初中数学解题模型之一元二次方程的应用（动态几何问题）（含答案）

这是一份初中数学解题模型之一元二次方程的应用（动态几何问题）（含答案），共39页。
初中数学解题模型之一元二次方程的应用（动态几何问题）
一．选择题（共6小题）
1．（2021秋•朝阳期中）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发沿AB边以1cm/秒的速度向点B移动，点Q从点B出发，沿BC边以2cm/秒的速度向点C移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当有一个点到达终点时另一个点也停止运动，在运动过程中，设点P的运动时间为t，则当△BPQ的面积为8cm2时，t的值（ ）

A．2或3 B．2或4 C．1或3 D．1或4
2．（2019秋•沈北新区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）

A．2秒钟 B．3秒钟 C．4秒钟 D．5秒钟
3．（2021秋•嘉祥县月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为12cm2时，则点P运动的时间是（ ）

A．2s B．3s C．4s D．6s
4．（2020秋•来宾期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P在AB上以1cm/s的速度向B点移动，点Q在BC上以2cm/s的速度向C点移动．当点Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动．下列时刻中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）

A．2s B．3s C．4s D．5s
5．（2021秋•连山区月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝7cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为15cm2，则点P运动的时间是（ ）

A．3.5s B．5s C．4s D．3s
6．（2021秋•晋中期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为9cm2时，则点P运动的时间是（ ）

A．3s B．3s或5s C．4s D．5s
二．填空题（共9小题）
7．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝5cm，AD＝3cm，G为边AB上一点，GB＝1cm，动点E、F同时从点D出发，点F沿射线DG﹣GB﹣BC运动到点C时停止，点E沿DC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s，若E、F同时运动ts时，△DEF的面积为5cm2，则t的值为 ．

8．（2017•临清市一模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒，则t＝ 秒时，S1＝2S2．

9．（2015•于洪区校级模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝6cm，AB＝8cm，BC＝14cm．动点P、Q都从点C同时出发，点P沿C→B方向做匀速运动，点Q沿C→D→A方向做匀速运动，当P、Q其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．若点P以1cm/s速度运动，点Q以2cm/s的速度运动，连接BQ、PQ．当时间t为 秒时，△BQP的面积为24cm2．

10．（2014•贵阳）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t＝ 秒时，S1＝2S2．

11．（2021秋•龙岗区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就同时停止运动．设运动时间为t秒．当t＝ s时，△CPQ的面积为16cm2．

12．（2020秋•长安区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发沿AB边以1cm/s的速度向点B匀速移动，同时点Q从点B出发沿BC边以2cm/s的速度向点C匀速移动，当P，Q两点中有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ的面积为5cm2时，点P，Q运动的时间为 秒．

13．（2021秋•兰山区期末）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过 s后，P，Q两点之间相距25cm．

14．（2020秋•娄星区校级月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从点A出发沿着AC方向以2cm/s的速度运动，另一动点Q从C出发沿着CB边以1cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动 秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的．

15．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝24cm，AC＝16cm，现有动点P从点B出发，沿射线BA方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CA方向运动，已知点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，经过 秒，△APQ的面积是△ABC面积的一半？

三．解答题（共10小题）
16．（2021秋•秀英区校级期中）如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以2m/s的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动．
（1）AP＝ ，BP＝ ，CQ＝ ，DQ＝ （用含t的代数式表示）；
（2）t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
（3）t为多少时，点P和点Q的距离为10cm．

17．（2021秋•东莞市月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，求：
（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；
（2）当t＝3秒时，这时，P、Q两点之间的距离是多少？
（3）当t为多少秒时，S＝S△ABC？

18．（2021秋•长汀县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝21cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，如果点P，Q同时出发，P，Q的运动速度均为1cm/s．
（1）那么运动几秒时，它们相距15cm？
（2）△PCQ的面积能等于60平方厘米吗？为什么？

