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2020-2021学年8.6 空间直线、平面的垂直教课内容课件ppt
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这是一份2020-2021学年8.6 空间直线、平面的垂直教课内容课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了不一定，定义的双重功效，点到平面的距离，图形语言，符号语言，巩固练习，且VP∩BPP，ACVB，ACVP，同理ACBP等内容，欢迎下载使用。
直线与平面位置关系有三个儿子
一、直线与平面垂直的定义 与表示
生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如，旗杆与地面的位置关系，教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的印象。
在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子．你能发现旗杆所在直线与它的影子所在直线的位置关系吗？
随着时间的变化，尽管影子BC的位置在不断地变化，但旗杆AB所在直线始终与影子BC所在直线垂直.也就是说，旗杆AB所在直线与地面上任意一条过点B的直线垂直.
那对于地面上不过点B的任意一条直线B1C1与旗杆AB所在的直线的位置关系如何？
对于B1C1总能在地面上找到过点B的一条直线与之平行，根据异面直线垂直的定义，可知旗杆AB所在直线与直线B1C1也垂直
旗杆AB所在直线与地面上任意一条直线都垂直．
1.直线与平面垂直的定义
注：直线与平面垂直分相交垂直和异面垂直。
那如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？
如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？
线面垂直的定义常这样使用
注：画直线与平面垂直时，要把直线画成和表示平面的平行四边形一边垂直.
2.直线和平面垂直的画法
思考：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线由几条？
过一点有且只有一条直线和一个平面垂直．
同学们这两个个结论实在是太明显太显然了，比公理还显然，但注意它不是公理而是可以证明出来的性质，这在平时的证明中可以当定理使用。注意我们证明题目时的论据都是来自于教材，教材之外的不会考到，虽然教材之外补充了许多定理、性质。 同学们有没有发现西方人没事找事做，吃饱了撑着？正因为西方人的这种刨根究底的精神造就了西方发达的科学。在中国这些是经验，没有证明的迹象。
1、学习数学有什么用？
荷兰数学家弗赖登塔尔的，他说：“与其说是学习数学，还不如说是学习‘数学化’；与其说是学习公理系统，还不如说是学习‘公理化’；与其说是学习形式体系，还不如说是学习‘形式化’。”
数学教育家米山国藏指出：“学生进入社会后，几乎没有机会应用它们在初中或高中所学到的数学知识，因而这种作为知识的数学，通常在学生出校门后不到一两年就忘掉了，然而不管从事什么业务工作，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在他们的生活和工作中发挥着重要作用。”
所以学习数学，数学忘记了，但数学化不会忘记，学习公理，公理忘记了，但公理化不会忘记，学习形式体系，形式体系忘记了，但形式化不会忘记。也就是数学化、公理化、形式化一辈子都对你产生影响。
中国人的思维缺陷
1、不证而论 比如不懂逻辑学上的“充足理由律”，给出论点来往往不证而论，只有论点，没有论据。
2、以“经典、经验、想当然”作为论据
参考文章：《中国人思维的五大缺陷》作者：芦笛
总结：中国数学是经验型的，结构松散毫无逻辑，中国人做事也不讲逻辑。
擅长逻辑，比如平面几何的公理系统，从几个公理出发当成起点推出定理、性质、推论。或由以定理、性质、推论为依据推出定理、性质、推论，每一步都有论据，这论据要么是公理要么是定理、性质、推论。最后形成严密的公理化系统，注意是严密，或严密的逻辑系统。逻辑学就是发达于西方. 学习数学有点就是学习西方人如何思维,高考大部分考西方的思维方式。只有算法是考中国人思维方式
同学们，书上只介绍了三个基本事实即公理，为什么？ 那是因为要建立立体几何公理系统，有这三个公理就足够了，其它都可以把它推导出来，可以当推论或当性质等。其实加上公理4就真的够了，其他任何事实都可以由着四个公理加平面几何的公理和定理推导出来。
有的同学马上想知道这三个事实即三个公理还有推导到底用在哪里？
公理系统是什么？我们前面提过。 什么是公理？那就是不证自明非常显然的事实，公理是我们证明的原点或起点，从原点或起点出发到达我们要到的地方。证明先从公理开始。证明的起点是显而易见的事实，这事实就是公理。公理是去证别人而自己是不能证明的。 同学们很多立体几何定理结论实在是太明显太显然了，比公理还显然，但注意它不是公理而是可以证明出来的性质或定理，我们中国人觉得拿过来用就可以了，但西方不然,要证明出它。这在平时的证明中可以当定理使用。注意我们证明题目时的论据都是来自于教材，教材之外的不会考到，虽然教材之外补充了许多定理、性质。 同学们有没有发现西方人没事找事做，吃饱了撑着？正因为西方人的这种刨根究底的精神造就了西方发达的科学。在中国这些是经验，没有证明的迹象。 虽然结论很显然但证明却是不容易。 定理：两条平行线一条垂直一个平面另一条也垂直这个平面 这样的定理很多。 同学们注意，以上的定理其实我们都是不知不觉无意识的在使用它们了，在中国这是显然的经验，在使用这些定理时我们自己都没有意识到。西方人不这么干，他把这些不知不觉无意识使用的经验拿出来用公理化思想证明,形成一个极其严密不是松散的系统。这造就了西方发达的科技。 如果我们不学习其实同学们在证明命题时自己自动会使用它们，连自己都没有意识到。因为太显然了，比公理还显然，太常识了，以至于我们没有注意它们,是熟视无睹啊。 我们为什么要学习这几个定理就是让无意识的东西进入我们的意识。
