2022届黑龙江省双鸭山市第一中学高三下学期开学考试数学（文）试题含解析

这是一份2022届黑龙江省双鸭山市第一中学高三下学期开学考试数学（文）试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届黑龙江省双鸭山市第一中学高三下学期开学考试数学（文）试题一、单选题1．已知复数是纯虚数，则实数A． B． C． D．3【答案】A【分析】利用复数乘法运算化简，再根据为纯虚数，求得的值.【详解】依题意为纯虚数，所以.故选：A【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算，考查纯虚数的概念，属于基础题.2．已知向量，且，则（       ）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】由向量平行的坐标公式，即可求得.【详解】因为//，，，则，解得，故选：C.【点睛】本题考查向量平行的坐标公式，属于基础题目.3．已知集合，集合，则集合的子集个数为A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】先求得，由此求得集合的子集个数.【详解】依题意，，所以，共有个元素，故集合的子集个数为个.故选：D【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，考查集合子集个数，属于基础题.4．设，，，则，，的大小关系是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据指数与对数函数的单调性，分别判定，，大小，即可得出结果.【详解】因为函数在上单调递增，且，所以，即，所以，因为函数在上单调递减，且，所以，即，因为函数在上单调递减，且，所以，即，所以，故选：C.【点睛】本题主要考查比较对数与指数大小，熟记指数函数与对数函数单调性即可，属于基础题型.5．设公比为的等比数列的前项和为，若，则（       ）A．3 B．9 C．27 D．81【答案】C【分析】先利用公比为及解出首项，再求解.【详解】,解得，则.故选：C.【点睛】本题考查等比数列的通项公式、前项和公式的运用，比较简单.解答时得出基本量及公比是关键.6．某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是边长分别为1和2的矩形，俯视图为半径为1的四分之一个圆，则该几何体的体积为A． B． C． D．【答案】B【分析】由三视图判断出几何体的结构，由此计算出几何体的体积.【详解】由三视图可知，该几何体是圆柱的四分之一，所以体积为.故选：B【点睛】本小题主要考查根据三视图求几何体的体积，属于基础题.7．若圆与圆外切，则实数的值是（       ）A． B． C．24 D．16【答案】D【解析】首先求出两圆圆心坐标与半径，两圆相外切，则圆心距等于半径和，即可求出参数的值；【详解】解：圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为两个圆的圆心距为.由于两个圆外切，所以，解得.故选：D【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系及其判定，属于基础题．8．若，，则“”是“”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】，，利用基本不等式的性质可得：，可由，得出.反之不成立，从而得到结果.【详解】，，∴，若，则. 反之不成立，例如取，.∴“”是“”的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件，在解题的过程中，注意不成立的可以举反例得到结果，属于基础题目9．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，就是现在我们熟悉的“进位制”，下图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意可得孩子已经出生天数的五进制数为，化为十进制数即可得出结果.【详解】由题意可知，孩子已经出生的天数的五进制数为，化为十进制数为.故选：B.【点睛】本题考查五进制数化为十进制数，考查计算能力，属于基础题.10．已知函数，，，，…，依此类推，A． B． C．0 D．【答案】A【分析】利用三角函数求导法则求出 观察所求的结果，归纳其中的规律，发现其周期性，即可得出答案.【详解】 依次类推可得出 .【点睛】本题考查了三角函数的导数、周期性、及观察归纳思想的运用，熟练掌握三角函数的求导法则，利用其中的函数周期性解决本题.11．正方体的棱长为2，E是棱的中点，则平面截该正方体所得的截面面积为（       ）A．5 B． C． D．【答案】D【分析】作出示意图，设为的中点，连接，易得平面截该正方体所得的截面为，再计算其面积.【详解】如图所示，设为的中点，连接，设为的中点，连接，由且，得是平行四边形，则且，又且，得且，则共面，故平面截该正方体所得的截面为.