2022届四川省成都市第七中学高三下学期入学考试数学（文）试题含解析

2022届四川省成都市第七中学高三下学期入学考试

数学（文）试题

一、单选题

1．集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出集合、，利用并集的定义可求得结果.

【详解】由得，解得，则，

由可得，解得，则，

因此，.

故选：A.

2．已知复数，，则（       ）

A． B． C．0 D．1

【答案】B

【分析】由复数除法法则求得复数z即可求得的值.

【详解】由，可得

又，则，则

故选：B

3．等差数列的公差为d，前n项和为，若，，则（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】利用等差数列通项公式及求和公式基本量计算得到方程组，求出公差.

【详解】由得：，又，即，解得：.

故选：A

4．已知，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用二倍角公式以及弦化切可求得所求代数式的值.

【详解】.

故选：B.

5．在成都市“高三第一次诊断性”考试后，各班级都有外出学习艺体的同学回归校园学习文化课.假设某位回归校园的同学的“一诊”数学成绩刚好是班级平均分，则对该班级的数学成绩，下列说法正确的是（       ）

A．平均分变大，方差不变 B．平均分变小，方差不变

C．平均分不变，方差变大 D．平均分不变，方差变小

【答案】D

【分析】依据平均数和方差的定义去判断即可解决.

【详解】设该班原有n位同学，数学成绩记为

原平均分，

原方差

该同学回归校园后新平均分，即平均分不变.

该同学回归校园后新方差

，即方差变小.

故选：D

6．已知向量，满足，则（       ）

A． B． C．3 D．7

【答案】A

【分析】依据向量模的运算公式及向量的数量积的运算法则去计算即可解决.

【详解】由

得，解之得

则

故选：A

7．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学．“更相减损术”便是《九章算术》中记录的一种求最大公约数的算法，按其算理流程有如下流程框图，若输入的，分别为91，39，则输出的（       ）

A．3 B．7 C．13 D．21

【答案】C

【分析】由题中程序框图可知，该程序功能是利用循环结构计算并输出值，模拟程序的运行过程，分析循环过程中各个变量值的变化情况，即可得到答案.

【详解】由程序框图可知

当，时，满足，则，

当，时，满足，则，

当，时，满足，则，

当，时，满足，则，

当，时，满足，则，

故选：.

8．已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题是真命题的个数为（       ）

命题①：若，，则             命题②：若，，则

命题③：若，，则             命题④：若，，则

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】D

【分析】由线面平行的性质定理及面面垂直、线面垂直的性质定理入手，依据线面平行、面面平行、线面垂直的判定定理去判定推理即可解决.

【详解】命题①：若，，则或与相交.判断错误；

命题②：若，，则由线面垂直的性质可得.判断正确；

命题③：若，，则与相交或或.判断错误；

命题④：若，，则与相交或平行或.判断错误.

故选：D

9．已知是奇函数，则下列等式成立的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】依据奇函数定义去判断与之间的关系，以及与之间的关系、与之间的关系，即可解决.

【详解】是奇函数，

则有，即，

故选项A判断正确；选项B判断错误；

把函数的图像向左平移1个单位长度再向下平移1个单位长度，可以得到函数的图像，

则由函数有对称中心，可知函数有对称中心.

选项C：由，可得函数的周期为2.判断错误；

选项D：由，可得函数有对称轴.判断错误.

故选：A

10．已知椭圆的左右焦点分别为，，椭圆上有两点，（点A在x轴上方），满足，若，则直线的斜率为（       ）

A． B． C．2 D．3

【答案】C

【分析】因为，所以设，根据比例关系和椭圆的定义分别求出，的长，由勾股定理可知，在中，求的值即为直线的斜率，计算正切值即可求出结果.

【详解】解：因为，所以设，则有，根据椭圆定义：，可知：，，因为，所以，即，解得：

所以，，在中，即为直线的斜率，又，所以直线的斜率为2.

故选：C.

11．在四棱锥中，底面为等腰梯形，底面.若，，则这个四棱锥的外接球表面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求得四棱锥的外接球的半径，再去求外接球表面积即可解决.

【详解】取BC中点E，连接EA、ED，取PC中点H，连接EH、BH，

等腰梯形中，，，

则有，则四边形为平行四边形，

则，又，则为等边三角形，

则，则△为等边三角形

则，故点E为等腰梯形的外接圆圆心，

△中，，则

又底面，则底面，

又，

即，

故点H为四棱锥的外接球球心，

球半径

则四棱锥外接球表面积为

故选：C

12．已知函数有两个零点，则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】显然需要参数分离，将原题改造成为，求与有两个交点。

【详解】由得到：；

令，由题意可以看做是与有两个交点；

则，其中，，

是单调递减的，并且时，=0；

因此函数存在唯一零点，；

当时，；时，；；

得如下函数图像：

显然当时，与有两个交点；

故答案为：B.

