辽宁省六校协作体2020-2021学年高二上学期期中联考数学试题 Word版含答案

2020——2021学年度（上）省六校协作体高二期中联考

数学试题

命题学校：凤城一中  命题人：  校对人：

一．选择题（1-8题为单选题，每题5分）

1. 已知椭圆方程为，则椭圆的焦点坐标为（      ）

A.          B.

C.             D.

2. 已知平面上三点,则平面的一个法向量为（   ）

A．         B．      C．     D．

3. 若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为，则实数a的值为(　　)

A．－1或      B．1或3       C．－2或6    D．0或4

4. 当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心， 为半径的圆的方程为(　　)

A.  (x－1)2＋(y＋2)2＝5            B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5

C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5           D．(x－1)2＋(y－2)2＝5

5. 已知四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E,F,G分别是棱AB,AD,DC的中点，则等于(　　)

A．1    B．   C．    D．

6. 已知双曲线的一条渐近线与直线3x＋y＋3＝0垂直，以C的右焦点F为圆心的圆(x－c)2＋y2＝2与它的渐近线相切，则双曲线的焦距为(　　)

A．1　　    B．2　　　　C.　　D．2

7. 已知椭圆的右焦点F，P是椭圆上任意一点，点,则的周长最大值为（     ）

A.     B.     C.14       D.

8. 《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面是矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥。如图，在堑堵中，,当阳马体积的最大值为时，堑堵的外接球的体积为（    ）

A.         B.    C.     D.

二.多选题（9-12题为多选题，全部选对得5分，选错得0分，部分选对得3分）

9. 已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为(　　)

A.       B.      C.       D．2

10. 已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在y轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点作y轴的垂线交椭圆C于P、Q两点，则下列说法正确的是(　　)

A．椭圆C的方程为         B．椭圆C的方程为

C．|PQ|＝                         D．的周长为4

11. 在正方体ABCD - A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1和C1D1的中点，则下列结论正确的是(  )

A. 平面CEF         B. 平面CEF

C.     D. 点D与点B1到平面CEF的距离相等

12. 古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名。他发现：“平面内到两个定点A,B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”。后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼奥斯圆，简称阿氏圆。在平面直角坐标系中，,点P满足。设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（     ）

A.曲线C的方程为

B.在x轴上存在异于A,B的两定点D,E,使得

C．当A,B,P三点不共线时，射线PO是的平分线

D.在曲线C上存在点M，使得

三．填空题（每小题5分）

13. 已知直二面角的棱l上有A,B两个点，,若，则CD的长是__________．
14. 设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的方程为________．
15. 已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．则|2a+3b|＝________；在直线AB上，存在一点E，使得⊥b，则点E的坐标为________．(第一空2分，第二空3分)
16. 已知点A，B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点P在椭圆上，直线AP的斜率为，设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，椭圆上的点到点M的距离d的最小值为_____________．

四、解答题

17. （10分）当k为何值时，直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋(2k－3)y＋2＝0，

(1)  平行；         (2)垂直。

18. （12分）已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A(－1，0)，B(1,0)，一个顶点为H(2,0)．

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)对于x轴上的点P(t,0)，椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围．

19. （12分）如图，设四棱锥的底面是菱形，且

.

(1)  证明：平面EAB平面ABCD；

(2)  求四棱锥E-ABCD的体积.

20. （12分）①圆心C在直线上，且是圆上的点；

②圆心C在直线上,但不经过点,并且直线与圆C相交所得的弦长为4

③圆C过直线和圆的交点，

在以上三个条件中任选一个，补充在下面问题中，

问题：平面直角坐标系中，圆C过点，且_________

(1)求圆C的标准方程；

(2)求过点A 的圆C的切线方程。

21. （12分）如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB＝1，AC＝AA1＝2，AD＝CD＝，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．

(1)求证：MN∥平面ABCD；

(2)求平面ACD1与平面ACB1的夹角的余弦值；

(3)设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD的夹角的正弦值为，求线段A1E的长．

22. （12分）已知椭圆的上顶点为E，左焦点为F，离心率为，直线EF与圆相切。

（1）    求椭圆C的标准方程；

（2）        设过点F且斜率存在的直线l与椭圆C相交于A,B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，试判断是否为定值，若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由。

1. D
2. B
3. D　[由弦长公式l＝2，可知圆心到直线的距离d＝，即＝，解得a＝0或4.]
4. C【解析】　直线方程变为(x＋1)a－x－y＋1＝0.

由得∴C(－1,2)，∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.

5. A
6. D　[由直线垂直的条件，可得·＝－1，所以＝，由点F(c,0)到渐近线y＝x的距离d＝＝，可得c＝，2c＝2.]
7. C
8. B
9. AD

解析　如图所示，双曲线的渐近线方程为y＝±x，

若∠AOB＝，则θ＝，tanθ＝＝，

∴a＝>.

