式N＝；
（2）先将n＝4代入（1）中的关系式求出每小组4个队单循环赛一共比赛的场数，再乘以组数8即可；
（3）设共有几支球队参加比赛，根据所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛列出方程，求解即可．
【解答】解：（1）由题意，得N＝．
故答案为：；

（2）每小组4个队单循环赛一共比赛：＝6（场），
共6个组，6×8＝48（场）．
答：第一轮共要进行48场比赛；

（3）设共有几支球队参加比赛，根据题意得
x（x﹣1）＝240，
解得x＝16或x＝﹣15（舍去）．
答：共有16支球队参加比赛．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，线段的定义，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，掌握从特殊向一般猜想的方法，得出线段的总条数N与线段上的点数n的关系式．
21．（2018•江汉区校级模拟）列方程解应用题：某地足球协会组织一次联赛，赛制为双循环（每两队之间都赛两场），恰好需要打56场比赛，求共有多少支球队参加比赛？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】每个队都要与其余队比赛一场，2队之间要赛2场．等量关系为：队的个数×（队的个数﹣1）＝56，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设共有x支球队参加比赛
x（x﹣1）＝56
解得：x1＝8，x2＝﹣7（舍去）
答：共有8支球队参加比赛．
【点评】本题考查一元二次方程的应用；得到比赛总场数的等量关系是解决本题的关键．
22．（2014秋•新罗区校级月考）某次同学聚会互送礼品共420件，有多少同学参加聚会？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设有x名同学参加聚会，每两名同学之间都互送了一件礼物，所有同学共送了x（x﹣1）件礼物解决问题即可．
【解答】解：设有x名同学参加聚会，每两人都互赠了一件礼物，则每人有（x﹣1）件礼物，
依题意，得 x（x﹣1）＝420，
解得x1＝21，x2＝﹣20（不合题意舍去）．
答：有21名同学参加聚会．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．理清题意，找对等量关系是解答此类题目的关键；需注意的是本题中“互送礼品”的条件，类似于球类比赛的双循环赛制．
23．（2017•中山市模拟）某市计划举办青少年足球比赛，赛制采取双循环形式（即每两队之间都要打两场比赛），一共组织30场比赛．计分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．
（1）该市举办方应该邀请多少支球队参赛？
（2）此次比赛结束后，如果其中一支参赛球队共平了4场，负了2场，则该球队此次比赛的总积分是多少？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】（1）设该市举办方应邀请x支球队参赛，根据“一共组织30场比赛”列出方程并解答；
（2）根据计分规则计算总积分．
【解答】解：（1）设该市举办方应邀请x支球队参赛，
依题意得，x（x﹣1）＝30，
解方程得，x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去），
（2）（10﹣4﹣2）×3+4×1+2×0＝16，
答：该市举办方应邀请6支球队参赛，该球队的总积分为16分．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程并解答．
24．（2016春•杭州期末）阅读下表：解答下列问题：
线段AB上的点数n（包括A、B两点）
图例
线段总条数N
3

3＝2+1
4

6＝3+2+1
5

10＝4+3+2+1
6

15＝5+4+3+2+1
（1）根据表中规律猜测线段总条数N与线段上点数n（包括线段的两个端点）的关系，用含n的代数式表示N，则N＝ ．
（2）2016年“欧洲杯足球赛”，第一轮小组赛共有24支球队分成6组（每组4个队），每组组内分别进行单循环赛（即每个队与本小组的其它队各比赛一场），求第一轮共要进行几场比赛？
（3）2016年“中国足球超级联赛”，不分小组，所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛，求共有几支球队参加比赛？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】（1）线段的总条数N与线段上的点数n的关系式N＝；
（2）先将n＝4代入（1）中的关系式求出每小组4个队单循环赛一共比赛的场数，再乘以组数6即可；
（3）设共有几支球队参加比赛，根据所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛列出方程，求解即可．
【解答】解：（1）由题意，得N＝．
故答案为；
（2）每小组4个队单循环赛一共比赛：＝6（场），
共6个组，6×6＝36（场）．
答：第一轮共要进行36场比赛；
（3）设共有几支球队参加比赛，根据题意得
x（x﹣1）＝240，
解得x＝16或x＝﹣15（舍去）．
答：共有16支球队参加比赛．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，线段的定义，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，掌握从特殊向一般猜想的方法，得出线段的总条数N与线段上的点数n的关系式．
25．（2006•宝山区二模）“中超”足球联赛采用的是主客场制的双循环比赛制度（即每两个队之间都要举行两场比赛）．显然参赛球队的个数对比赛总场次数有直接影响，由于各种原因，到底有几支球队参加“中超”联赛，一直是中国足协考虑的问题之一．在目前的基础上，如果减少4支球队，则比赛总场次数将比现在的总场次数的一半还少6场，那么，现在共有多少支球队参加“中超”联赛？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】如果有n支球队参加双循环比赛，那么比赛总场次为n（n﹣1）．据此依题意列方程解答．
【解答】解：设现在共有x支球队参加“中超”联赛，（1分）
则：（x﹣4）（x﹣5）＝x（x﹣1）﹣6 （7分）
即 x2﹣17x+52＝0，（8分）
解得：x1＝4，x2＝13．（11分）
x1＝4不合题意，所以x2＝13．
答：现在共有13支球队参加“中超”联赛．（12分）
【点评】此题考查一元二次方程的应用，主要搞清楚双循环赛制的计算场次方法．

考点卡片
1．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
2．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．