初中数学解题模型之一元二次方程的应用（数字问题）（含答案）

这是一份初中数学解题模型之一元二次方程的应用（数字问题）（含答案），共20页。
A．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x﹣4
B．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x+4
C．x2+（x﹣4）2＝10x+x﹣4﹣4
D．x2+（x+4）2＝10（x+4）+x+4
2．（2015秋•咸丰县校级月考）有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，则原来的两位数中较大的数为（ ）
A．62 B．44 C．53 D．35
3．（2009秋•自贡期末）一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为（ ）
A．25 B．36 C．25或36 D．﹣25或﹣36
4．（2009秋•新民市期中）一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是（ ）
A．不存在 B．25 C．36 D．25或36
5．有一个三位数，其个位、十位、百位的数字是三个连续整数，并且个位数字与百位数字的平方和是十位数字的5倍．则这个三位数是（ ）
A．321 B．123 C．321或123 D．±123或±321
6．一个两位数比它的个位数字的平方小2．并且个位数字比十位数字大3．下列的各数中，是符合要求的两位数的是（ ）
A．25 B．36 C．47 D．59
7．（2015秋•诏安县期中）已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字少4，这个两位数十位和个位交换位置后，新两位数与原两位数的积为1612，那么原数中较大的两位数是（ ）
A．95 B．59 C．26 D．62
8．（2012秋•赣榆县校级期中）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为x，则方程为（ ）
A．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x﹣4
B．x2+（x+4）2＝10x+x﹣4﹣4
C．x2+（x+4）2＝10（x+4）+x﹣4
D．x2+（x+4）2＝10x+（x﹣4）﹣4
二．填空题（共10小题）
9．（2014秋•冠县期末）一个两位数等于它的个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为 ．
10．（2020秋•浦东新区校级期末）已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是 ．
11．（2019秋•綦江区校级月考）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9．如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数是 ．
12．（2017秋•高密市期末）一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为 ．
13．（2014秋•麦积区校级期末）一个两位数，十位数字比个位数字大1，个位数字与十位数字的平方和比这个两位数少19，则这个两位数是 ．
14．（2014秋•东海县校级期末）若一个两位正整数，它的个位数字与十位数的和是5，数字的平方和是17，求这个两位数．
解：设这个两位数的十位数字是x，则它的个位数字为 ，所以这两位数是 ，根据题意，得 ．
15．（2014秋•泾川县校级月考）有两个正数，其中一个比另一个多81，将两数相乘时，算错了，使得乘积的十位数字少了4，再用较大的数去除错误的得数时，商为20，余数为62，求这两个数？
解：设其中较小的数为x，则依据题意列方程为 ．
16．（2017秋•海原县校级月考）已知一个两位数，它的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于这个两位数，则这个两位数是 ．
17．（2015秋•赵县校级月考）小雷在纸上写了一个两位数，这个两位数的个位数字比十位数字大1，个位数字的平方与十位数字的平方的和为13，则这个两位数是 ．
18．（2014秋•长宁区期末）已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，设个位上的数字为x，列出关于x的方程： ．
三．解答题（共7小题）
19．（2021秋•新民市期末）2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用小方框圈出四个数（如图所示），圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能否为33或65，若能求出最小数；若不能请说明理由．

20．（2018秋•广州校级月考）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小2，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小36，求原来的两位数．
21．（2021•白银一模）读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
22．（2016秋•丹阳市校级月考）根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式
