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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.1 随机事件与概率图片ppt课件
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.1 随机事件与概率图片ppt课件，共32页。PPT课件主要包含了AM⊆N等内容，欢迎下载使用。
荷兰数学家弗赖登塔尔说：“与其说是学习数学，还不如说是学习‘数学化’；与其说是学习公理系统，还不如说是学习‘公理化’；与其说是学习形式体系，还不如说是学习‘形式化’。”
数学教育家米山国藏指出：“学生进入社会后，几乎没有机会应用它们在初中或高中所学到的数学知识，因而这种作为知识的数学，通常在学生出校门后不到一两年就忘掉了，然而不管从事什么业务工作，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在他们的生活和工作中发挥着重要作用。”
所以学习数学，数学忘记了，但数学化不会忘记，学习公理，公理忘记了，但公理化不会忘记，学习形式体系，形式体系忘记了，但形式化不会忘记。也就是数学化、公理化、形式化一辈子都对你产生影响。
《2017版高中数学课程标准》修订组组长史宁中教授认为：
数学是基础教育阶段最为重要的学科之一，其终极培养目标可以描述为：会用数学的眼光观察现实世界；会用数学的思维思考现实世界；会用数学的语言表达现实世界。
如何把随机试验数学化、符号化？
为何要把随机试验数学化、符号化？
一、使概率这门学科更加的严格，只有学科严格化，这门学科才是科学的、精密的，才能用来指导实践的。
二、只有数学化、符号化后我们就可以科学的研究这门学科，发展这门学科，完善这门学科，于是可以指导我们的生活生产实践。
上一节课，我们已经把随机试验数学化到这里了，大家还记得吗？
思考2.在体育彩票摇号实验中，摇出“球的号码是奇数”是随机事件吗？摇出“球的号码为3的倍数”是否也是随机事件？如果用集合的形式来表示它们，那么这些集合与样本空间有什么关系？
显然，“球的号码为奇数”和“球的号码为3的倍数”都是随机事件. 我们用A表示随机事件“球的号码为奇数”，则A发生，当且仅当摇出的号码为1,3,5,7,9之一，即事件A发生等价于摇出的号码属于集合{1,3,5,7,9}. 因此可以用样本空间Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}的子集{1,3,5,7,9}表示随机事件A. 类似地，可以用样本空间的子集{0,3,6,9}表示随机事件“球的号码为3的倍数”
同学们，有没有感受到数学的不可思议？可以用集合与集合的关系把随机试验数学化。
一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件（randm event),简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件（elementary event). 随机事件一般用大写字母A,B,C,···表示，在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.
Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件.
而空集Φ不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们Φ称为不可能事件.
必然事件与不可能事件不具有随机性.为了方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形。这样，每个事件都是样本空间Ω的一个子集.
同学们，我们可以用集合论的语言来数学化随机试验，你想得到吗？
下面继续数学化随机试验，同学们会发现我们可以用集合论来数学化随机试验。
数学化随机试验的方法就是类比。
在掷骰子实验中,可以定义许多事件,
从前面的学习中可以看到,我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件。这些事件有的简单,有的复杂,我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率,所以需要研究事件之间的关系和运算.
例如：Ci=“点数为i”,i=1,2,3,4,5,6;D1=“点数不大于3”；D2=“点数大于3”；E1=“点数为1或2”；E2=“点数为2或3”；F=“点数为偶数”；G=“点数为奇数”；
你还能写出这个试验中其他一些事件吗？请用集合的形式表示这些事件
借助集合与集合的关系和运算,你能发现这些事件之间的联系吗？
事实上,利用样本空间的子集表示事件,使我们可以利用集合的知识研究随机事件,从而为研究概率的性质和计算等提供有效而简便的方法.
