全国卷2012-2021高考真题分类汇编及详解—13.统计（解析版）

这是一份全国卷2012-2021高考真题分类汇编及详解—13.统计（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

统计
一、选择题
1．(2021年高考全国甲卷理科)为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是 (　　)
A．该地农户家庭年收入低于4．5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10．5万元农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6．5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4．5万元至8．5万元之间
【答案】C
解析：因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率．样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值．
该地农户家庭年收入低于4．5万元的农户的比率估计值为,故A正确；
该地农户家庭年收入不低于10．5万元的农户比率估计值为,故B正确；
该地农户家庭年收入介于4．5万元至8．5万元之间的比例估计值为,故D正确；
该地农户家庭年收入的平均值的估计值为(万元)，超过6．5万元，故C错误．
综上，给出结论中不正确的是C．
故选：C．
【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值．注意各组的频率等于．
2．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为，则其与该校学生人数之比为．故选C．
另解：记看过《西游记》的学生为集合A，看过《红楼梦》的学生为集合B．则由题意可得韦恩图：

则看过《西游记》的人数为70人，则其与该校学生人数之比为．故选C．
【点评】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．根据容斥原理或韦恩图，利用转化与化归思想解题．但平时对于这类题目接触少，学生初读题目时可能感到无从下手。
3．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)若，则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．
【点评】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．
4．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)演讲比赛共有位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从个原始评分中去掉个最高分、个最低分，得到个有效评分．个有效评分与个原始评分相比，不变的数字特征是 (　　)
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差
【答案】A
【解析】设位评委评分按从小到大排列为．则①原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余，中位数仍为，∴A正确．
②原始平均数，后来平均数
平均数受极端值影响较大，∴ 与不一定相同，B不正确；
③，，
由②易知，C不正确；
④原极差，后来极差显然极差变小，D不正确．
【点评】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解．可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案．
5．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)某地区经过一一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图:

则下面结论中不正确的是 (　　)
A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【答案】A
解析：设建设前经济收入为，建设后经济收入为．
A项，种植收入37×﹣60%=14%＞0，故建设后，种植收入增加，故A项错误．
B项，建设后，其他收入为5%×2=10%，建设前，其他收入为4%，故10%÷4%=2．5＞2，故B项正确．
C项，建设后，养殖收入为30%×2=60%，建设前，养殖收入为30%，故60%÷30%=2，故C项正确．
D项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为（30%+28%）×2=58%×2a，经济收入为2，故（58%×2a）÷2a=58%＞50%，故D项正确，因为是选择不正确的一项．
故选：A．
6．(2015高考数学新课标2理科)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图。以下结论不正确的是 (　　)



















(　　)
A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
【答案】D
解析：由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关，故选D．
考点：正、负相关．
7．(2013高考数学新课标1理科)为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 (　　)
A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样
【答案】C
解析: 因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样，故选C．
考点:（1）10．1．3分层抽样．
难度：Ａ
备注：高频考点
二、填空题
8．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有个车次的正点率为，有个车次的正点率为，有个车次的正点率为，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为　 　．
【答案】.
【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为，其中高铁个数为，所以该站所有高铁平均正点率约为．
【点评】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．
三、解答题
9．(2021年高考全国乙卷理科)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备
9．8
10．3
100
102
9．9
9．8
10．0
10．1
10．2
9．7
新设备
101
10．4
10．1
10．0
10．1
10．3
10．6
10．5
10．4
10．5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
(1)求，，，；
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．
【答案】（1）；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．
解析：（1），
，
，
．
（2）依题意，，，
，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．
10．(2021年高考全国甲卷理科)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附：

0．050
0．010
0．001
k
3．841
6．635
10．828

【答案】（1）75%；60%；
（2）能．
解析：（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为,
乙机床生产的产品中的一级品的频率为．
（2）,
故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异．
11．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得，，，，．
(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；
(2)求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数(精确到0．01)；
(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．
附：相关系数r=，≈1．414．
【答案】（1）；（2）；（3）详见解析
解析：（1）样区野生动物平均数为，
地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为
（2）样本(i=1，2，…，20)的相关系数为

（3）由（2）知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性，
由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从俄各地块间这种野生动物的数量差异很大，
采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，
从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．
【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，是一道容易题．
12．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：
锻炼人次
空气质量等级
[0，200]
(200，400]
(400，600]
1(优)
2
16
25
2(良)
5
10
12
3(轻度污染)
6
7
8
4(中度污染)
7
2
0
(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

人次≤400
人次>400
空气质量好


空气质量不好


附：，
P(K2≥k)
0．050
0．010
0．001
k
3841
6．635
10．828

【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为、、、的概率分别为、、、；（2）；（3）有，理由见解析．
解析：（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为的概率为，等级为的概率为，等级为的概率为，等级为的概率为；
（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为
（3）列联表如下：

人次
人次
空气质量不好


空气质量好



，
因此，有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．
【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题．
13．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：

记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于”，根据直方图得到的估计值为．
(1)求乙离子残留百分比直方图中的值；
(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．
【答案】(1)，；(2)，.00．
【官方解析】
(1)由已知得，故，．
(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为
．
乙离子残留百分比的平均值的估计值为
．
【点评】本题考查频率分布直方图的相关概念和频率分布直方图中平均数法人计算，属于基础题．
14．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)(12分)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种生产方式，为比较两咱生产方式的效率，选取名工人，将他们随机分成两组，每组人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位：)绘制了如下茎叶图：
第一种生产方式

第二种生产方式









8
6
5
5
6
8
9











9
7
6
2
7
0
1
2
2
3
4
5
6
6
8
9
8
7
7
6
5
4
3
3
2
8
1
4
4
5











2
1
1
0
0
9
0









(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
(2)求名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：