二、填空题

13．某单位为了制定节能减排的目标，先调查了用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：

由表中数据，得线性回归方程，当气温为－5℃时，预测用电量的度数约为______．

【答案】70

【分析】根据表格中的数据，求出数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法求出的值，再将，代入线性回归方程，即可得到预测用电量的度数．

【详解】由表格，可得

，

即为：，

又在回归方程上，

，

解得：，

．

当时，．

故答案为：70．

14．设命题，命题，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是___________.

【答案】

【分析】先求出命题，的等价条件，利用是的充分不必要条件，确定实数的取值范围．

【详解】由，

得，即，

即，

由，得，

解得：，

若是的充分不必要条件，

则，解得：，

故答案为：

15．已知有极小值点，设，若对于任意的，都有成立，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】由极值点得出，再令，利用导数得出其单调性，进而说明数列先减后增，由且得出实数的取值范围.

【详解】因为有极小值点，所以，即，令，则，当时，，函数在上单调递增，此时是递增数列，不满足题意，故.若时，，若时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，即数列先减后增，因为对于任意的，都有成立，所以只需且，即，解得.

故答案为：

16．双曲线上有一点.过点作渐近线的平行线交另一渐近线于点，若的面积为（点为坐标原点），则双曲线的离心率为______.

【答案】2

【分析】设为双曲线上任一点，过且平行于的直线为方程为，与渐近线的交点为，可求解，点到的距离，由，即可得解

【详解】由双曲线方程可得渐近线方程为：

设为双曲线上任一点，设过且平行于的直线为

则的方程为：，

与渐近线的交点为

则

点到的距离为：

故

故答案为：2

三、解答题

17．如图所示，在直三棱柱中，，设D为的中点，且.

(1)求证：平面平面；

(2)求点到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据直棱柱的性质，结合线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理进行证明即可；

（2）根据平行线的性质，利用三棱锥的体积等积性进行求解即可.

【详解】(1)证明：因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，所以，又因为，D为的中点，所以，因为平面，平面，，

所以平面，又因为平面，以平面平面.

(2)取的中点，连接，，，

，，

四边形是平行四边形，，

又平面，平面，

平面，

同理可证：平面，

又，

平面平面，又平面，

平面．

因此点到平面的距离等于点A到平面的距离，设该距离为h，

则由，得，

所以，由题意，

，所以，所以为直角三角形，所以.

18．在非直角中，角，，对应的边分别，，，满足.

(1)判断的形状；

(2)若边上的中线长为2，求周长的最大值.

【答案】(1)等腰三角形

(2)

【分析】（1）由正弦定理结合条件可得或，又为非直角，从而判断三角形为等腰三角形；

（2）在△ABD和△ABC中，由余弦定理可得，设，，将周长的最大值转化为三角函数的最大值问题，可求得结果．

【详解】(1)，

，

可得．

即

根据正弦定理，得．代入式，化简得．

即，为外接圆的半径）

化简得，

或，即或，又非直角，

因此是等腰三角形．

(2)在△ABD和△ABC中，

由余弦定理可得，又，

所以，所以，

设，，，

所以△ABC的周长2a+ c=，

所以当时，2a+ c有最大值为,

即△ABC周长的最大值为.

19．某小区物业为了让业主有一个良好的居住环境，特制定业主满意度电子调查表，调查表有生活服务､小区环境等多项内容，将每项内容进行分值量化，调查表分值满分为100分.物业管理人员从中随机抽取了100份调查表将其分值作为样本进行统计，作出频率分布直方图如下.

(1)根据频率分布直方图填写各分值段的业主人数表（不必说明理由）：

(2)在选取的100位业主中，男士与女士人数相同，规定分值在70分以上为满意，低于70分为不满意，据统计有32位男士满意.请列出列联表，并判断是否有95%的把握认为“业主满意度与性别有关”？

(3)在（2）条件下，物业对满意度分值低于70分的业主进行回访，用分层抽样的方式选出8位业主进行座谈，并从中随机抽取2人为监督员，求恰好抽到男女各一人为监督员的概率.

附：，其中.

【答案】(1)答案见解析；

(2)列联表答案见解析，有95%的把握认为“业主满意度与性别有关”；

(3).

【分析】(1)由给定的频率分布直方图求出各分值段的频率即可计算作答.

(2)利用(1)的结论及给定信息列出列联表，再计算的观测值，与临界值表比对作答.