19．（2020秋•三水区月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝12cm，动点D从点A出发以4cm/s速度向点C移动，同时动点E从C出发以3cm/s的速度向点B移动，设它们的运动时间为ts．
（1）根据题意知：CE＝ ，CD＝ ；（用含t的代数式表示）
（2）t为何值时，△CDE的面积等于四边形ABED的面积的？
（3）点D、E运动时，DE的长可以是8cm吗？如果可以，请求出t的值，如果不可以，请说明理由．

20．（2021秋•新北区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝9cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，Rt△CPQ的面积Scm2．
（1）用含t的代数式表示S．
（2）当运动多少秒时，Rt△CPQ的面积等于5cm2？

21．（2021秋•博罗县期中）如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，点Q以2cm/s的速度向点D移动，当点P运动到点B停止时，点Q也随之停止运动，问P，Q两点从出发经过几秒时，点P，Q间的距离是10cm？

22．（2021秋•顺德区校级月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动，同时动点Q从点C出发以1cm/s的速度向点A移动，其中一点到达终点后另一点也随之停止运动，设它们的运动时间为ts．
（1）运动几秒时，△CPQ为等腰三角形？
（2）t为何值时，△CPQ的面积等于△ABC面积的？
（3）在运动过程中，PQ的长度能否为1cm？试说明理由．

23．（2021秋•佛山校级月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，动点D从点A出发以4cm/s速度向点C移动，同时动点E从C出发以3cm/s的速度向点B移动，设它们的运动时间为ts．
（1）根据题意知：CE＝ ，CD＝ ；（用含t的代数式表示）
（2）t为何值时，△CDE的面积等于四边形ABED的面积的？
（3）点D、E运动时，DE的长可以是4cm吗？如果可以，请求出t的值，如果不可以，请说明理由．

24．（2021秋•寿光市期中）如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，AD＝2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发，沿折线A﹣B﹣C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点C出发，沿CD向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动．
（1）两动点运动几秒时，四边形PBCQ的面积是长方形ABCD面积的？
（2）是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为cm？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由．

25．（2021秋•北流市期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．
（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？
（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．


初中数学解题模型之一元二次方程的应用（动态几何问题）
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．（2021秋•朝阳期中）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发沿AB边以1cm/秒的速度向点B移动，点Q从点B出发，沿BC边以2cm/秒的速度向点C移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当有一个点到达终点时另一个点也停止运动，在运动过程中，设点P的运动时间为t，则当△BPQ的面积为8cm2时，t的值（ ）

A．2或3 B．2或4 C．1或3 D．1或4
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】当运动时间为t秒时，BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2tcm，根据△BPQ的面积为8cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t的值．
【解答】解：当运动时间为t秒时，BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2tcm，
依题意得：（6﹣t）×2t＝8，
整理得：t2﹣6t+8＝0，
解得：t1＝2，t2＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2019秋•沈北新区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）

A．2秒钟 B．3秒钟 C．4秒钟 D．5秒钟
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何动点问题；动点型．
【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使△PBQ的面积为15cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．
【解答】解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，
则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，
×（8﹣t）×2t＝15，
解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．
∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．
故选：B．
【点评】此题考查借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．
3．（2021秋•嘉祥县月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为12cm2时，则点P运动的时间是（ ）

A．2s B．3s C．4s D．6s
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使△PBQ的面积为12cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．
【解答】解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为12cm2，
则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，
×（8﹣t）×2t＝12，
解得t1＝2，t2＝6（当t＝6时，BQ＝12，不合题意，舍去）．
∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为12cm2．
故选：A．
【点评】此题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．
4．（2020秋•来宾期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P在AB上以1cm/s的速度向B点移动，点Q在BC上以2cm/s的速度向C点移动．当点Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动．下列时刻中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）

A．2s B．3s C．4s D．5s
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设当运动时间为t秒时，△PBQ的面积为15cm2，利用三角形面积的计算公式，可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，再结合当点Q移动到点C后停止点P也随之停止移动，即可确定t值．
【解答】解：设当运动时间为t秒时，△PBQ的面积为15cm2，
依题意得：×（8﹣t）×2t＝15，
整理得：t2﹣8t+15＝0，
解得：t1＝3，t2＝5．
又∵2t≤6，
∴t≤3，
∴t＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．（2021秋•连山区月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝7cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为15cm2，则点P运动的时间是（ ）

