全国卷2012-2021高考真题分类汇编及详解—3.导数选填题（解析版）

 3.导数小题 （解析）

一、选择题

1．(2021年高考全国乙卷理科)设，若为函数的极大值点，则 (　　)

AB．C．D．

【答案】D

解析：若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故．

有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的．依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的．

当时，由，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故．

当时，由时，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故．

综上所述，成立．

故选：D

【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答．

2．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)函数的图像在点处的切线方程为 (　　)

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，，，，

因此，所求切线的方程为，即．

故选：B．

【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题

3．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为 (　　)

A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+

【答案】D

解析：设直线在曲线上的切点为，则，

函数的导数为，则直线的斜率，

设直线的方程为，即，

由于直线与圆相切，则，

两边平方并整理得，解得，（舍），

则直线的方程为，即．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题．

4．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知曲线在点处的切线方程为，则 (　　)

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由，根据导数的几何意义易得，解得，从而得到切点坐标为，将其代入切线方程，得，解得，故选D．

【点评】准确求导是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．另外对于导数的几何意义要注意给定的点是否为切点，若为切点，牢记三条：①切点处的导数即为切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上。

5．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 (　　)

A． B． C． D．

【答案】D

解析：函数，若为奇函数，可得，所以函数，可得，曲线在点处的切线的斜率为：1，则曲线在点处的切线方程为：，故选D．

6．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)若是函数的极值点，则的极小值为 (　　)

A． B． C． D．1

【答案】A

【命题意图】本题主要考查导数的极值概念及其极大值与极小值判定条件，意在考查考生的运

算求解能力．

【解析】解法一：常规解法

∵ ∴ 导函数

∵   ∴

∴ 导函数

令，∴ ，

当变化时，，随变化情况如下表：

从上表可知：极小值为．

【知识拓展】导数是高考重点考查的对象，极值点的问题是非常重要考点之一，大题﹑小题都

会考查，属于压轴题，但难度在逐年降低．

【考点】 函数的极值；函数的单调性

【名师点睛】(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同。

(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值。

7．(2015高考数学新课标2理科)设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是 (　　)

A． B．

C． D．

【答案】A

解析：记函数，则，因为当时，，故当时，，所以在单调递减；又因为函数是奇函数，故函数是偶函数，所以在单调递减，且．当时，，则；当时，，则，综上所述，使得成立的的取值范围是，故选A．

考点：导数的应用、函数的图象与性质．

8．(2015高考数学新课标1理科)设函数,其中，若存在唯一的整数，使得0，则的取值范围是 (　　)

A．B．C．D．

【答案】D

解析：设=，，由题知存在唯一的整数，使得在直线的下方．

因为，所以当时，＜0，当时，＞0，所以当时，=，

当时，=-1，，直线恒过（1,0）斜率且，故，且，解得≤＜1，故选D．

考点：本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题

9．(2014高考数学课标2理科)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

解析：因为，所以切线的斜率为，解得，选D

考点：（1）导数的基本运算；（2）导数的几何意义。

难度：B

备注：常考题

10．(2014高考数学课标1理科)已知函数=,若存在唯一的零点,且>0,则的取值范围为 (　　)

A．(2,+∞) B．(-∞,-2) C．(1,+∞) D．(-∞,-1)

【答案】B

解析1:由已知,,令,得或,

当时,;

且,有小于零的零点,不符合题意．

当时,

要使有唯一的零点且>0,只需,即,．选B

解析2:由已知,=有唯一的正零点,等价于

有唯一的正零根,令,则问题又等价于有唯一的正零根,即与有唯一的交点且交点在在y轴右侧记,,由,,,

,要使有唯一的正零根,只需,选B

考点:(1)利用导数的定义求函数的导数(2)导数与函数零点、方程的根

(3)分类讨论思想

难度:C

备注:一题多解

11．(2013高考数学新课标2理科)已知函数，下列结论中错误的是 (　　)

A．

B．函数的图象是中心对称图形

C．若是的极小值点，则在区间上单调递减

D．若是的极值点，则

【答案】C

解析：由三次函数的图象可知，若是的极小值点，则极大值点在的左侧，所以函数在区间单调递减是错误的，选C．

考点：（1）3．2．3导数与函数极值；（2）3．2．2导数与函数单调性

难度： B

备注：高频考点

12．(2013高考数学新课标1理科)已知函数=，若||≥，则的取值范围是 (　　)

A． B． C．[-2,1] D．[-2,0]

【答案】Ｄ

解析：∵||=，∴由||≥得，且，

由可得，则≥-2，排除Ａ，Ｂ，

当=1时，易证对恒成立，故=1不适合，排除C，故选D．

考点:（1）3．3．1利用导数研究“恒能恰”成立及参数求解问题；（2）7．2．2一元二次不等式恒能恰成立问题．

难度：Ｃ

备注：高频考点、易错题

二、填空题

13．(2021年高考全国甲卷理科)曲线在点处的切线方程为__________．

【答案】

解析：由题，当时，，故点在曲线上．

求导得：，所以．

故切线方程为．

故答案为：．

14．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)曲线在点处的切线方程为              ．

【答案】

解析：，

所以曲线在点处的切线方程为．

15．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)曲线在点处的切线的斜率为，则         ．

【答案】

解析：记，则

依题意有，即，解得．

16．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)曲线在点处的切线方程为__________．

【答案】

解析：因为，所以，切线方程为，即．

17．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)已知函数,则的最小值是         ．

【答案】

解法一：先求的最大值，设

，

即，

故根据奇函数知，

解法二：导数法+周期函数

当；；

解法三：均值不等式法

当且仅当时，

此时，

18．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)如图,圆形纸片的圆心为,半径为,该纸片上的等边三角形的中心为为圆上的点,,,分别是以为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后,分别以为折痕折起,,,使得重合,得到三棱锥．当的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:)的最大值为__________．

【答案】

【解析】如下图,设正三角形的边长为x,则．

,  

三棱锥的体积 ．

令,则,

令, ,,

．

【考点】简单几何体的体积

【点评】对于三棱锥最值问题,肯定需要用到函数的思想进行解决,本题解决的关键是设好未知量,利用图形特征表示出三棱锥体积．当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决,当变量是高次时需要用到求导得方式进行解决．

19．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知为偶函数,当时,,,则曲线在点处的切线方程是_______________.

【答案】

【解析】当时,,则.又因为是偶函数,所以,所以,则切线斜率为,所以切线方程为,即.

20．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则         ．

【答案】

【解析】设直线与曲线的切点为 ，与曲线的切点为 则 ，所以

所以，所以，所以．

【点评】此题考查了导数的几何意义，以及公切线的基本求法，本解法主要体现了通性通法，即设切点，表示切线方程，利用导数的几何意义，切点与曲线、切线位置关系构建方程组，利用消元，解方程的办法获解．