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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第九章 统计9.2 用样本估计总体图文课件ppt
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第九章 统计9.2 用样本估计总体图文课件ppt，共30页。PPT课件主要包含了问题引入，此题什么意思，同理可得，实际应用，典型例题，课堂小结等内容，欢迎下载使用。
样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息。平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大。平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能忽视的．因此，只有平均数还难以概括样本数据的实际状态．特别的，当样本数据质量比较差时，使用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置，可能与实际情况产生较大的误差，难以反映样本数据的实际状况，因此，我们需要一个统计数字刻画样本数据的离散程度.
举例说明：平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能忽视的
一、1、在甲乙两地人口都算300万人，人们的年平均收入都是3万元。 甲地人民比如绝大多数老百姓年收入只有2000元，而少部分人年收入达1000万。 在乙地绝大部分人年收入在2.5万，少数人年收入只有2000元，少数人年收入超过10万但年收入最多也不超过15万。 问你喜欢居住在哪地？
答：甲地是两级分化严重，贫富差距巨大，这个地方治安状况非常乱。 乙地人民可以安居乐业。
平均数会掩盖一些极端情况，但在现实中极端情况是很重要的，重要到一个国家的社稷安危，一个政党的存亡。光看平均数看不出什么名堂
有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：７ ８ ７ ９ ５ ４ ９ １０ ７ ４
乙：９ ５ ７ ８ ７ ６ ８ ６ ７ ７
那么两个人的水平就没有什么差异吗?
如果你是教练，你应当如何对这次射击情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？
思考：甲、乙两人射击成绩的平均数、中位数、众数都是7.从这个角度看，两名运动员之间没有差别.观察两人成绩的频率分布条形图，你能说明其水平差异在那里吗？
甲成绩比较分散,乙成绩相对集中.即甲的成绩波动幅度比较大，而乙的成绩比较稳定.
思考：如何度量成绩的这种差异呢？
甲命中环数的极差=10-4=6，
乙命中环数的极差=9-5=4.
甲的成绩波动范围比乙的大，极差在一定程度上刻画了样本数据的离散程度.
思考：为什么说“一定程度”呢？
因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少.
如果射击成绩稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远；否则，会比较远.因此，可以用这个量度量成绩的波动幅度.
它们都可以刻画离散程度.
为什么用平方不用绝对值？
因为绝对值复杂，计算时要去和绝对值，但用平方却不用去平方，而是可以直接计算。
方差的单位是原始数据的单位的平方，与原始数据不一致.标准差的单位与原始数据一致.在解决实际问题中，一般多采用标准差.
注：总体中的变量值用大写字母，样本中的变量值用小写字母。
标准差、方差名字、符号会混淆吗？
为什么称为标准差？因为方差单位是原始数据的单位平方，开方后单位与原始数据一致，所以才配得上“标准”两字。所以有平方就是方差，开方就是标准差。不用死记硬背。
标准差（方差）刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差（方差）越大，数据的离散程度越大；标准差（方差）越小，数据的离散程度越小 .所以，在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的.
实际问题中，我们通常用样本标准差估计总体标准差.在随机抽样中，样本标准差依赖于样本的选取，具有随机性.
请同学们计算两名运动员成绩的标准差.
说明:标准差是样本数据到平均数的一种平均距离.它用来描述样本数据的分散程度.在实际应用中，标准差常被理解为稳定性.
例6 在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？
按比例分配的分层随机抽样，只要知道每一层的平均数和方差，就可以算出总体的平均数和总体方差。
根据方差的定义，总样本方差为
我们在《9.1.2分层随机抽样》中用样本平均数估计总体平均数时曾推导过这样的结论：
这题是《9.1.2分层随机抽样》练习1，第184页。
所以总样本的方差为51.4862，并据此估计高一年级学生身高的总体方差为51.4862.
样本标准差刻画了数据离平均数波动的幅度大小，平均数和标准差一起能反映数据值的信息.比如下题所示。
9.0 13.6 14.9 5.9 4.0 7.1 6.4 5.4 19.4 2.02.2 8.6 13.8 5.4 10.2 4.9 6.8 14.0 2.0 10.52.1 5.7 5.1 16.8 6.0 11.1 1.3 11.2 7.7 4.92.3 10.0 16.7 12.0 12.4 7.8 5.2 13.6 2.4 22.43.6 7.1 8.8 25.6 3.2 18.3 5.1 2.0 3.0 12.022.2 10.8 5.5 2.0 24.3 9.9 3.6 5.6 4.4 7.95.1 24.5 6.4 7.5 4.7 20.5 5.5 15.7 2.6 5.75.5 6.0 16.0 2.4 9.5 3.7 17.0 3.8 4.1 2.35.3 7.8 8.1 4.3 13.3 6.8 1.3 7.0 4.9 1.87.1 28.0 10.2 13.8 17.9 10.1 5.5 4.6 3.2 21.6
计算出样本平均数 = ,样本标准差s≈ .