（1）有一个三位数，它的个位数字比十位数字大3，十位数字比百位数字小2，三个数字的平方和的9倍比这个三位数小20，求这个三位数．
（2）如果一个直角三角形的两条直角边长之和为14cm，面积为24cm2，求它的两条直角边的长．
23．（2015秋•蓝田县校级月考）有一个两位数，它的个位数字比十位数字大3，个位数字与十位数字的平方和比这两个数大18，求这个两位数．
24．（2014秋•商丘月考）已知有一个两位数，它的十位数字比个位数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数．
25．（2016秋•句容市校级期末）阅读探究有关个位数是5的整数的平方简便计算问题．
观察下列算式：
152＝1×2×100+25＝225；252＝2×3×100+25＝625；352＝3×4×100+25＝1225…
（1）请你写出952的简便计算过程及结果；
（2）其实这种方法也可以推广到个位数是5的三位数的平方，证明略．
①请你写出1152的简便计算过程及结果．
②用计算或说理的方式确定9852﹣8952的结果末两位数字是多少？
（3）已知一个个位数是5的整数的平方是354025，请用方程的相关知识求这个数．
初中数学解题模型之一元二次方程的应用（数字问题）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2014秋•安顺期末）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大4．设个位数字为x，则方程为（ ）
A．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x﹣4
B．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x+4
C．x2+（x﹣4）2＝10x+x﹣4﹣4
D．x2+（x+4）2＝10（x+4）+x+4
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】数字问题．
【分析】根据个位数与十位数的关系，可知十位数为x+4，那么这两位数为：10（x+4）+x，这两个数的平方和为：x2+（x+4）2，再根据两数的值相差4即可得出答案．
【解答】解：依题意得：十位数字为：x+4，这个数为：x+10（x+4）
这两个数的平方和为：x2+（x+4）2，
∵两数相差4，
∴x2+（x+4）2＝x+10（x+4）+4．
故选：D．
【点评】本题考查了数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解．
2．（2015秋•咸丰县校级月考）有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，则原来的两位数中较大的数为（ ）
A．62 B．44 C．53 D．35
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】数字问题．
【分析】设个位为x，则十位上的数字为8﹣x，根据如果十位上的数字与个位上的数字对调，则所得两位数乘以原来的两位数就得1855，求解即可．
【解答】解：设原来个位为x，则十位上的数字为8﹣x，
由题意得，[10×（8﹣x）+x][10x+8﹣x]＝1855
解得：x＝3或x＝5，
原来十位上的数字为5，
即原来这个两位数53．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是表示出对调前后两位数的表示方法．
3．（2009秋•自贡期末）一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为（ ）
A．25 B．36 C．25或36 D．﹣25或﹣36
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】数字问题．
【分析】可设这个数的个位数为x，那么十位数字应该是x﹣3，由一个两位数等于它的个位数的平方，列出一元二次方程求解．
【解答】解：设这个两位数的个位数字为x，那么十位数字应该是x﹣3，
由题意得10（x﹣3）+x＝x2，
解得x1＝5，x2＝6；
那么这个两位数就应该是25或36．
故选：C．
【点评】本题要注意两位数的表示方法，然后根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
4．（2009秋•新民市期中）一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是（ ）
A．不存在 B．25 C．36 D．25或36
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】数字问题．
【分析】设个位数字为x，那么十位数字是（x﹣3），这个两位数是[10（x﹣3）+x]，然后根据个位数字的平方刚好等于这个两位数即可列出方程求解．
【解答】解：设个位数字为x，那么十位数字是（x﹣3），这个两位数是10（x﹣3）+x，
依题意得x2＝10（x﹣3）+x，∴x2﹣11x+30＝0，
∴x1＝5，x2＝6，
∴x﹣3＝2或3．
答：这个两位数是25或36．
故选：D．
【点评】这是一道数字问题的应用题，正确理解关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
5．有一个三位数，其个位、十位、百位的数字是三个连续整数，并且个位数字与百位数字的平方和是十位数字的5倍．则这个三位数是（ ）