又正方体的棱长为2，，，，，故的面积为.故选：D.12．已知点在直线上，点在曲线上，则的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设与直线平行的直线的方程为，当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小，根据导数的几何意义求出直线的方程，再利用平行线间的距离公式即可求得结果.【详解】设与直线平行的直线的方程为， ∴当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小，设切点， ，，，， 点，直线的方程为， 两点间距离的最小值为平行线和间的距离，两点间距离的最小值为.故选：【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程、点到直线的距离公式、考查了推理能力与计算能力，属于中档题.二、填空题13．已知双曲线(a＞0，b0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为__________．【答案】【分析】根据离心率求得，即可求得渐近线方程.【详解】因为双曲线的离心率为2，则，解得，故双曲线的渐近线方程为.故答案为：.14．设为等差数列的前项和，若，则______.【答案】33【分析】利用等差数列前n项和公式和等差数列的性质计算即可．【详解】，故. 故答案为：33【点睛】考查了等差数列的性质，等差数列求和公式，属于基础题．15．若在不等式所表示的平面区域内随机投一点，则该点落在不等式组所表示的平面区域内的概率为______.【答案】【分析】画出不等式和不等式组所表示的平面区域，根据几何概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】不等式表示单位圆的圆上和圆内；不等式组等价于.画出不等式和不等式组所表示的平面区域如下图所示，阴影部分为正方形，边长为，所以面积为.所以所求的概率为.故答案为：【点睛】本小题主要考查几何概型概率计算，属于中档题.16．函数为奇函数，当时，，则不等式的解集为______.【答案】【分析】构造函数，根据已知条件判断的奇偶性和单调性，结合的图象求得不等式的解集.【详解】构造函数，由于，所以为奇函数.当时，，，为减函数，则在为减函数.由于，由此画出的大致图象如下图所示，  将代入得，所以.结合表格可知，当时.所以不等式的解集为.故答案为：【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.三、解答题17．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．满足．（1）求；（2）若，，求的面积．【答案】(1)；(2).【分析】(1)利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦， 整理可求得的值，进而求得的值；(2)由余弦定理及已知中的的值，整理可求得的值，进而利用三角形面积公式，即可求解.【详解】解：(1)由题意：因为正弦定理：，所以对于，有，整理得：,，在中，，故 .(2)由(1)及题意可得：，所以的面积为.【点睛】本题主要考查三角恒等变换、正弦定理及余弦定理的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题.18．.如图，在直三棱柱中，，为上的一点，，.（1）若，求证：平面（2）平面将棱柱分割为两个几何体，记上面一个几何体的体积为，下面一个几何体的体积为，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）取中点，连接，.可证，与平面垂直后可得结论；（2）平面将棱柱分割为两个几何体，上面的是四棱锥，求出四棱锥体积和三棱柱体积后可得．【详解】（1）如图，取中点，连接，.在直三棱柱中∵,∴，∵,∴，∴四边形是平行四边形，∴.由题意侧棱平面，平面，∴，又正中，， ，平面，，∴平面，又∵.∴平面.（2）平面将棱柱分割为两个几何体，记上面一个几何体的体积为，下面一个几何体的体积为，正三棱柱的底面积，则体积.上面一个几何体为四棱锥，底面，面积为，因为平面平面，过点作边上的高线，如图，则平面，故四棱锥的高等于.则，所以，∴．【点睛】本题考查证明线面垂直，考查几何体体积公式，掌握线面垂直的判定定理是解题基础．本题考查了学生的空间想象能力，运算求解能力，属于中档题．19．3月底，我国新冠肺炎疫情得到有效防控，但海外确诊病例却持续暴增，防疫物资供不应求.某医疗器械厂开足马力，日夜生产防疫所需物品.质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了50个零件进行测量，根据所测量的零件质量（单位：克），得到如图的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求这50个零件质量的中位数（结果精确到0.01)；（2）若从这50个零件中质量位于之外的零件中随机抽取2个，求这两个零件中恰好有1个是质量在上的概率（3）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知这批零件有10000个，某采购商提出两种收购方案：A．