全国卷2012-2021高考真题分类汇编及详解—7.向量（解析版）

     向量

一、选择题

1．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知向量a，b满足，，，则 (　　)

A． B． C． D．

【答案】D

解析：，，，．

，

因此，．

故选：D．

【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题．

2．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知，，，则 (　　)

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵，，∴,∴，解得，

即，则．

【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法，利用转化与化归思想解题．本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．学生易在处理向量的法则运算和坐标运算处出错，借助向量的模的公式得到向量的坐标，然后计算向量数量积．

3．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知非零向量，满足，且，则与的夹角为 (　　)

【答案】B

解析：，所以，

所以．

4．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为

(，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美

人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金

分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是 (　　)

【答案】B

解析：如图，，

，则，，，

所以身高，

又，所以，身高，

故，故选B．

5．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知向量，满足，，则 (　　)

A．4 B．3 C．2 D．0

【答案】B

解析：，故选B．

6．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)在中,为边上的中线，为的中点，则 (　　)

A． B． C． D．

【答案】A

解析：在中，为边上的中线，为的中点，，故选A．

7．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为              (　　)

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图

则，，，，连结，过点作于点

在中，有

即

所以圆的方程为

可设

由可得

所以，所以

其中，

所以的最大值为，故选A．

法二：通过点作于点，由，，可求得

又由，可求得

由等和线定理可知，当点的切线（即）与平行时，取得最大值

又点到的距离与点到直线的距离相等，均为

而此时点到直线的距离为

所以，所以的最大值为，故选A．

另一种表达：如图，由“等和线”相关知识知，当点在如图所示位置时，最大，且此时若，则有，由三角形全等可得，知，所以选A．

法三：如图，建立平面直角坐标系

设

根据等面积公式可得圆的半径是，即圆的方程是

，若满足

即 ， ，所以，设 ，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即 ，解得，所以的最大值是，即的最大值是，故选A．

法四：由题意，画出右图．

设与切于点，连接．以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系

则点坐标为．∵，．∴．切于点．

∴⊥．∴是中斜边上的高．

即的半径为．∵在上．∴点的轨迹方程为．

设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：

而，，．

∵

∴，．

两式相加得：

 (其中，)

当且仅当，时，取得最大值3．

【考点】平面向量的坐标运算；平面向量基本定理

【点评】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．

（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．

8．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是 (　　)

A． B． C． D．

【答案】B

【命题意图】本题主要考查等边三角形的性质及平面向量的线性运算﹑数量积，意在考查考生

转化与化归思想和运算求解能力

【解析】解法一：建系法

解法二：均值法

∵，∴

由上图可知：；两边平方可得

∵ ，∴

∴ ，∴最小值为

解法三：配凑法

∵

∴

∴最小值为

【知识拓展】三角形与向量结合的题属于高考经典题，一般在压轴题出现，解决此类问题的通

法就是建系法，比较直接，易想，但有时计算量偏大．

【考点】 平面向量的坐标运算，函数的最值

【点评】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式我解集，方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．

9．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知向量,,则 (　　)

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意,得,所以,故选A.

10．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)已知向量，且，则 (　　)

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由可得：，所以，又

所以，所以，故选D．

11．(2015高考数学新课标1理科)设D为ABC所在平面内一点，则 (　　)

A． B．

C． D．

【答案】A

解析：由题知=，故选A．

考点：平面向量的线性运算

12．(2014高考数学课标2理科)设向量a,b满足|a+b|=，|a-b|=，则ab= (　　)

A．1 B．2 C．3 D．5

【答案】A

解析：因为

两式相加得：所以，故选A．

考点：（1）平面向量的模；（2）平面向量的数量积

难度：B

备注：常考题

二、填空题

13．(2021年高考全国甲卷理科)已知向量．若，则________．

【答案】．

解析：,

，解得,

故答案为：．

【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量垂直的充分必要条件是其数量积．

14．(2021年高考全国乙卷理科)已知向量，若，则__________．

【答案】

解析：因为，所以由可得，

，解得．

故答案为：．

【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，

，注意与平面向量平行的坐标表示区分．

15．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设为单位向量，且，则______________．

【答案】

【解析】因为为单位向量，所以

所以

解得：

所以

故答案为：

【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题．

16．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________．

【答案】

解析：由题意可得：，

由向量垂直的充分必要条件可得：，

即：，解得：．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．

17．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知，为单位向量，且，若，则___________．

【答案】．

【解析】因为，，所以，

，所以，所以．

【点评】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．

18．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)已知向量，，，若，则         ．

【答案】

解析：依题意可得，又，

所以，解得．

19．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知向量,的夹角为,,,则__________．

【答案】

【解析】法一:

所以．

法二(秒杀解法):利用如下图形,可以判断出的模长是以为边长的菱形对角线的长度,则为．

法三:坐标法

依题意,可设,,所以

所以．

【考点】平面向量的运算

【点评】平面向量中涉及到有关模长的问题,用到的通法是将模长进行平方,利用向量数量积的知识进行解答,很快就能得出答案;另外,向量是一个工具型的知识,具备代数和几何特征,在做这类问题时可以使用数形结合的思想,会加快解题速度．

20．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)设向量，，且，则         ．

【答案】

【解析】由已知得：

∴，解得．

21．(2015高考数学新课标2理科)设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．

【答案】

解析：因为向量与平行，所以，则所以．

考点：向量共线．

22．(2014高考数学课标1理科)已知A,B,C是圆O上的三点,若,则与的夹角为______．

【答案】

解析:∵,∴O为线段BC中点,故BC为的直径,

∴,∴与的夹角为．

考点:(1)平面向量在几何中的应用(2)向量的夹角(3)化归与转化思想

难度:B

备注:高频考点

23．(2013高考数学新课标2理科)已知正方形的边长为2，为的中点，则＝________．

【答案】2

解析：由题意知：

考点：（1）5．1．2向量的线性运算；（2）5．3．1平面向量的数量积运算

难度： A

备注：高频考点

24．(2013高考数学新课标1理科)已知两个单位向量的夹角为60°，，若，则t =_____．

【答案】　2

解析：=====0，解得=．

考点: (1）5．3．1平面向量的数量积运算．

难度：Ａ

备注：高频考点