A．3.5s B．5s C．4s D．3s
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使△PBQ的面积为15cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．
【解答】解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，
则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，
×（8﹣t）×2t＝15，
解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．
∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．
故选：D．
【点评】此题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．
6．（2021秋•晋中期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为9cm2时，则点P运动的时间是（ ）

A．3s B．3s或5s C．4s D．5s
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使四边形APQC的面积为9cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．
【解答】解：设动点P，Q运动t秒后，能使四边形APQC的面积为9cm2，
则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，
×（8﹣t）×2t＝（24﹣9），
解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．
∴动点P，Q运动3秒时，能使四边形APQC的面积为9cm2．
故选：A．
【点评】此题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．
二．填空题（共9小题）
7．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝5cm，AD＝3cm，G为边AB上一点，GB＝1cm，动点E、F同时从点D出发，点F沿射线DG﹣GB﹣BC运动到点C时停止，点E沿DC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s，若E、F同时运动ts时，△DEF的面积为5cm2，则t的值为 或7 ．

【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何动点问题．
【分析】分三种情况：①点F在DG上；②点F在BG上；③点F在BC上；根据等量关系：△DEF的面积为5cm2，列出方程求解即可．
【解答】解：在Rt△ADG中，DG＝＝5，
①点F在DG上，依题意有
t×t＝5，
解得t＝±（负值舍去）；
②点F在BG上，依题意有
×5×3≠5，
此种情况不存在，
③点F在BC上，依题意有
×5×[3﹣（t﹣6）]＝5，
解得t＝7．
答：t的值为或7．
故答案为：或7．
【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的运用．
8．（2017•临清市一模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒，则t＝ 6 秒时，S1＝2S2．

【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何动点问题．
【分析】利用三角形的面积公式以及矩形的面积公式，表示出S1和S2，然后根据S1＝2S2，即可列方程求解．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD为BC边上的高，
∴AD＝BD＝CD＝8cm，
又∵AP＝t，
则S1＝AP•BD＝×8×t＝8t，PD＝8﹣t，
∵PE∥BC，
∴∠AEP＝∠C＝45°，∠APE＝∠ADC＝90°，
∴∠PAE＝∠PEA＝45°
∴PE＝AP＝t，
∴S2＝PD•PE＝（8﹣t）•t，
∵S1＝2S2，
∴8t＝2（8﹣t）•t，
解得：t＝6或0（舍弃）
故答案是：6．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，以及等腰直角三角形的性质，正确表示出S1和S2是关键．
9．（2015•于洪区校级模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝6cm，AB＝8cm，BC＝14cm．动点P、Q都从点C同时出发，点P沿C→B方向做匀速运动，点Q沿C→D→A方向做匀速运动，当P、Q其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．若点P以1cm/s速度运动，点Q以2cm/s的速度运动，连接BQ、PQ．当时间t为 2 秒时，△BQP的面积为24cm2．

【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何动点问题．
【分析】由于点P在线段CB上运动，而点Q沿C→D→A方向做匀速运动，所以分两种情况讨论：①点Q在CD上；②点Q在DA上．针对每一种情况，都可以过Q点作QG⊥BC于G．由于点P、Q运动的时间为t（s），可用含t的代数式分别表示BP、QG的长度，然后根据三角形的面积公式列出S与t的函数关系式，并写出t的取值范围，根据面积为24cm2，列出方程，解方程并结合t的范围取舍．
【解答】解：如图1，过D点作DH⊥BC，垂足为点H，