A．321 B．123 C．321或123 D．±123或±321
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】数字问题．
【分析】直接利用已知个位、十位、百位的数字是三个连续整数假设出各数，再利用个位数字与百位数字的平方和是十位数字的5倍得出等式求出即可．
【解答】解：设十位数字为x，则个位数字为：x﹣1，百位数字为：x+1，
根据题意可得：（x﹣1）2+（x+1）2＝5x，
解得：x1＝2，x2＝0.5（不合题意舍去），
则个位数字为：x﹣1＝1，百位数字为：x+1＝3，
故这个三位数是：321，
当设十位数字为x，则个位数字为：x+1，百位数字为：x﹣1，
根据题意可得：（x﹣1）2+（x+1）2＝5x，
解得：x1＝2，x2＝0.5（不合题意舍去），
则个位数字为：x+1＝3，百位数字为：x11＝1，
故这个三位数是：123，
同理可得：这个三位数可以为：±123或±321．
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意分类讨论得出是解题关键．
6．一个两位数比它的个位数字的平方小2．并且个位数字比十位数字大3．下列的各数中，是符合要求的两位数的是（ ）
A．25 B．36 C．47 D．59
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】计算题．
【分析】对于数字问题关键是要做好解设，本题可设十位数字是x，个位数字就为（x+3），那么这个两位数就是10x+（x+3）．然后根据“一个两位数比它的个位数字的平方小2”列出等式
【解答】解：设十位数字为x
10x+（x+3）+2＝（x+3）2
x＝1或x＝4
所以这个两位数为14或47
故选：C．
【点评】本题考查的是数字问题关键有两点（1）是解设的时候要设数字为x（2）会表示两位数一般形式是10a+b．
7．（2015秋•诏安县期中）已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字少4，这个两位数十位和个位交换位置后，新两位数与原两位数的积为1612，那么原数中较大的两位数是（ ）
A．95 B．59 C．26 D．62
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】数字问题．
【分析】令个位为y，十位为x，则数为10x+y，且x﹣4＝y，交换位置后，数字为10y+x，根据等量关系：新两位数与原两位数的积为1612，列出方程求解即可．
【解答】解：令个位为y，十位为x，则数为10x+y，且x﹣4＝y，交换位置后，数字为10y+x，则
（10x+y）×（10y+x）＝1612，即（11x﹣4）×（11x﹣40）＝1612，
解得x＝6，
10x+y＝60+（6﹣4）＝62．
故这个两位数是62．
故选：D．

方法2、设原两位数的个位数字为m，则十位数字是（m+4），
即：原两位数为10m+m+4＝11m+4，新两位数为10（m+4）+m＝11m+40，
根据题意得，（11m+4）（11m+40）＝1612
解得，m＝6，
∴10x+y＝60+（6﹣4）＝62．
故这个两位数是62．
故选：D．
【点评】此题考查了组成数的数字的特点，也考查了用数字如何表示几位数．
8．（2012秋•赣榆县校级期中）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为x，则方程为（ ）
A．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x﹣4
B．x2+（x+4）2＝10x+x﹣4﹣4
C．x2+（x+4）2＝10（x+4）+x﹣4
D．x2+（x+4）2＝10x+（x﹣4）﹣4
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】数字问题．
【分析】根据个位数与十位数的关系，可知十位数为x+4，那么这两位数为：10（x+4）+x，这两个数的平方和为：x2+（x+4）2，再根据两数的值相差4即可得出答案．
【解答】解：依题意得：十位数字为：x+4，这个数为：x+10（x+4）
这两个数的平方和为：x2+（x+4）2，
∵两数相差4，
∴x2+（x+4）2＝x+10（x+4）﹣4．
故选：C．
【点评】本题考查了数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解．
二．填空题（共10小题）
9．（2014秋•冠县期末）一个两位数等于它的个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为 25或36 ．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】数字问题．
【分析】设这个两位数字的个位数字是x，则十位数字是（x﹣3），则这个两位数为[10（x﹣3）+x]，然后根据一个两位数等于它的个位数字的平方即可列出方程，解方程就可以解决问题．
【解答】解：设这个两位数字的个位数字是x，则十位数字是（x﹣3），
根据题意得
10（x﹣3）+x＝x2
原方程可化为：x2﹣11x+30＝0，
∴x1＝5，x2＝6，
当x＝5时，x﹣3＝2，两位数为25；
当x＝6时，x﹣3＝3，两位数为36；
答：这个两位数是25或36．
故答案为：25或36．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