(3)求出8位业主中男女人数，再进行编号，用列举法及古典概率公式计算作答.

【详解】(1)根据频率分布直方图知，分值在区间，，，，，内

的频率分别为：0.12，0.16，0.20，0.24，0.18，0.10，

各分值段的业主人数为：

(2)由(1)及已知得列联表如下：

的观测值为：，

所以有95%的把握认为“业主满意度与性别有关”.

(3)由(2)知满意度分值低于70分的业主有48位，其中男士18位女士30位，用分层抽样方式抽取8位业主，其中男士3位女士5位，

记男士为a，b，c，记女士为1，2，3，4，5，从中随机抽取两位为监督员事件为：，

共计28个基本事件，其中抽到男女各一人有，共15个基本事件，

所以恰好抽到男女各一人为监督员的概率为.

20．把抛物线沿轴向下平移得到抛物线.

(1)当时，过抛物线上一点作切线，交抛物线于，两点，求证：；

(2)抛物线上任意一点向抛物线作两条切线，从左至右切点分别为，.直线交从左至右分别为，两点.求证：与的面积相等.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）根据给定条件求出抛物线在点处切线方程，再将此切线与抛物线的方程联立，计算线段AB中点坐标即可得解.

（2）设出过点M的抛物线的切线方程，与抛物线的方程联立，借助韦达定理求出点C，D坐标，进而

求出直线CD方程，把直线CD与抛物线的方程联立，计算线段CD与EF的中点坐标推理作答.

【详解】(1)当时，，显然抛物线在点处切线斜率存在，设切线AB方程为，

由消去y并整理得：，则，解得，

于是得切线AB的方程为：，抛物线，，

由消去y并整理得：，显然，

设，则，线段的中点坐标为与切点P重合，即点P是线段AB中点，所以.

(2)显然过点M的抛物线的切线斜率存在，设此切线方程为：，且，

由消去y并整理得：，

，关于的方程，

于是得切线的斜率是方程的两个不等实根，分别令为，有，

切点C的横坐标是方程的等根，则点，

同理可得切点，则直线斜率为，

直线：，由消去y并整理得：

，即，

，

设直线CD与抛物线的交点，则，即线段中点横坐标为，

又线段的中点横坐标为，因此，线段与有相同中点，

由题意知，即，因此的底边与的底边相等，高都是点M到直线CD的距离，

所以与的面积相等，即.

【点睛】结论点睛：抛物线在点处的切线斜率；抛物线在点处的切线斜率.

21．已知函数.

(1)求在区间上的最大值和最小值；

(2)设，若当时，，求实数a的取值范围.

【答案】(1)最大值为，最小值为

(2)

【分析】（1）对函数求导，利用导数在函数最值中的应用，即可求出结果；

（2）对函数求导，分和，两种情况研究函数的单调性，利用函数的单调性求出的最大值，再结合，即可求出结果.

【详解】(1)解：由条件得，

当时，有，，，所以，

即在上单调递减，

因此在区间上的最大值为，最小值为.

(2)解：由题意得，

所以，

若，当时，有，

所以在上单调递增，所以，符合题意.

若，令，则，

当时，，所以在上单调递减.

又因为，，所以在上存在一个零点，

当时，，即，所以单调递减，

此时，不符合题意.

综上可知，a的取值范围是.

22．以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的极坐标方程为，倾斜角为的直线过点，点的极坐标为.

(1)求曲线的普通方程和直线的参数方程；

(2)若与交于，两点，且点为的中点，求点的极坐标.

【答案】(1)曲线的普通方程；直线的参数方程 为参数；

(2)或.

【分析】（1）根据，即可求得的普通方程；求得的直角坐标，即可直接写出直线的参数方程；

（2）联立直线的参数方程 以及曲线的普通方程，利用参数的几何意义，即可求得点的坐标.

【详解】(1)曲线：，故可得，即；

设点的直角坐标为，则，

则倾斜角为且过点的参数方程为： 为参数

(2)因为与交于，两点，故联立与，

可得，其，设对应参数，

则，由点为的中点，可得，

故可得，，满足，

或，

故点的直角坐标为或，故点的极坐标为或.

23．已知，，.

(1)求的范围；

(2)证明：.

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）利用基本不等式可求得的取值范围；

（2）由已知可得出，令，将所证不等式等价转化为，通分、因式分解后判断符号，即可证得结论成立.

【详解】(1)解：因为，，则，由基本不等式可得，可得，

当且仅当时，等号成立，故.

(2)证明：因为，所以，，

要证，即证，

即证，

令，即证，

因为

，

故原不等式得证.