例4 以往招生统计显示，某所大学录取的新生高考总分的中位数基本稳定在550分，若某同学今年高考得了520分，他想报考这所大学还需收集哪些信息？
要点： （1）查往年录取的新生的平均分数.若平均数小于中位数很多，说明最低录取线较低，可以报考； （2）查往年录取的新生高考总分的标准差.若标准差较大，说明新生的录取分数较分散，最低录取线可能较低，可以考虑报考.
以上为习题9.1综合运用，第188页。
参见教材习题9.2第11题
同学们，这些结论需要死记硬背吗？
答：只要把2层的随机抽样情况弄懂了、搞熟练了，自然就明白了3层的随机抽样的情况。人天生就具有迁移能力。
以上是习题9.2复习巩固和拓广探索，分别为第215页和第216页。
(1)样本标准差反映了各样本数据聚集于样本平均数周围的程度,标准差越小,表明各个样本数据在样本平均数周围越集中;反之,标准差越大,表明各样本数据在样本平均数的周围越分散. (2)若样本数据都相等,则s=0. (3)当样本的平均数相等或相差无几时,就要用样本数据的离散程度来估计总体的数字特征,而样本数据的离散程度,就由标准差来衡量. (4)数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述.极差反映了一组数据变化的最大幅度,它对一组数据中的极端值非常敏感;方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小.为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度,通常用标准差——样本方差的算术平方根来描述.
(5)标准差的大小不会越过极差. (6)方差、标准差、极差的取值范围为[0,+∞).当标准差、方差为0时,样本各数据全相等,表明数据没有波动幅度,数据没有离散性. (7)因为方差与原始数据的单位不同,且平方后可能夸大了偏差的程度,所以虽然方差和标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的,但在解决实际问题时,一般采用标准差. (8)在实际问题中,总体平均数和总体标准差都是未知的.就像用样本平均数估计总体平均数一样,通常我们也用样本标准差去估计总体标准差.在随机抽样中,样本标准差依赖于样本的选取,具有随机性.
样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息。平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大。平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能忽视的．因此，只有平均数还难以概括样本数据的实际状态．特别的，当样本数据质量比较差时，使用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置，可能与实际情况产生较大的误差，难以反映样本数据的实际状况，因此，我们需要一个统计数字刻画样本数据的离散程度.
举例说明：平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能忽视的
一、1、在甲乙两地人口都算300万人，人们的年平均收入都是3万元。 甲地人民比如绝大多数老百姓年收入只有2000元，而少部分人年收入达1000万。 在乙地绝大部分人年收入在2.5万，少数人年收入只有2000元，少数人年收入超过10万但年收入最多也不超过15万。 问你喜欢居住在哪地？
答：甲地是两级分化严重，贫富差距巨大，这个地方治安状况非常乱。 乙地人民可以安居乐业。
平均数会掩盖一些极端情况，但在现实中极端情况是很重要的，重要到一个国家的社稷安危，一个政党的存亡。光看平均数看不出什么名堂
有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：７ ８ ７ ９ ５ ４ ９ １０ ７ ４
乙：９ ５ ７ ８ ７ ６ ８ ６ ７ ７
那么两个人的水平就没有什么差异吗?
如果你是教练，你应当如何对这次射击情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？
思考：甲、乙两人射击成绩的平均数、中位数、众数都是7.从这个角度看，两名运动员之间没有差别.观察两人成绩的频率分布条形图，你能说明其水平差异在那里吗？
甲成绩比较分散,乙成绩相对集中.即甲的成绩波动幅度比较大，而乙的成绩比较稳定.
思考：如何度量成绩的这种差异呢？
甲命中环数的极差=10-4=6，
乙命中环数的极差=9-5=4.
甲的成绩波动范围比乙的大，极差在一定程度上刻画了样本数据的离散程度.
思考：为什么说“一定程度”呢？
因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少.
如果射击成绩稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远；否则，会比较远.因此，可以用这个量度量成绩的波动幅度.
它们都可以刻画离散程度.