1.用集合的形式表示事件C1=“点数为1”和事件G=“点数为奇数”,它们分别是C1={1}和G={1,3,5}. 显然,如果事件C1发生,那么事件G一定发生,事件之间的这种关系用集合的形式表示,就是{1}⊆{1,3,5},即C1⊆G. 这时我们说事件G包含事件C1.
2.用集合的形式表示事件D1=“点数不大于3”、事件E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”,它们分别是D1={1,2,3},E1={1,2}和E2={2,3}. 可以发现,事件E1和事件E2至少有一个发生,相当于事件D1发生. 事件之间的这种关系用集合的形式表示,就是(1,2)∪{2,3}={1,2,3},即E1∪E2=D1,这时我们称事件D1为事件E1和事件E2的并事件.
一般地,事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,或者在事件B中,我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件）,记作AUB(或A+B).
可以用图中的绿色区域和黄色区域表示这个并事件.
3.事件C2=“点数为2”可以用集合的形式表示为C2={2}. 可以发现,事件E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”同时发生,相当于事件C2发生.事件之间的这种关系用集合的形式表示,就是{1,2}∩{2,3}={2},即E1∩E2=C2.我们称事件C2为事件E1和E2的交事件.
一般地,事件A与事件B同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中,我们称这样的一个事件为事AB件A与事件B的交事件(或积事件）,记作A∩B(或AB).
可以用图中的蓝色区域表示这个交事件.
4.用集合的形式表示事件C3=“点数为3”和事件C4=“点数为4”. 它们分别是C3={3},C4={4}. 显然,事件C3与事件C4不可能同时发生,用集合的形式表示这种关系,就是{3}∩{4}=Φ, 即C3∩ C4=Φ,这时我们称事件C3与事件C4互斥.
可以用图表示这两个事件互斥.
其含义是,事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生．
5.用集合的形式表示事件F=“点数为偶数”、事件G= “点数为奇数”,它们分别是F={2,4,6},G={1,3,5}. 在任何一次试验中,事件F与事件G两者只能发生其中之一,而且也必然发生其中之一.事件之间的这种关系,用集合的形式可以表示为 {2,4,6}∪{1,3,5}={1,2,3,4,5,6},即F∪G=Ω,且{2,4,6}∩(1,3,5}=Φ,即F∩G= Φ.此时我们称事件F与事件G互为对立事件.事件D1与D2也有这种关系.
一般地,如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,即 A∪B=Ω,且A∩B=Φ,那么称事件A与事件B互为对立.
其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生．
注：对立事件是特殊的互斥事件。
综上所述,事件的关系或运算的含义,以及相应的符号表示如下
类似地,我们可以定义多个事件的和事件以及积事件. 例如,对于三个事件A,B,C,AUBUC(或A+B+C)发生当且仅当A,B,C中至少一个发生,A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A,B,C同时发生,等等.
例5 如图,由甲、乙两个元件组成一个并联电路,每个元件可能正常或失效.设事件A=“甲元件正常”,B=“乙元件正常”. (1)写出表示两个元件工作状态的样本空间； (2)用集合的形式表示事件A,B以及它们的对立事件； (3)用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B,并说明它们的含义及关系.
分析：注意到试验由甲、乙两个元件的状态组成,所以可以用数组(x1,x2)表元样本点.这样,确定事件A,B所包含的样本点时,不仅要考虑甲元件的状态,还要考用乙元件的状态.
同学们，这就是把一个具体的随机试验数学化后的样子。有点简单问题复杂化，但注意学到以后就知道随机试验数学化的好处了。
例6一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”,R2=“第二次摸到红球”,R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”,M=“两个球颜色相同”,N=“两个球颜色不同” (1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件； (2)事件R与R1,R与G,M与N之间各有什么关系？ (3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？
1.某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是( ). (A)至多一次中靶 (B)两次都中靶 (C)只有一次中靶 (D)两次都没有中靶
2.抛挪一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ci=“点数为i”，其中i=1,2,3,4,5,6;D1=“点数不大于2”，D2=“点数大于2”，D3=“点数大于4”；E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”。 判断下列结论是否正确. (1)C1与C2互斥； (2)C2,C3为对立事件; (3)C3⊆D2; (4)D3 ⊆D2; (5)D1∪D2=Ω,D1D2=Φ; (6)D3=C5∪C6; (7)E=C1∪C3∪C5; (8)E,F为对立事件； (9)D2∪D3=D2; (10)D2∩D3=D3.