所有零件均以50元/百克收购；B．质量位于的零件以40元/个收购，其他零件以30元/个收购.请你通过计算为该厂选择收益最好的方案.【答案】（1）中位数为71.47；（2）；（3）该厂选择方案B；答案见解析.【解析】（1）由直方图中的数据，依次求得零件质量位于、的频率，从而判断这50个零件质量的中位数位于区间，设为x，根据中位数的性质列出关于x的方程，解之即可；（2）由频数样本容量频率可求得质量位于和的零件个数，再利用组合数和古典概型即可得解；（3）先根据平均数的计算方法求得这组数据的平均数为71.5，再求得方案A的收益；然后计算质量位于和之外的零件个数，计算出方案B的收益，取较大者即可.【详解】（1）零件质量位于的频率为，零件质量位于的频率为，，这50个零件质量的中位数位于区间，设为，则，解得，故这50个零件质量的中位数为71.47.（2）质量位于的零件个数为个，质量位于的零件个数为个，故这两个零件中恰好有1个是质量在上的概率为.（3）这组数据的平均数为，方案A：收益为元；质量位于的零件个数为个，质量位于之外的零件个数为个，方案B：收益为元.，该厂选择方案B.【点睛】本题考查了频率分布直方图、古典概型，理解中位数、平均数的性质与计算方法是解题的关键，考查学生对数据的分析与处理能力，属于中档题.20．已知函数.（1）当时，证明：时，；（2）若对任意，均有成立，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）令，可得，得到函数在存在唯一零点，进而得出的单调性与最值，即可求解.（2）根据题意，转化为恒成立，设函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】（1）当时，函数，则令，可得，由于在上单调递减，令，即，解得，即函数在存在唯一零点，可得函数满足：0单调递增极大值单调递减 所以时，，即恒成立，所以为上的减函数，当时，，证毕.（2）由对任意，均有成立，等价于恒成立，设函数，，则，可得函数：20单调递增极大值单调递减 所以，可得，所以，实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题和不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．21．已知抛物线：的焦点是椭圆的一个焦点.（1）求抛物线的方程；（2）设，，为抛物线上的不同三点，点，且.求证：直线过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）椭圆的焦点为，由题意可知，由此即可求出抛物线的方程；（2）设直线的方程为，与抛物线联立得，可得，再根据，可得，列出方程代入，化简可得，再因式分解可得或，再代入方程进行检验，即可求出结果.【详解】（1）因为椭圆的焦点为，依题意，，，所以：（2）设直线的方程为，与抛物线联立得，设，，则，由，则，即，所以即，整理得到，所以，化简得即，解得或.当时，直线的方程为，即为，即直线过定点；当时，直线的方程为，即为，即直线过定点，此时与点重合，故应舍去，所以直线过定点.【点睛】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程，直线在轴正半轴及轴正半轴上的截距相等时的直角坐标方程；（2）若，设直线与曲线交于不同的两点，点，求的值．【答案】（1），；（2）.【分析】（1）将两边同乘以，利用可求曲线的直角坐标方程，再求出直线的斜率后可求其直线方程.（2）利用直线参数方程中的几何意义可求的值.【详解】（1）将两边同乘以，则，故，所以曲线的直角坐标方程为.当直线在轴正半轴及轴正半轴上的截距相等时，直线的斜率为，因直线过，故此时直线方程为.（2）因为，故直线的参数方程为，设，将直线的参数方程代入得.又为该方程的两个异号根，且.又，故.【点睛】极坐标方程转化为直角坐标方程，关键是，直线的参数方程有很多种，如果直线的参数方程为 （其中为参数，为直线的倾斜角），注意表示直线上的点到的距离，我们常利用这个几何意义计算直线上线段的长度和、差、积等．23．已知函数，.（1）当，时，求不等式的解集；（2）若的最小值为2，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）利用零点分界法，分类讨论即可求解.（2）利用绝对值三角不等式可得，再利用基本不等式即可求解.【详解】（1）依题意，当时，，解得，即，当时，，解得成立，即，当时，，解得，即，综上所述，不等式的解集为.（2），所以.当且仅当时，取等号.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法、基本不等式证明不等式，属于基础题.