如果同学们还想知道公理系统更多的有关知识，请百度：公理系统的相容性、独立性和完备性。 或百度百科：几何公理体系的基本问题，地址链接：%E5%87%A0%E4%BD%95%E5%85%AC%E7%90%86%E4%BD%93%E7%B3%BB%E7%9A%84%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E9%97%AE%E9%A2%98/5557001?fr=aladdin。 如果还想了解更多，请百度百科：哥德尔不完备性定理。链接地址：%E5%93%A5%E5%BE%B7%E5%B0%94%E4%B8%8D%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86/4116640?frmtitle=%E5%93%A5%E5%BE%B7%E5%B0%94%E4%B8%8D%E5%AE%8C%E5%A4%87%E5%AE%9A%E7%90%86&frmid=11039894&fr=aladdin。
定理：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 已知在一平面内，点A是平面内一点，直线a是平面内一直线，求证过A且垂直直线a的垂线有且只有一条。
定理：过一点有且只有一条直线和一个平面垂直。
思考 过空间一点作已知直线的垂面有几个？
过一点有且只有一个平面和一条直线垂直．
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
在锥体的体积公式中，锥体的高度就是锥体的顶点到底面的距离
同学们，这也是定理不是公理
问题：如何判定直线和平面垂直?
根据定义可以进行判断，但无法验证一条直线与一个平面内所有的直线都垂直.那么，有没有可行的方法？
过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC与桌面接触)。(1)折痕AD与桌面垂直吗？(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面α垂直？
实验证明：当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面α垂直。
文字语言： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
(线线垂直线面垂直)
三、直线与平面垂直的判定定理：
如果直线l与平面α内的两条平行直线垂直，能保证l⊥α吗？根据确定一个平面的推论2、推论3，两条相交直线或两条平行线都可以确定一个平面，那为什么一条直线垂直于两条相交就可以判断此直线与平面垂直，而一直线垂直于平面内的两条平行线却不能判断此直线与平面垂直，能从向量的角度解释原因吗？
答：两条平行直线代表的是平面内的一组平行（共线）向量，它们不能代表这个平面内与之不同方向的直线；而又两条相交直线可以确定两个不共线的向量，由平面向量基本定理，它们可以把这个平面内的所有向量表示出来，从而可以表示平面内所有直线。因此，可以用两条相交直线判定线面垂直，而不能用两条平行直线判断线面垂直。
【例3】求证：如果两条直线平行，其中一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。
文字叙述首先要转化为符号语言
已知a//b，a⊥α，求证：b⊥α。
那如何用线面垂直的定义证明呢？
同学们这个结论实在是太明显太显然了，比公理还显然，但注意它不是公理而是可以证明出来的性质，这在平时的证明中可以当定理使用。注意我们证明题目时的论据都是来自于教材，教材之外的不会考到，虽然教材之外补充了许多定理、性质。 同学们有没有发现西方人没事找事做，吃饱了撑着？正因为西方人的这种刨根究底的精神造就了西方发达的科学。在中国这些是经验，没有证明的迹象。
1.判断下列命题是否正确,正确的在( )内打“√”错的打“×”
（4）若一条直线与一个平面不垂直,则这个平面内没有与这条直线垂直的直线。( )
（1）若一条直线与一个三角形的两条边垂直,则这条直线垂直于三角形所在的平面。( )
（2）若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直，则这条直线垂直于平行四边形所在的平面。（ ）
（3）若一条直线与一个梯形的两腰垂直，则这条直线垂直于梯形所在的平面。（ ）
2：如图, M是菱形ABCD在平面外一点,满足MA=MC 求证:
3：已知ABCD是矩形,PA ⊥平面AC,连接PB,PC,PD,图中直角三角形的个数有 ( )个
\ AC^面VPB,VB 面VPB
∵VA=VC,且P为AC的中点
解：取AC的中点P，连接VP、VB
如果一条直线l和一个平面α相交但不垂直，这条直线l叫做这个平面α的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足
四、直线与平面所成的角
过斜线l上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影。
注：射影即太阳光从正上方垂直照下来，直线在平面内的影子。假设平面是水平面。
3、斜线与平面所成的角：
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
PAB是斜线l与平面所成角
斜线与平面所成角的范围是（0°，90°）
4、线面所成角的范围：
规定：一条直线垂直于平面，我们说它所成的角是＿＿角；一条直线和平面平行或在平面内，我们说它所成的角是＿＿的角直线与平面所成的角θ的取值范围是什么?