则有DH＝AB＝8cm，BH＝AD＝6cm．
∴CH＝BC﹣BH＝14﹣6＝8cm．
在Rt△DCH中，∠DHC＝90°，
∴CD＝＝8cm．
当点P、Q运动的时间为t（s），则PC＝t．
①如图1，当点Q在CD上时，过Q点作QG⊥BC，垂足为点G，则QC＝2t．
又∵DH＝HC，DH⊥BC，
∴∠C＝45°．
∴在Rt△QCG中，QG＝QC•sin∠C＝2t×sin45°＝2t．
又∵BP＝BC﹣PC＝14﹣t，
∴S△BPQ＝BP×QG＝（14﹣t）×2t＝14t﹣t2．
当Q运动到D点时所需要的时间t＝＝＝4．
∴S＝14t﹣t2（0＜t≤4），
当S＝24时，14t﹣t2＝24，
解得：t1＝2，t2＝12（舍）．
②如图2，当点Q在DA上时，过Q点作QG⊥BC，垂足为点G，

则：QG＝AB＝8cm，BP＝BC﹣PC＝14﹣t，
∴S△BPQ＝BP×QG＝（14﹣t）×8＝56﹣4t．
当Q运动到A点时所需要的时间t＝＝＝4+．
∴S＝56﹣4t（4＜t≤4+），
当S＝24时，56﹣4t＝24，
解得：t＝8＞4+，舍去，
综上，当t＝2时，S＝24，
故答案为：2．
【点评】本题考查了动点与图形面积问题，需要通过题目的条件，分类讨论是关键．
10．（2014•贵阳）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t＝ 6 秒时，S1＝2S2．

【考点】一元二次方程的应用；等腰直角三角形；矩形的性质．
【专题】几何动点问题；压轴题．
【分析】利用三角形的面积公式以及矩形的面积公式，表示出S1和S2，然后根据S1＝2S2，即可列方程求解．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD为BC边上的高，
∴AD＝BD＝CD＝8cm，
又∵AP＝t，
则S1＝AP•BD＝×8×t＝8t，PD＝8﹣t，
∵PE∥BC，
∴△APE∽△ADC，
∴，
∴PE＝AP＝t，
∴S2＝PD•PE＝（8﹣t）•t，
∵S1＝2S2，
∴8t＝2（8﹣t）•t，
解得：t＝6．
故答案是：6．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，以及等腰直角三角形的性质，正确表示出S1和S2是关键．
11．（2021秋•龙岗区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就同时停止运动．设运动时间为t秒．当t＝ 1s或4 s时，△CPQ的面积为16cm2．

【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】根据题意得到AP＝4tcm，CQ＝2tcm，AC＝20cm，CP＝（20﹣4t）cm，根据三角形的面积公式列方程即可得答案．
【解答】解：由运动知，AP＝4tcm，CQ＝2tcm，
∵AC＝20cm，
∴CP＝（20﹣4t）cm，
∵△CPQ的面积为16cm2．
∴2t×（20﹣4t）＝16，
解得：t＝1或t＝4，
答：当t＝1秒或4秒时，△CPQ的面积为16cm2．
故答案为：1s或4．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积公式，正确地列出方程是解题的关键．
12．（2020秋•长安区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发沿AB边以1cm/s的速度向点B匀速移动，同时点Q从点B出发沿BC边以2cm/s的速度向点C匀速移动，当P，Q两点中有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ的面积为5cm2时，点P，Q运动的时间为 1 秒．

【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设运动时间为x秒（0＜x＜4），则PB＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm，利用三角形的面积计算公式，结合△PBQ的面积为5cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：8÷2＝4（秒）．
设运动时间为x秒（0＜x＜4），则PB＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm，
依题意得：×2x×（6﹣x）＝5，
整理得：x2﹣6x+5＝0，
解得：x1＝1，x2＝5（不合题意，舍去）．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．（2021秋•兰山区期末）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过 10 s后，P，Q两点之间相距25cm．

【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设x秒后P、Q两点相距25cm，用x表示出CP、CQ，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：设x秒后P、Q两点相距25cm，
则CP＝2xcm，CQ＝（25﹣x）cm，
由题意得，（2x）2+（25﹣x）2＝252，
解得，x1＝10，x2＝0（舍去），
则10秒后P、Q两点相距25cm．
故答案是：10．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
14．（2020秋•娄星区校级月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从点A出发沿着AC方向以2cm/s的速度运动，另一动点Q从C出发沿着CB边以1cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动 2 秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的．