10．（2020秋•浦东新区校级期末）已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是 84 ．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为（x+4），根据个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再将其非负整数代入[10（x+4）+x]中即可求出结论．
【解答】解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为（x+4），
依题意得：x2+（x+4）2﹣[10（x+4）+x]＝﹣4，
整理得：x1＝4，x2＝﹣5．
又∵x为非负整数，
∴x＝4，
∴10（x+4）+x＝10×（4+4）+4＝84．
故答案为：84．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11．（2019秋•綦江区校级月考）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9．如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数是 74 ．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】数字问题．
【分析】等量关系为：原来的两位数﹣新两位数＝27，把相关数值代入计算可得各位上的数字，根据两位数的表示方法求得两位数即可．
【解答】解：设原两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为（x2﹣9）．
∴10（x2﹣9）+x﹣10x﹣（x2﹣9）＝27，
解得x1＝4，x2＝﹣3（不符合题意，舍去）．
∴x2﹣9＝7，
∴10（x2﹣9）+x＝74．
答：原两位数为74．
故答案为：74．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用；得到两个两位数之间的等量关系是解决本题的关键；用到的知识点为：两位数＝10×十位数字+个位数字．
12．（2017秋•高密市期末）一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为 25或36 ．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】数字问题．
【分析】可设这个数的个位数为x，那么十位数字应该是x﹣3，由一个两位数等于它的个位数的平方，列出一元二次方程求解．
【解答】解：设这个两位数的个位数字为x，那么十位数字应该是x﹣3，
由题意得：10（x﹣3）+x＝x2，
解得x1＝5，x2＝6．
那么这个两位数就应该是25或36．
故答案为：25或36．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，要注意两位数的表示方法，然后根据题意列出方程．
13．（2014秋•麦积区校级期末）一个两位数，十位数字比个位数字大1，个位数字与十位数字的平方和比这个两位数少19，则这个两位数是 32 ．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】数字问题．
【分析】等量关系为：个位上的数字与十位上的数字的平方和＝这个两位数﹣19，把相关数值代入求得整数解即可．
【解答】解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x﹣1）．可列方程为：
x2+（x﹣1）2＝10x+（x﹣1）﹣19
解得x1＝3，x2＝3.5（舍），
∴x﹣1＝2，
∴10x+（x﹣1）＝32．
故答案为：32．
【点评】考查一元二次方程的应用；用到的知识点为：两位数＝10×十位数字+个位数字．
14．（2014秋•东海县校级期末）若一个两位正整数，它的个位数字与十位数的和是5，数字的平方和是17，求这个两位数．
解：设这个两位数的十位数字是x，则它的个位数字为 （5﹣x） ，所以这两位数是 10x+（5﹣x） ，根据题意，得 x2+（5﹣x）2＝17 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】数字问题．
【分析】如果设这个两位数的十位数字是x，则个位数字为（5﹣x），两位数就应该表示为10x+（5﹣x），根据“数字的平方和是17”，那么可列出方程．
【解答】解：设这个两位数的十位数字是x，
则个位数字为（5﹣x），
两位数就应该表示为10x+（5﹣x）
∴x2+（5﹣x）2＝17．
故填空答案：5﹣x，10x+（5﹣x），x2+（5﹣x）2＝17．
【点评】本题要注意两位数的表示方法，主要根据数字的平方和是17列出方程．
15．（2014秋•泾川县校级月考）有两个正数，其中一个比另一个多81，将两数相乘时，算错了，使得乘积的十位数字少了4，再用较大的数去除错误的得数时，商为20，余数为62，求这两个数？
解：设其中较小的数为x，则依据题意列方程为 x2+81x﹣40＝20（x+81）+62 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】设小数是x，则大数是x+81，二数相乘应该得：x2+81x，错误的是：x2+81x﹣4×10，根据“用较大的数去除错误的得数时，商为20，余数为62”列出方程即可．
【解答】解：设小数是x，则大数是x+81
二数相乘应该得：x2+81x，错误的是：x2+81x﹣4×10
根据题意列方程：x2+81x﹣40＝20（x+81）+62
故答案为：x2+81x﹣40＝20（x+81）+62