1、如图，∠BAD为斜线AB与平面α所成的角，AC为平面α内任意一条不与直线AD重合的直线，，那么∠BAD与∠BAC的大小关系如何？
【最小角定理】斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角。
注：顾名思义，这被称为三余弦定理。因为公式中有三个余弦。
如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1与面ABCD所成的角（2） A1C1与面BB1D1D所成的角（3） A1C1与面BB1C1C所成的角
解析：关键是找出直线A1B在平面A1B1CD上的射影
1.作：在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，确定 垂足的位置是关键
2.证：证明所找到的角为直线与平面的角，证明的主要依据为 直线与平面所成角的定义
3.求：一般是借助三角形的知识求解
4.结论：将求出的角转化为线面角
1．直线与平面垂直的定义
2．直线与平面垂直的判定
注意：m是平面α内的任意一条直线
作业：1.课本P152 1-4
4.如图，已知SA⊥Rt⊿ABC所在平面，BC⊥AC，∠ABC=30°，AC=1，SB= ，求SC与面SAB所成角的正弦值。
直线与平面位置关系有三个儿子
一、直线与平面垂直的定义 与表示
生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如，旗杆与地面的位置关系，教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的印象。
在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子．你能发现旗杆所在直线与它的影子所在直线的位置关系吗？
随着时间的变化，尽管影子BC的位置在不断地变化，但旗杆AB所在直线始终与影子BC所在直线垂直.也就是说，旗杆AB所在直线与地面上任意一条过点B的直线垂直.
那对于地面上不过点B的任意一条直线B1C1与旗杆AB所在的直线的位置关系如何？
对于B1C1总能在地面上找到过点B的一条直线与之平行，根据异面直线垂直的定义，可知旗杆AB所在直线与直线B1C1也垂直
旗杆AB所在直线与地面上任意一条直线都垂直．
1.直线与平面垂直的定义
注：直线与平面垂直分相交垂直和异面垂直。
那如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？
如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？
线面垂直的定义常这样使用
注：画直线与平面垂直时，要把直线画成和表示平面的平行四边形一边垂直.