【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设运动了t秒，根据三角形的面积公式可以得出△ABC面积为×4×8＝16，△PCQ的面积为t（8﹣2t），由题意列出方程解答即可．
【解答】解：∵S△PCQ＝t（8﹣2t），S△ABC＝×4×8＝16，
∴t（8﹣2t）＝16×，
整理得t2﹣4t+4＝0，
解得t＝2．
即：运动2秒时△PCQ的面积为△ABC面积的．
故答案是：2．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
15．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝24cm，AC＝16cm，现有动点P从点B出发，沿射线BA方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CA方向运动，已知点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，经过 2或12 秒，△APQ的面积是△ABC面积的一半？

【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何动点问题．
【分析】设经过x秒△APQ的面积是△ABC面积的一半，根据点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s表示出BP＝4xcm，CQ＝2xcm，进而表示出AP＝（24﹣4x）cm，AQ＝（16﹣2x）cm，利用面积表示出方程求解即可．
【解答】解：设经过x秒△APQ的面积是△ABC面积的一半，
∵点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，
∴BP＝4xcm，CQ＝2xcm，
（1）当AP＝（24﹣4x）cm，AQ＝（16﹣2x）cm，
根据题意得：（24﹣4x）（16﹣2x）＝××24×16，
整理得x2﹣14x+24＝0，
解得：x＝2或x＝12（舍去）．
（2）当AP＝（4x﹣24）cm，AQ＝（2x﹣16）cm，
根据题意得：（4x﹣24）（2x﹣16）＝××24×16，
整理得x2﹣14x+24＝0，
解得：x＝2（舍去）或x＝12．
故答案为2或12．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，特别是动点问题更是中考的热点考题之一．
三．解答题（共10小题）
16．（2021秋•秀英区校级期中）如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以2m/s的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动．
（1）AP＝ 3tcm ，BP＝ （16﹣3t）cm ，CQ＝ 2tcm ，DQ＝ （16﹣2t）cm （用含t的代数式表示）；
（2）t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
（3）t为多少时，点P和点Q的距离为10cm．

【考点】一元二次方程的应用；勾股定理；列代数式；一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】（1）当运动时间为ts时，根据点P，Q的运动方向及运动速度，即可用含t的代数式表示出各线段的长度；
（2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值；
（3）过点Q作QE⊥AB于点E，则PE＝|16﹣5t|，利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）当运动时间为ts时，AP＝3tcm，BP＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm，DQ＝（16﹣2t）cm．
故答案为：3tcm；（16﹣3t）cm；2tcm；（16﹣2t）cm．
（2）依题意得：[（16﹣3t）+2t]×6＝33，
整理得：16﹣t＝11，
解得：t＝5.
答：当t为5时，四边形PBCQ的面积为33cm2．
（3）过点Q作QE⊥AB于点E，则PE＝|（16﹣3t）﹣2t|＝|16﹣5t|，如图所示．
依题意得：|16﹣5t|2+62＝102，
即（16﹣5t）2＝82，
解得：t1＝，t2＝．
答：当t为或时，点P和点Q的距离为10cm．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据各线段之间的关系，用含t的代数式表示出各线段的长度；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
17．（2021秋•东莞市月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，求：
（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；
（2）当t＝3秒时，这时，P、Q两点之间的距离是多少？
（3）当t为多少秒时，S＝S△ABC？