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是能够设出两数并表示出二者相乘正确和错误的结果，难度不大．
16．（2017秋•海原县校级月考）已知一个两位数，它的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于这个两位数，则这个两位数是 25或36 ．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】数字问题．
【分析】设这个两位数的个位数字是x，则十位数字是（x﹣3），根据个位数字的平方恰好等于这个两位数列出方程解答即可．
【解答】解：设这个两位数的个位数字是x，则十位数字是（x﹣3），由题意得
x2＝10（x﹣3）+x
解得：x1＝5，x2＝6，
当x＝5时，x﹣3＝2，
当x＝6 时，x﹣3＝3．
答：这个两位数是25或36．
故答案为：25或36．
【点评】此题考查一元二次方程的实际运用，掌握数字的计数原理，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．
17．（2015秋•赵县校级月考）小雷在纸上写了一个两位数，这个两位数的个位数字比十位数字大1，个位数字的平方与十位数字的平方的和为13，则这个两位数是 23 ．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】数字问题．
【分析】设这两位数的十位数字为x，则个位数字是（x+1），根据“个位数字的平方与十位数字的平方的和为13”列出方程解答即可．
【解答】解：设这两位数的十位数字为x，个位数字是（x+1），由题意得
x2+（x+1）2＝13，
解得：x1＝2，x2＝﹣3（舍去），
则x+1＝3，
答：这个两位数是23．
故答案为：23．
【点评】考查一元二次方程的应用，利用个位数字的平方与十位数字的平方的和为13建立方程是解决问题的关键．
18．（2014秋•长宁区期末）已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，设个位上的数字为x，列出关于x的方程： x2+（x+4）2＝x+10（x+4）﹣4 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】数字问题．
【分析】根据个位数与十位数的关系，可知十位数为x+4，那么这两位数为：10（x+4）+x，这两个数的平方和为：x2+（x+4）2，再根据两数的值相差4即可得出答案．
【解答】解：依题意得：十位数字为：x+4，这个数为：x+10（x+4）
这两个数的平方和为：x2+（x+4）2，
∵两数相差4，
∴x2+（x+4）2＝x+10（x+4）﹣4．
故答案为：x2+（x+4）2＝x+10（x+4）﹣4．
【点评】本题考查了数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解．
三．解答题（共7小题）
19．（2021秋•新民市期末）2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用小方框圈出四个数（如图所示），圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能否为33或65，若能求出最小数；若不能请说明理由．

【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设这个最小数为x，则最大数为（x+8），根据最小数与最大数的乘积为65诺33，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设最小的数为x，
由题意得x（x+8）＝33，
解得x1＝﹣11，x2＝3．由表格知不符合实际舍去；
由题意得x（x+8）＝65，
解得x1＝﹣13（舍去），x2＝5，
所以当最大数与最小数乘积为65时，最小的数是5．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．（2018秋•广州校级月考）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小2，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小36，求原来的两位数．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】数字问题．
【分析】首先设个位数字为x，则十位数字为x2﹣2，由题意得等量关系：原两位数﹣新两位数＝36，根据等量关系列出方程解方程即可．
【解答】解：设个位数字为x，则十位数字为x2﹣2，由题意得：
10（x2﹣2）+x﹣（10x+x2﹣2）＝36，
解得：x1＝3，x2＝﹣2（不合题意，舍去），
十位数字：32﹣2＝7，
这个两位数为：73，
答：原来的两位数73．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，表示出原两位数和新两位数是解决问题的关键．
21．（2021•白银一模）读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】数字问题．
【分析】设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x﹣3．根据题意建立方程求出其值就可以求出其结论．
【解答】解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x﹣3．由题意得；