1.同时抛掷两枚硬币,向上面都是正面为事件M,
向上面至少有一枚是正面为事件N,则有( )
B. M⊇N C.M=N D.M
3.抛掷一枚均匀的正方体骰子,事件P＝{向上的点数是1},事件Q＝{向上的点数是3或4},M＝{向上的点数是1或3},则P∪Q＝ ,M∩Q＝_______________________.
4.在30件产品中有28件一级品,2件二级品,从中任取3件,记“3件都是一级品”为事件A,则A的对立事件是________．
同学们，在解答前面的例题时都有具体的随机试验，这题没有。我们要脱离具体模型进行抽象思维，那怎办？
答：利用集合论的知识，用文氏图直观的来理解。
1.事件的各种关系与运算,可以类比集合的关系与运算,互斥事件与对立事件的概念的外延具有包含关系,即{对立事件}⊆{互斥事件}.
2.在一次试验中,两个互斥事件不能同时发生,它包括一个事件发生而另一个事件不发生,或者两个事件都不发生,两个对立事件有且仅有一个发生.
３.事件(A+B）或(A∪B）,表示事件A与事件B至少有一个发生,事件(AB）或A∩B,表示事件A与事件B同时发生.
(1)包含关系、相等关系的判定①事件的包含关系与集合的包含关系相似；②两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生．(2)判断事件是否互斥的两个步骤第一步，确定每个事件包含的结果；第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥的．(3)判断事件是否对立的两个步骤第一步，判断是互斥事件；第二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只有互斥，但不对立．
此事件与集合之间的对应关系隐藏着类比思想。
荷兰数学家弗赖登塔尔说：“与其说是学习数学，还不如说是学习‘数学化’；与其说是学习公理系统，还不如说是学习‘公理化’；与其说是学习形式体系，还不如说是学习‘形式化’。”
数学教育家米山国藏指出：“学生进入社会后，几乎没有机会应用它们在初中或高中所学到的数学知识，因而这种作为知识的数学，通常在学生出校门后不到一两年就忘掉了，然而不管从事什么业务工作，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在他们的生活和工作中发挥着重要作用。”
所以学习数学，数学忘记了，但数学化不会忘记，学习公理，公理忘记了，但公理化不会忘记，学习形式体系，形式体系忘记了，但形式化不会忘记。也就是数学化、公理化、形式化一辈子都对你产生影响。
《2017版高中数学课程标准》修订组组长史宁中教授认为：
数学是基础教育阶段最为重要的学科之一，其终极培养目标可以描述为：会用数学的眼光观察现实世界；会用数学的思维思考现实世界；会用数学的语言表达现实世界。
如何把随机试验数学化、符号化？
为何要把随机试验数学化、符号化？
一、使概率这门学科更加的严格，只有学科严格化，这门学科才是科学的、精密的，才能用来指导实践的。
二、只有数学化、符号化后我们就可以科学的研究这门学科，发展这门学科，完善这门学科，于是可以指导我们的生活生产实践。
上一节课，我们已经把随机试验数学化到这里了，大家还记得吗？
思考2.在体育彩票摇号实验中，摇出“球的号码是奇数”是随机事件吗？摇出“球的号码为3的倍数”是否也是随机事件？如果用集合的形式来表示它们，那么这些集合与样本空间有什么关系？
显然，“球的号码为奇数”和“球的号码为3的倍数”都是随机事件. 我们用A表示随机事件“球的号码为奇数”，则A发生，当且仅当摇出的号码为1,3,5,7,9之一，即事件A发生等价于摇出的号码属于集合{1,3,5,7,9}. 因此可以用样本空间Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}的子集{1,3,5,7,9}表示随机事件A. 类似地，可以用样本空间的子集{0,3,6,9}表示随机事件“球的号码为3的倍数”
同学们，有没有感受到数学的不可思议？可以用集合与集合的关系把随机试验数学化。
一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件（randm event),简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件（elementary event). 随机事件一般用大写字母A,B,C,···表示，在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.
Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件.
而空集Φ不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们Φ称为不可能事件.
必然事件与不可能事件不具有随机性.为了方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形。这样，每个事件都是样本空间Ω的一个子集.
同学们，我们可以用集合论的语言来数学化随机试验，你想得到吗？
下面继续数学化随机试验，同学们会发现我们可以用集合论来数学化随机试验。
数学化随机试验的方法就是类比。
在掷骰子实验中,可以定义许多事件,
从前面的学习中可以看到,我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件。这些事件有的简单,有的复杂,我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率,所以需要研究事件之间的关系和运算.
例如：Ci=“点数为i”,i=1,2,3,4,5,6;D1=“点数不大于3”；D2=“点数大于3”；E1=“点数为1或2”；E2=“点数为2或3”；F=“点数为偶数”；G=“点数为奇数”；
你还能写出这个试验中其他一些事件吗？请用集合的形式表示这些事件
借助集合与集合的关系和运算,你能发现这些事件之间的联系吗？
事实上,利用样本空间的子集表示事件,使我们可以利用集合的知识研究随机事件,从而为研究概率的性质和计算等提供有效而简便的方法.
1.用集合的形式表示事件C1=“点数为1”和事件G=“点数为奇数”,它们分别是C1={1}和G={1,3,5}. 显然,如果事件C1发生,那么事件G一定发生,事件之间的这种关系用集合的形式表示,就是{1}⊆{1,3,5},即C1⊆G. 这时我们说事件G包含事件C1.
2.用集合的形式表示事件D1=“点数不大于3”、事件E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”,它们分别是D1={1,2,3},E1={1,2}和E2={2,3}. 可以发现,事件E1和事件E2至少有一个发生,相当于事件D1发生. 事件之间的这种关系用集合的形式表示,就是(1,2)∪{2,3}={1,2,3},即E1∪E2=D1,这时我们称事件D1为事件E1和事件E2的并事件.
一般地,事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,或者在事件B中,我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件）,记作AUB(或A+B).
可以用图中的绿色区域和黄色区域表示这个并事件.
3.事件C2=“点数为2”可以用集合的形式表示为C2={2}. 可以发现,事件E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”同时发生,相当于事件C2发生.事件之间的这种关系用集合的形式表示,就是{1,2}∩{2,3}={2},即E1∩E2=C2.我们称事件C2为事件E1和E2的交事件.
一般地,事件A与事件B同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中,我们称这样的一个事件为事AB件A与事件B的交事件(或积事件）,记作A∩B(或AB).
可以用图中的蓝色区域表示这个交事件.
4.用集合的形式表示事件C3=“点数为3”和事件C4=“点数为4”. 它们分别是C3={3},C4={4}. 显然,事件C3与事件C4不可能同时发生,用集合的形式表示这种关系,就是{3}∩{4}=Φ, 即C3∩ C4=Φ,这时我们称事件C3与事件C4互斥.
可以用图表示这两个事件互斥.
其含义是,事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生．
5.用集合的形式表示事件F=“点数为偶数”、事件G= “点数为奇数”,它们分别是F={2,4,6},G={1,3,5}. 在任何一次试验中,事件F与事件G两者只能发生其中之一,而且也必然发生其中之一.事件之间的这种关系,用集合的形式可以表示为 {2,4,6}∪{1,3,5}={1,2,3,4,5,6},即F∪G=Ω,且{2,4,6}∩(1,3,5}=Φ,即F∩G= Φ.此时我们称事件F与事件G互为对立事件.事件D1与D2也有这种关系.