【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；解直角三角形及其应用；应用意识．
【分析】（1）若运动的时间为ts，则CP＝（20﹣4t）cm，CQ＝2tcm，利用三角形的面积计算公式，即可得出S＝20t﹣4t2，再结合各线段长度非负，即可得出t的取值范围；
（2）将t＝3代入（20﹣4t）及2t中可求出CP，CQ的长，再利用勾股定理，即可求出PQ的长；
（3）利用三角形的面积计算公式，结合S＝S△ABC，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t的值．
【解答】解：（1）若运动的时间为ts，则CP＝（20﹣4t）cm，CQ＝2tcm，
∴S＝CP•CQ＝（20﹣4t）×2t＝20t﹣4t2．
又∵，
∴0≤t≤5．
∴Rt△CPQ的面积S＝20t﹣4t2（0≤t≤5）．
（2）当t＝3时，CP＝20﹣4t＝20﹣4×3＝8（cm），CQ＝2t＝2×3＝6（cm），
∴PQ＝＝＝10（cm）．
（3）依题意得：20t﹣4t2＝××15×20，
整理得：t2﹣5t+6＝0，
解得：t1＝2，t2＝3．
∴t为2或3时，S＝S△ABC．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式、代数式求值以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含t的代数式表示出S；（2）利用勾股定理，求出PQ的长；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
18．（2021秋•长汀县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝21cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，如果点P，Q同时出发，P，Q的运动速度均为1cm/s．
（1）那么运动几秒时，它们相距15cm？
（2）△PCQ的面积能等于60平方厘米吗？为什么？

【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】（1）设运动t秒时，P，Q两点相距15厘米，利用勾股定理结合PQ＝15，可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）设运动x秒时，△PCQ的面积等于60平方厘米，利用三角形的面积公式可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＜0可得出原方程无解，即△PCQ的面积不能等于60平方厘米．
【解答】解：（1）设运动t秒时，P，Q两点相距15厘米，
依题意，得：t2+（21﹣t）2＝152，
解得：t1＝9，t2＝12，
∴运动9秒或12秒时，P，Q两点相距12厘米；
（2）△PCQ的面积不能等于60平方厘米，理由如下：
设运动x秒时，△PCQ的面积等于60平方厘米，
依题意，得：x（21﹣x）＝60，
整理，得：x2﹣21x+120＝0，
∵△＝（﹣21）2﹣4×1×120＝﹣39＜0，
∴原方程无解，即△PCQ的面积不能等于60平方厘米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19．（2020秋•三水区月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝12cm，动点D从点A出发以4cm/s速度向点C移动，同时动点E从C出发以3cm/s的速度向点B移动，设它们的运动时间为ts．
（1）根据题意知：CE＝ 3tcm ，CD＝ （16﹣4t）cm ；（用含t的代数式表示）
（2）t为何值时，△CDE的面积等于四边形ABED的面积的？
（3）点D、E运动时，DE的长可以是8cm吗？如果可以，请求出t的值，如果不可以，请说明理由．

【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何动点问题；应用意识．
【分析】（1）根据动点D从点A出发以4cm/s速度向点C移动，同时动点E从C出发以3cm/s的速度向点B移动，可以得出CE＝3t，CD＝16﹣4t；
（2）先确定当△CDE的面积等于四边形ABED的面积的时，则△CDE的面积等于△ABC的面积的，再列方程求出t的值；
（3）假设可以，根据这一条件列方程并且整理出一元二次方程，再由一元二次方程根的判别式判定此方程没有实数根，则说明DE的长不可以是8cm．
【解答】解：（1）∵动点D、E同时出发，动点E从C出发向点B移动，
∴CE＝3tcm，
∵动点D从点A出发向点C移动，
∴CD＝（16﹣4t）cm，
故答案为：3t，16﹣4t．
（2）当△CDE的面积等于四边形ABED的面积的时，则△CDE的面积等于△ABC的面积的，
根据题意得×3t（16﹣4t）＝××16×12，
整理得t2﹣4t+4＝0，
解得t1＝t2＝2，
答：t＝2，即运动2秒时，△CDE的面积等于四边形ABED的面积的．
（3）不可以，理由如下：
如果可以，则由勾股定理得（3t）2+（16﹣4t）2＝82，
整理得25t2﹣128t+192＝0，
∵Δ＝（﹣128）2﹣4×25×192＝﹣2816＜0，
∴该方程没有实数根，
∴DE的长不可以是8cm．