2.直线和平面垂直的画法
思考：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线由几条？
过一点有且只有一条直线和一个平面垂直．
同学们这两个个结论实在是太明显太显然了，比公理还显然，但注意它不是公理而是可以证明出来的性质，这在平时的证明中可以当定理使用。注意我们证明题目时的论据都是来自于教材，教材之外的不会考到，虽然教材之外补充了许多定理、性质。 同学们有没有发现西方人没事找事做，吃饱了撑着？正因为西方人的这种刨根究底的精神造就了西方发达的科学。在中国这些是经验，没有证明的迹象。
1、学习数学有什么用？
荷兰数学家弗赖登塔尔的，他说：“与其说是学习数学，还不如说是学习‘数学化’；与其说是学习公理系统，还不如说是学习‘公理化’；与其说是学习形式体系，还不如说是学习‘形式化’。”
数学教育家米山国藏指出：“学生进入社会后，几乎没有机会应用它们在初中或高中所学到的数学知识，因而这种作为知识的数学，通常在学生出校门后不到一两年就忘掉了，然而不管从事什么业务工作，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在他们的生活和工作中发挥着重要作用。”
所以学习数学，数学忘记了，但数学化不会忘记，学习公理，公理忘记了，但公理化不会忘记，学习形式体系，形式体系忘记了，但形式化不会忘记。也就是数学化、公理化、形式化一辈子都对你产生影响。
中国人的思维缺陷
1、不证而论 比如不懂逻辑学上的“充足理由律”，给出论点来往往不证而论，只有论点，没有论据。
2、以“经典、经验、想当然”作为论据
参考文章：《中国人思维的五大缺陷》作者：芦笛
总结：中国数学是经验型的，结构松散毫无逻辑，中国人做事也不讲逻辑。
擅长逻辑，比如平面几何的公理系统，从几个公理出发当成起点推出定理、性质、推论。或由以定理、性质、推论为依据推出定理、性质、推论，每一步都有论据，这论据要么是公理要么是定理、性质、推论。最后形成严密的公理化系统，注意是严密，或严密的逻辑系统。逻辑学就是发达于西方. 学习数学有点就是学习西方人如何思维,高考大部分考西方的思维方式。只有算法是考中国人思维方式
同学们，书上只介绍了三个基本事实即公理，为什么？ 那是因为要建立立体几何公理系统，有这三个公理就足够了，其它都可以把它推导出来，可以当推论或当性质等。其实加上公理4就真的够了，其他任何事实都可以由着四个公理加平面几何的公理和定理推导出来。
有的同学马上想知道这三个事实即三个公理还有推导到底用在哪里？
公理系统是什么？我们前面提过。 什么是公理？那就是不证自明非常显然的事实，公理是我们证明的原点或起点，从原点或起点出发到达我们要到的地方。证明先从公理开始。证明的起点是显而易见的事实，这事实就是公理。公理是去证别人而自己是不能证明的。 同学们很多立体几何定理结论实在是太明显太显然了，比公理还显然，但注意它不是公理而是可以证明出来的性质或定理，我们中国人觉得拿过来用就可以了，但西方不然,要证明出它。这在平时的证明中可以当定理使用。注意我们证明题目时的论据都是来自于教材，教材之外的不会考到，虽然教材之外补充了许多定理、性质。 同学们有没有发现西方人没事找事做，吃饱了撑着？正因为西方人的这种刨根究底的精神造就了西方发达的科学。在中国这些是经验，没有证明的迹象。 虽然结论很显然但证明却是不容易。 定理：两条平行线一条垂直一个平面另一条也垂直这个平面 这样的定理很多。 同学们注意，以上的定理其实我们都是不知不觉无意识的在使用它们了，在中国这是显然的经验，在使用这些定理时我们自己都没有意识到。西方人不这么干，他把这些不知不觉无意识使用的经验拿出来用公理化思想证明,形成一个极其严密不是松散的系统。这造就了西方发达的科技。 如果我们不学习其实同学们在证明命题时自己自动会使用它们，连自己都没有意识到。因为太显然了，比公理还显然，太常识了，以至于我们没有注意它们,是熟视无睹啊。 我们为什么要学习这几个定理就是让无意识的东西进入我们的意识。
如果同学们还想知道公理系统更多的有关知识，请百度：公理系统的相容性、独立性和完备性。 或百度百科：几何公理体系的基本问题，地址链接：%E5%87%A0%E4%BD%95%E5%85%AC%E7%90%86%E4%BD%93%E7%B3%BB%E7%9A%84%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E9%97%AE%E9%A2%98/5557001?fr=aladdin。 如果还想了解更多，请百度百科：哥德尔不完备性定理。链接地址：%E5%93%A5%E5%BE%B7%E5%B0%94%E4%B8%8D%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86/4116640?frmtitle=%E5%93%A5%E5%BE%B7%E5%B0%94%E4%B8%8D%E5%AE%8C%E5%A4%87%E5%AE%9A%E7%90%86&frmid=11039894&fr=aladdin。
定理：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 已知在一平面内，点A是平面内一点，直线a是平面内一直线，求证过A且垂直直线a的垂线有且只有一条。
定理：过一点有且只有一条直线和一个平面垂直。
思考 过空间一点作已知直线的垂面有几个？
过一点有且只有一个平面和一条直线垂直．
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
在锥体的体积公式中，锥体的高度就是锥体的顶点到底面的距离
同学们，这也是定理不是公理
问题：如何判定直线和平面垂直?