为什么用平方不用绝对值？
因为绝对值复杂，计算时要去和绝对值，但用平方却不用去平方，而是可以直接计算。
方差的单位是原始数据的单位的平方，与原始数据不一致.标准差的单位与原始数据一致.在解决实际问题中，一般多采用标准差.
注：总体中的变量值用大写字母，样本中的变量值用小写字母。
标准差、方差名字、符号会混淆吗？
为什么称为标准差？因为方差单位是原始数据的单位平方，开方后单位与原始数据一致，所以才配得上“标准”两字。所以有平方就是方差，开方就是标准差。不用死记硬背。
标准差（方差）刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差（方差）越大，数据的离散程度越大；标准差（方差）越小，数据的离散程度越小 .所以，在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的.
实际问题中，我们通常用样本标准差估计总体标准差.在随机抽样中，样本标准差依赖于样本的选取，具有随机性.
请同学们计算两名运动员成绩的标准差.
说明:标准差是样本数据到平均数的一种平均距离.它用来描述样本数据的分散程度.在实际应用中，标准差常被理解为稳定性.
例6 在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？
按比例分配的分层随机抽样，只要知道每一层的平均数和方差，就可以算出总体的平均数和总体方差。
根据方差的定义，总样本方差为
我们在《9.1.2分层随机抽样》中用样本平均数估计总体平均数时曾推导过这样的结论：
这题是《9.1.2分层随机抽样》练习1，第184页。
所以总样本的方差为51.4862，并据此估计高一年级学生身高的总体方差为51.4862.
样本标准差刻画了数据离平均数波动的幅度大小，平均数和标准差一起能反映数据值的信息.比如下题所示。
9.0 13.6 14.9 5.9 4.0 7.1 6.4 5.4 19.4 2.02.2 8.6 13.8 5.4 10.2 4.9 6.8 14.0 2.0 10.52.1 5.7 5.1 16.8 6.0 11.1 1.3 11.2 7.7 4.92.3 10.0 16.7 12.0 12.4 7.8 5.2 13.6 2.4 22.43.6 7.1 8.8 25.6 3.2 18.3 5.1 2.0 3.0 12.022.2 10.8 5.5 2.0 24.3 9.9 3.6 5.6 4.4 7.95.1 24.5 6.4 7.5 4.7 20.5 5.5 15.7 2.6 5.75.5 6.0 16.0 2.4 9.5 3.7 17.0 3.8 4.1 2.35.3 7.8 8.1 4.3 13.3 6.8 1.3 7.0 4.9 1.87.1 28.0 10.2 13.8 17.9 10.1 5.5 4.6 3.2 21.6
计算出样本平均数 = ,样本标准差s≈ .
例4 以往招生统计显示，某所大学录取的新生高考总分的中位数基本稳定在550分，若某同学今年高考得了520分，他想报考这所大学还需收集哪些信息？
要点： （1）查往年录取的新生的平均分数.若平均数小于中位数很多，说明最低录取线较低，可以报考； （2）查往年录取的新生高考总分的标准差.若标准差较大，说明新生的录取分数较分散，最低录取线可能较低，可以考虑报考.
以上为习题9.1综合运用，第188页。
参见教材习题9.2第11题
同学们，这些结论需要死记硬背吗？
答：只要把2层的随机抽样情况弄懂了、搞熟练了，自然就明白了3层的随机抽样的情况。人天生就具有迁移能力。
以上是习题9.2复习巩固和拓广探索，分别为第215页和第216页。
(1)样本标准差反映了各样本数据聚集于样本平均数周围的程度,标准差越小,表明各个样本数据在样本平均数周围越集中;反之,标准差越大,表明各样本数据在样本平均数的周围越分散. (2)若样本数据都相等,则s=0. (3)当样本的平均数相等或相差无几时,就要用样本数据的离散程度来估计总体的数字特征,而样本数据的离散程度,就由标准差来衡量. (4)数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述.极差反映了一组数据变化的最大幅度,它对一组数据中的极端值非常敏感;方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小.为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度,通常用标准差——样本方差的算术平方根来描述.
(5)标准差的大小不会越过极差. (6)方差、标准差、极差的取值范围为[0,+∞).当标准差、方差为0时,样本各数据全相等,表明数据没有波动幅度,数据没有离散性. (7)因为方差与原始数据的单位不同,且平方后可能夸大了偏差的程度,所以虽然方差和标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的,但在解决实际问题时,一般采用标准差. (8)在实际问题中,总体平均数和总体标准差都是未知的.就像用样本平均数估计总体平均数一样,通常我们也用样本标准差去估计总体标准差.在随机抽样中,样本标准差依赖于样本的选取,具有随机性.
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