【点评】此题考查解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、列一元二次方程解应用题等知识与方法，解第（3）题时应注意根据一元二次方程根的判别式判定方程没有实数根．
20．（2021秋•新北区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝9cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，Rt△CPQ的面积Scm2．
（1）用含t的代数式表示S．
（2）当运动多少秒时，Rt△CPQ的面积等于5cm2？

【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】（1）由题意可得CP＝AC﹣2t，CQ＝t，则利用三角形的面积公式即可求解；
（2）当S＝5时，代入（1）中的式子进行求解即可．
【解答】解：（1）由题意得：CP＝AC﹣2t，CQ＝t，
∴S＝CP•CQ＝（AC﹣2t）t，
∵AC＝12cm，BC＝9cm，
∴S＝（12﹣2t）t＝﹣t2+6t；
（2）当S＝5cm2时，
﹣t2+6t＝5，
解得：t1＝1，t2＝5，
即当t＝1或t＝5时，Rt△CPQ的面积等于5cm2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积公式，正确地列出方程是解题的关键．
21．（2021秋•博罗县期中）如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，点Q以2cm/s的速度向点D移动，当点P运动到点B停止时，点Q也随之停止运动，问P，Q两点从出发经过几秒时，点P，Q间的距离是10cm？

【考点】一元二次方程的应用．
【分析】作PH⊥CD，垂足为H，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解．
【解答】解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，
作PH⊥CD，垂足为H，
则PH＝AD＝6，PQ＝10，
∵DH＝PA＝3t，CQ＝2t，
∴HQ＝CD﹣DH﹣CQ＝|16﹣5t|，
由勾股定理，得（16﹣5t）2+62＝102，
解得t1＝4.8，t2＝1.6．
答：P，Q两点从出发经过1.6或4.8秒时，点P，Q间的距离是10cm．

【点评】本题考查了一元二次方程的运用．关键是作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程．
22．（2021秋•顺德区校级月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动，同时动点Q从点C出发以1cm/s的速度向点A移动，其中一点到达终点后另一点也随之停止运动，设它们的运动时间为ts．
（1）运动几秒时，△CPQ为等腰三角形？
（2）t为何值时，△CPQ的面积等于△ABC面积的？
（3）在运动过程中，PQ的长度能否为1cm？试说明理由．

【考点】一元二次方程的应用；等腰三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】（1）根据PC＝CQ列方程求解即可；
（2）根据△CPQ的面积等于△ABC面积的，列出关于t的方程，解方程即可；
（3）根据勾股定理列方程，此方程无解，于是得到在运动过程中，PQ的长度能否为1cm．
【解答】解：经过t秒后，PC＝（4﹣2t）cm，CQ＝tcm，
（1）若△CPQ为等腰三角形，
则PC＝CQ，即4﹣2t＝t，
解得：t＝，
∴运动秒时，△CPQ为等腰三角形；
（2）当△CPQ的面积等于△ABC面积的时，
即×（4﹣2t）•t＝××3×4，
整理得：4t2﹣8t+3＝0，
解得：t1＝，t2＝，
∴经过或秒后，△CPQ的面积等于△ABC面积的；
（3）∵∠C＝90°，
∴（4﹣2t）2+t2＝1，
整理得：5t2﹣16t+15＝0，
∵Δ＝162﹣4×5×15＝256﹣300＝﹣44＜0，
∴此方程无实数解，
∴在运动过程中，PQ的长度不能为1cm．
【点评】本题考查了动点问题，三角形的面积，一元二次方程的应用，特别是（2）注意分类讨论．
23．（2021秋•佛山校级月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，动点D从点A出发以4cm/s速度向点C移动，同时动点E从C出发以3cm/s的速度向点B移动，设它们的运动时间为ts．
（1）根据题意知：CE＝ 3tcm ，CD＝ （8﹣4t）cm ；（用含t的代数式表示）
（2）t为何值时，△CDE的面积等于四边形ABED的面积的？
（3）点D、E运动时，DE的长可以是4cm吗？如果可以，请求出t的值，如果不可以，请说明理由．