根据定义可以进行判断，但无法验证一条直线与一个平面内所有的直线都垂直.那么，有没有可行的方法？
过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC与桌面接触)。(1)折痕AD与桌面垂直吗？(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面α垂直？
实验证明：当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面α垂直。
文字语言： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
(线线垂直线面垂直)
三、直线与平面垂直的判定定理：
如果直线l与平面α内的两条平行直线垂直，能保证l⊥α吗？根据确定一个平面的推论2、推论3，两条相交直线或两条平行线都可以确定一个平面，那为什么一条直线垂直于两条相交就可以判断此直线与平面垂直，而一直线垂直于平面内的两条平行线却不能判断此直线与平面垂直，能从向量的角度解释原因吗？
答：两条平行直线代表的是平面内的一组平行（共线）向量，它们不能代表这个平面内与之不同方向的直线；而又两条相交直线可以确定两个不共线的向量，由平面向量基本定理，它们可以把这个平面内的所有向量表示出来，从而可以表示平面内所有直线。因此，可以用两条相交直线判定线面垂直，而不能用两条平行直线判断线面垂直。
【例3】求证：如果两条直线平行，其中一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。
文字叙述首先要转化为符号语言
已知a//b，a⊥α，求证：b⊥α。
那如何用线面垂直的定义证明呢？
同学们这个结论实在是太明显太显然了，比公理还显然，但注意它不是公理而是可以证明出来的性质，这在平时的证明中可以当定理使用。注意我们证明题目时的论据都是来自于教材，教材之外的不会考到，虽然教材之外补充了许多定理、性质。 同学们有没有发现西方人没事找事做，吃饱了撑着？正因为西方人的这种刨根究底的精神造就了西方发达的科学。在中国这些是经验，没有证明的迹象。
1.判断下列命题是否正确,正确的在( )内打“√”错的打“×”
（4）若一条直线与一个平面不垂直,则这个平面内没有与这条直线垂直的直线。( )
（1）若一条直线与一个三角形的两条边垂直,则这条直线垂直于三角形所在的平面。( )
（2）若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直，则这条直线垂直于平行四边形所在的平面。（ ）
（3）若一条直线与一个梯形的两腰垂直，则这条直线垂直于梯形所在的平面。（ ）
2：如图, M是菱形ABCD在平面外一点,满足MA=MC 求证:
3：已知ABCD是矩形,PA ⊥平面AC,连接PB,PC,PD,图中直角三角形的个数有 ( )个
\ AC^面VPB,VB 面VPB
∵VA=VC,且P为AC的中点
解：取AC的中点P，连接VP、VB
如果一条直线l和一个平面α相交但不垂直，这条直线l叫做这个平面α的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足
四、直线与平面所成的角
过斜线l上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影。
注：射影即太阳光从正上方垂直照下来，直线在平面内的影子。假设平面是水平面。
3、斜线与平面所成的角：
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
PAB是斜线l与平面所成角
斜线与平面所成角的范围是（0°，90°）
4、线面所成角的范围：
规定：一条直线垂直于平面，我们说它所成的角是＿＿角；一条直线和平面平行或在平面内，我们说它所成的角是＿＿的角直线与平面所成的角θ的取值范围是什么?
1、如图，∠BAD为斜线AB与平面α所成的角，AC为平面α内任意一条不与直线AD重合的直线，，那么∠BAD与∠BAC的大小关系如何？
【最小角定理】斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角。
注：顾名思义，这被称为三余弦定理。因为公式中有三个余弦。
如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1与面ABCD所成的角（2） A1C1与面BB1D1D所成的角（3） A1C1与面BB1C1C所成的角
解析：关键是找出直线A1B在平面A1B1CD上的射影
1.作：在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，确定 垂足的位置是关键
2.证：证明所找到的角为直线与平面的角，证明的主要依据为 直线与平面所成角的定义
3.求：一般是借助三角形的知识求解
4.结论：将求出的角转化为线面角
1．直线与平面垂直的定义
2．直线与平面垂直的判定
注意：m是平面α内的任意一条直线
作业：1.课本P152 1-4
4.如图，已知SA⊥Rt⊿ABC所在平面，BC⊥AC，∠ABC=30°，AC=1，SB= ，求SC与面SAB所成角的正弦值。
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