又∵c＝＝2，

∴e＝＝＝.

10. ACD
11. AC
12. BC
14. 解：因为椭圆＋＝1的顶点为(－5，0)，(5，0)，(0，－3)，(0，3)，当顶点为(－5，0)，(5，0)时，焦点在x轴上，且a＝5.又＝＝2，所以c＝10，从而b2＝75，所以标准方程为－＝1.

当顶点为(0，－3)，(0，3)时，焦点在y轴上，且a＝3.

又e＝＝＝2，

所以c＝6，所以b2＝c2－a2＝36－9＝27，

所以标准方程为－＝1.

综上可知，双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.

15. ； 
16. 解　直线AP的方程是x－y＋6＝0.

设点M的坐标是(m,0)，

则M到直线AP的距离是，

于是＝|m－6|，

又－6≤m≤6，解得m＝2，所以点M(2,0)．

设椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，有

d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2

＝2＋15，

由于－6≤x≤6.

所以当x＝时，d取最小值.

17. 解：（1）两直线平行时解得或

当k=1时两直线重合，所以两直线平行时，k=-9

（2）两直线垂直时，解得

18. 解　(1)由题意可得，c＝1，a＝2，

∴b＝.

∴所求椭圆E的标准方程为＋＝1.

(2)设M(x0，y0)，x0∈，则＋＝1.①

＝(t－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，

由MP⊥MH可得·＝0，

即(t－x0)(2－x0)＋y＝0.②

由①②消去y0，整理得t(2－x0)＝－x＋2x0－3.

∵x0≠2，∴t＝x0－.

∵－2<x0<2，

∴－2<t<－1.

∴实数t的取值范围为(－2，－1)．

19. （1）证明：取AB中点O，连接EO,CO,AC

 因为底面ABCD为菱形且AB=2，O为AB中点

即

(2)    由（1）可得EO为四棱锥E-ABCD的高，EO=1,

20.  解：选①条件

（1）（方法一）设所求圆的方程为，由题意得

解得a=3,b=2,

所以所求圆的方程是

（方法二）设线段AB的垂直平分线为m，则圆心C在直线上且在直线l上，即C是m与l的交点

直线AB的斜率是-1,直线m的斜率是1，AB中点为，所以直线

解得所以圆心C(3,2)且

所以所求圆的方程是

（2）在圆C上，，过点A的切线斜率为

过点A的切线方程是即

选②条件

（1）设所求圆的方程为，由题意得a=2b，

设圆心C到直线距离为d，由垂径定理可知

即将a=2b代入得，

又因为圆C不经过点,所以a=8,b=4,

所以所求圆的方程是

(2)在圆C上，，过点A的切线斜率为

过点A的切线方程是即

选③条件

（方法一）设所求圆C的方程为

代入点A(6,0)得

所以所求圆的方程为即

（方法二）设直线与圆交点

即解得

所以

设所求圆C的方程将A,E,F代入

所以所求圆的方程为

21. (1)证明　如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A(0,0，0)，B(0,1,0)，C(2，0,0)，D(1，－2，0)，A1(0,0,2)，B1(0,1,2)，C1(2,0,2)，D1(1，－2，2)，又因为M，N分别为B1C和D1D的中点，

得M，N(1，－2,1)．

可得n＝(0,0,1)为平面ABCD的法向量，＝，由此可得·n＝0，又因为直线MN⊄平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.

(2)解　＝(1，－2,2)，＝(2,0,0)，设n1＝(x，y，z)为平面ACD1的法向量，则

即

不妨设z＝1，可得n1＝(0,1,1)．

设n2＝(x，y，z)为平面ACB1的法向量，则

又＝(0,1,2)，

得不妨设z＝1，可得n2＝(0，－2,1)．

因此有cos〈n1，n2〉＝＝－，

所以，平面ACD1与平面ACB1的夹角的余弦值为.

(3)解　依题意，可设＝λ，其中λ∈[0,1]，

则E(0，λ，2)，从而＝(－1，λ＋2,1)，又n＝(0,0,1)为平面ABCD的法向量，

由已知，得cos〈，n〉＝＝＝，

整理得λ2＋4λ－3＝0，

又因为λ∈[0,1]，解得λ＝－2，

所以，线段A1E的长为－2.

22.  解：（1）

又因为直线EF与圆C相切，所以

所以椭圆C的标准方程为

（2）是定值。设

直线l的方程为由得

（方法一）因为点P在线段AB的垂直平分线上，所以

所以①

因为点A,B在椭圆C上，所以，代入①，

得。化简，得

所以

，故为定值

（方法二），线段AB的中点为

所以线段AB的垂直平分线为

令y=0,得，所以

，故为定值