10（x﹣3）+x＝x2，
解得：x1＝5，x2＝6
当x＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；
当x＝6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意．
答：周瑜去世的年龄为36岁．
【点评】本题是一道数字问题的运用题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，在解答中理解而立之年是一个人30岁的年龄是关键．
22．（2016秋•丹阳市校级月考）根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式
（1）有一个三位数，它的个位数字比十位数字大3，十位数字比百位数字小2，三个数字的平方和的9倍比这个三位数小20，求这个三位数．
（2）如果一个直角三角形的两条直角边长之和为14cm，面积为24cm2，求它的两条直角边的长．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】（1）个位上的数字是几，表示几个一，十位上的数字是几就表示几个十，百位上的数字是几就表示几个百；由此求解；
（2）设一边长为x，然后表示出另一边，然后利用直角三角形的面积的计算方法列出方程即可．
【解答】解：（1）设十位数字为x，则个位数字为x+3，百位数字为x+2，
根据题意得：[100（x+2）+10x+（x+3）]﹣9[（x+3）2+x2+（x+2）2]＝20，
化简为9x2﹣7x﹣22＝0；
（2）设其中一条直角边的长为x，则另一条直角边为（14﹣x），
根据题意得：x（14﹣x）＝24，
整理得：x2﹣14x+48＝0．
【点评】本题考查了由实际问题列出一元二次方程，解题的关键是找到等量关系，难度不大．
23．（2015秋•蓝田县校级月考）有一个两位数，它的个位数字比十位数字大3，个位数字与十位数字的平方和比这两个数大18，求这个两位数．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】数字问题．
【分析】等量关系为：个位上的数字与十位上的数字的平方和＝这个两位数+18，把相关数值代入求得整数解即可．
【解答】解：设个位上的数字为x，则十位上的数字为（x﹣3）．可列方程为：
x2+（x﹣3）2＝10（x﹣3）+x+18
解得x1＝7，x2＝1.5（舍），
∴x﹣3＝4，
∴10（x﹣3）+x＝47．
答：这个两位数为47．
【点评】考查一元二次方程的应用，用到的知识点为：两位数＝10×十位数字+个位数字，解题的关键是能够表示这个两位数．
24．（2014秋•商丘月考）已知有一个两位数，它的十位数字比个位数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】可设个位数字为x，则十位上的数字是（x﹣2）．等量关系：十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数．
【解答】解：设个位数字为x，则十位上的数字是（x﹣2），根据题意得
3x（x﹣2）＝10（x﹣2）+x，
整理，得3x2﹣17x+20＝0，即（x﹣4）（3x﹣5）＝0，
解得 x1＝4，x2＝（不合题意，舍去），
则x﹣2＝4﹣2＝2，
答：这两位数是24．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．正确理解关键描述语，找到等量关系准确列出方程是解决问题的关键．
25．（2016秋•句容市校级期末）阅读探究有关个位数是5的整数的平方简便计算问题．
观察下列算式：
152＝1×2×100+25＝225；252＝2×3×100+25＝625；352＝3×4×100+25＝1225…
（1）请你写出952的简便计算过程及结果；
（2）其实这种方法也可以推广到个位数是5的三位数的平方，证明略．
①请你写出1152的简便计算过程及结果．
②用计算或说理的方式确定9852﹣8952的结果末两位数字是多少？
（3）已知一个个位数是5的整数的平方是354025，请用方程的相关知识求这个数．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】数字问题．
【分析】（1）结果＝十位数字×（十位数字+1）×100+25；
（2）①结果＝前两位数字×（前两位数字+1）×100+25；
②末两位数字都是25，那么可得相减后的末两位数字；
（3）可设未知数位上的数字为x，那么x（x+1）×100+25＝354025，求得正整数x，进而加上最后一位上的5即可．
【解答】解：（1）952＝9×10×100+25＝9025；

（2）①1152＝11×12×100+25＝13225；
②因为9852的末两位为25，而8952的末两位也为25，所以9852﹣8952的末两位数字都为零；

（3）笼统地设未知数位上的数为x，由题意有
x（x+1）×100+25＝354025，
x（x+1）×100＝354000，
x（x+1）＝3540，
左边为相邻两整数的积，把3540“分解”为两个相邻整数，即3540＝59×60，
故 x＝59．
所以这个三位数为595．
【点评】考查规律性的数字问题及一元二次方程的应用；得到末尾数字是5的数的平方的计算规律是解决本题的关键．
考点卡片
1．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
2．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．