超过
不超过
第一种生产方式


第二种生产方式


(3)根据(2)的列联表，能否有的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：









【答案】【官方解析】（1）第二种生产方式的效率更高．
理由如下：
（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．．
（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85．5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73．5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．
（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高．
（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高．
以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．
（2）由茎叶图知．
列联表如下：

超过
不超过
第一种生产方式
15
5
第二种生产方式
5
15
（3）由于
所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．
【民间解析】（1）法一：第二种生产方式效率更高，因为第二种多数数据集中在之间，第一种多数数据集中在之间，易知第一种完成任务的平均时间大于第二种，故第二种生产方式的效率更高。
法二：第一种生产方式完成任务的平均时间为


第二种生产完成任务的平均时间为



第一种生产方式完成任务的平均时间第二种生产方式完成任务的平均时间
所以第二种生产方式效率更高
（2）中位数为

超过
不超过
第一种生产方式
15
5
第二种生产方式
5
15
（3）由（2）可计算得
所以有的把握认为两种生产方式的效率有差异．
点评：本题主要考查了茎叶图和独立性检验，考察学生的计算能力和分析问题的能力，贴近生活．
15．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)(12分)淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)某频率直方图如下：

(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率；
(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产量＜50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法


新养殖法


(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0．01)

【答案】(1)；
(2)有的把握认为箱产量与养殖方法有关；
(3)。
【命题意图】概率统计,独立检验等知识的综合运用
【基本解法】
（Ⅰ）旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为0．012×5+0．014×5+0．024×5+0．034×5+0．040×5=0．62，由于两种养殖方法的箱产量相互独立，
于是P（A）=0．62×0．66=0．4092
（Ⅱ）旧养殖法的箱产量低于50kg的有100×0．62=62箱，不低于50kg的有38箱，新养殖法的箱产量不低于50kg的有100×0．66=66箱，低于50kg的有34箱，得到2×2列联表如下：

箱产量<50kg
箱产量≥50kg
合计
旧养殖法
62
38
100
新养殖法
34
66
100
合计
96
104
200
所以

，所以有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关。
（III）根据箱产量的频率分布直方图，新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为0．038×5+0．046×5+0．010×5+0．008×5=0．66>0．50，不低于55kg的频率为0．046×5+0．010×5+0．008×5=0．32<0．50，于是新养殖法箱产量的中位数介于50kg到55kg之间，设新养殖法箱产量的中位数为x，则有
（55-x）×0．068+0．046×5+0．010×5+0．008×5=0．50
解得x=52． 3529
因此，新养殖法箱产量的中位数的估计值52． 35。
【点评】利用独立性检验，能够帮助我们对日常生活中的实际问题作出合理的推断和预测．独立性检验考察两个分类变量是否有关系，并能较为准确地给出这种判断的可信度，随机变量的观测值越大，说明两个变量有关系的可能性越大．
利用频率直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：（1）最高的小长方形底边中点即是众数；（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．
【知识拓展】首先，先表示事件，再写出其发生的概率，将未知事件用已知事件表示，依据事件间的关系，求出未知事件的概率．统计的基本原理是用样本估计总体．独立性检验，先填2*2列联表，再计算 ,与参考值比较，作出结论；中位数的计算要根据中位数以左其频率和为50%．求面积和计算频率．
16．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.

(Ⅰ)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明;
(Ⅱ)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
参考数据:,,,.
参考公式:相关系数
回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为:,.
【答案】(Ⅰ)理由见解析;(Ⅱ)1.82亿吨.
【解析】(Ⅰ)由折线图中数据和附注中参考数据得,,,
,.
因为与的相关系数近似为0.99,说明与的线性相关程度相当高
从而可以用线性回归模型拟合与的关系.
(Ⅱ)由及(Ⅰ)得,
.
所以,关于的回归方程为:.
将2016年对应的代入回归方程得:.
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.
17．(2015高考数学新课标1理科)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费(单位：千元)对年销售量(单位：)和年利润(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费和年销售量(=1,2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。








46．6
56．3
6．8
289．8
1．6
1469
108．8
表中，。
(Ⅰ)根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；
(Ⅲ)已知这种产品的年利率与、的关系为．根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：
(i)年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？
(ii)年宣传费为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据,，……，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
、
【答案】（Ⅰ）适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型；（Ⅱ）（Ⅲ）46．24
分析：（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（Ⅱ）令，先求出建立关于的线性回归方程，即可关于的回归方程；（Ⅲ）（ⅰ）利用关于的回归方程先求出年销售量的预报值，再根据年利率z与x、y的关系为z=0．2y-x即可年利润z的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值，列出关于的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用．
解析：
（Ⅰ）由散点图可以判断，适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型．
（Ⅱ）令，先建立关于的线性回归方程，由于=，
∴=563-68×6．8=100．6．
∴关于的线性回归方程为，
∴关于的回归方程为．
（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当=49时，年销售量的预报值
=576．6，
．
（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值
，
∴当=，即时，取得最大值．
故宣传费用为46．24千元时，年利润的预报值最大．……12分
考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识
18．(2014高考数学课标2理科)(本小题满分12分)
某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2．9
3．3
3．6
4．4
4．8
5．2
5．9
(Ⅰ)求y关于t的线性回归方程；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
【答案】解析：（Ⅰ）

设回归方程为代入公式，经计算得：

所以，关于的回归方程为．
（Ⅱ），2007年至2013年该区域人均纯收入稳步增长，预计到2015年，高地区人均纯收入（千元），所以，预计到2015年，该地区人均纯收入约6800元左右．