一般地,如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,即 A∪B=Ω,且A∩B=Φ,那么称事件A与事件B互为对立.
其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生．
注：对立事件是特殊的互斥事件。
综上所述,事件的关系或运算的含义,以及相应的符号表示如下
类似地,我们可以定义多个事件的和事件以及积事件. 例如,对于三个事件A,B,C,AUBUC(或A+B+C)发生当且仅当A,B,C中至少一个发生,A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A,B,C同时发生,等等.
例5 如图,由甲、乙两个元件组成一个并联电路,每个元件可能正常或失效.设事件A=“甲元件正常”,B=“乙元件正常”. (1)写出表示两个元件工作状态的样本空间； (2)用集合的形式表示事件A,B以及它们的对立事件； (3)用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B,并说明它们的含义及关系.
分析：注意到试验由甲、乙两个元件的状态组成,所以可以用数组(x1,x2)表元样本点.这样,确定事件A,B所包含的样本点时,不仅要考虑甲元件的状态,还要考用乙元件的状态.
同学们，这就是把一个具体的随机试验数学化后的样子。有点简单问题复杂化，但注意学到以后就知道随机试验数学化的好处了。
例6一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”,R2=“第二次摸到红球”,R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”,M=“两个球颜色相同”,N=“两个球颜色不同” (1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件； (2)事件R与R1,R与G,M与N之间各有什么关系？ (3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？
1.某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是( ). (A)至多一次中靶 (B)两次都中靶 (C)只有一次中靶 (D)两次都没有中靶
2.抛挪一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ci=“点数为i”，其中i=1,2,3,4,5,6;D1=“点数不大于2”，D2=“点数大于2”，D3=“点数大于4”；E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”。 判断下列结论是否正确. (1)C1与C2互斥； (2)C2,C3为对立事件; (3)C3⊆D2; (4)D3 ⊆D2; (5)D1∪D2=Ω,D1D2=Φ; (6)D3=C5∪C6; (7)E=C1∪C3∪C5; (8)E,F为对立事件； (9)D2∪D3=D2; (10)D2∩D3=D3.
1.同时抛掷两枚硬币,向上面都是正面为事件M,
向上面至少有一枚是正面为事件N,则有( )
B. M⊇N C.M=N D.M
3.抛掷一枚均匀的正方体骰子,事件P＝{向上的点数是1},事件Q＝{向上的点数是3或4},M＝{向上的点数是1或3},则P∪Q＝ ,M∩Q＝_______________________.
4.在30件产品中有28件一级品,2件二级品,从中任取3件,记“3件都是一级品”为事件A,则A的对立事件是________．
同学们，在解答前面的例题时都有具体的随机试验，这题没有。我们要脱离具体模型进行抽象思维，那怎办？
答：利用集合论的知识，用文氏图直观的来理解。
1.事件的各种关系与运算,可以类比集合的关系与运算,互斥事件与对立事件的概念的外延具有包含关系,即{对立事件}⊆{互斥事件}.
2.在一次试验中,两个互斥事件不能同时发生,它包括一个事件发生而另一个事件不发生,或者两个事件都不发生,两个对立事件有且仅有一个发生.
３.事件(A+B）或(A∪B）,表示事件A与事件B至少有一个发生,事件(AB）或A∩B,表示事件A与事件B同时发生.
(1)包含关系、相等关系的判定①事件的包含关系与集合的包含关系相似；②两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生．(2)判断事件是否互斥的两个步骤第一步，确定每个事件包含的结果；第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥的．(3)判断事件是否对立的两个步骤第一步，判断是互斥事件；第二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只有互斥，但不对立．
此事件与集合之间的对应关系隐藏着类比思想。
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