【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】（1）根据动点D从点A出发以4cm/s速度向点C移动，同时动点E从C出发以3cm/s的速度向点B移动，可以得出CE＝3t，CD＝8﹣4t；
（2）先确定当△CDE的面积等于四边形ABED的面积的时，则△CDE的面积等于△ABC的面积的，再列方程求出t的值；
（3）假设可以，根据这一条件列方程并且整理出一元二次方程，再由一元二次方程根的判别式判定此方程没有实数根，则说明DE的长不可以是8cm．
【解答】解：（1）∵动点D、E同时出发，动点E从C出发向点B移动，
∴CE＝3tcm，
∵动点D从点A出发向点C移动，
∴CD＝（8﹣4t）cm，
故答案为：3tcm，（8﹣4t）cm．
（2）当△CDE的面积等于四边形ABED的面积的时，则△CDE的面积等于△ABC的面积的，
根据题意得×3t（8﹣4t）＝××8×6，
整理得t2﹣2t+1＝0，
解得t1＝t2＝1，
答：t＝1，即运动1秒时，△CDE的面积等于四边形ABED的面积的．
（3）不可以，理由如下：
如果可以，则由勾股定理得（3t）2+（8﹣4t）2＝42，
整理得25t2﹣64t+48＝0，
∵Δ＝（﹣64）2﹣4×25×48＝﹣704＜0，
∴该方程没有实数根，
∴DE的长不可以是4cm．

【点评】此题考查解一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式、列一元二次方程解应用题等知识与方法，解第（3）题时应注意根据一元二次方程根的判别式判定方程没有实数根．
24．（2021秋•寿光市期中）如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，AD＝2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发，沿折线A﹣B﹣C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点C出发，沿CD向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动．
（1）两动点运动几秒时，四边形PBCQ的面积是长方形ABCD面积的？
（2）是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为cm？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由．

【考点】一元二次方程的应用．
【专题】分类讨论；一元二次方程及应用；推理能力；应用意识．
【分析】（1）要使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的，此时点P应在AB上，才能构成四边形．根据路程＝速度×时间，分别用t的代数式表示BP、CQ的长，再根据梯形的面积公式列方程求解；
（2）根据勾股定理列方程即可，注意分情况考虑．
【解答】解：（1）设两动点运动t秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的 ．
根据题意，得BP＝6﹣2t，CQ＝t，矩形的面积是12．
则有 （t+6﹣2t）×2＝2×6×，
解得t＝；
（2）设两动点经过t秒使得点P与点Q之间的距离为 ．
①当0＜t≤3时，如图1，则有（6﹣2t﹣t）2+4＝5，
解得t＝或 ；
②当3＜t≤4时，如图2，则有（8﹣2t）2+t2＝5，
得方程5t2﹣32t+59＝0，
此时Δ＜0，此方程无解．
综上所述，当t＝或 时，点P与点Q之间的距离．

【点评】此题是一道动态题，有一定的难度，涉及到一元二次方程和勾股定理有关知识，注意分类讨论思想的运用．
25．（2021秋•北流市期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．
（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？
（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．

【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何动点问题．
【分析】（1）根据三角形的面积公式可以得出△ABC面积为×4×8＝16，△PCQ的面积为t（8﹣2t），由题意列出方程解答即可；
（2）由等量关系S△PCQ＝S△ABC列方程求出t的值，但方程无解．
【解答】解：（1）∵S△PCQ＝t（8﹣2t），S△ABC＝×4×8＝16，
∴t（8﹣2t）＝16×，
整理得t2﹣4t+4＝0，
解得t＝2．
答：当t＝2s时△PCQ的面积为△ABC面积的；

（2）当S△PCQ＝S△ABC时，
t（8﹣2t）＝16×，
整理得t2﹣4t+8＝0，
Δ＝（﹣4）2﹣4×1×8＝﹣16＜0，
∴此方程没有实数根，
∴△PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

考点卡片
1．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．

【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
2．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
3．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
4．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
5．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
6．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
7．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．