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2023届高考一轮复习加练必刷题第90练 古典概型【解析版】
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这是一份2023届高考一轮复习加练必刷题第90练 古典概型【解析版】，共5页。
考点一 样本空间与样本点
1．先后抛掷两枚骰子，所得点数之和为7，则样本点共有( )
A．5个 B．6个
C．7个 D．8个
答案 B
解析 所得点数之和为7的样本点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，6))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，1))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，5))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，4))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，3))，共6个．
2．连续两次抛掷一枚骰子，记录向上的点数，则向上的点数之差的绝对值为2的样本点共有( )
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
答案 D
解析 向上抛掷骰子2次，样本空间共有36个样本点，绝对值差为2的样本点有(1,3)，(3,1)，(2,4)，(4,2)，(3,5)，(5,3)，(4,6)，(6,4)．
考点二 古典概型
3．在平面直角坐标系中，从点A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,2)，E(2,2)中任取3个，则这三点能构成三角形的概率是( )
A.eq \f(2,5) B.eq \f(3,5) C.eq \f(4,5) D．1
答案 C
解析 从5个点中任取3个点，有ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10个样本点，其中ACE，BCD这2个样本点不能构成三角形，故能构成三角形的概率为eq \f(8,10)＝eq \f(4,5).
4．在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
答案 C
解析 方法一 设依次编号为(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，则恰有1位学生分到自己学号的概率为eq \f(3,6)＝eq \f(1,2).
方法二 设事件A＝“恰有1位同学分到写有自己学号的卡片”，
则P(A)＝eq \f(3,A\\al(3,3))＝eq \f(1,2).
5．从数字1,2,3,4,5中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为( )
A.eq \f(13,125) B.eq \f(19,125) C.eq \f(16,125) D.eq \f(9,125)
答案 B
解析 从5个数字中可重复地抽取3个，组成一个三位数，共有53＝125(个)．各位数字之和等于9的数字组合有2,3,4；3,3,3；2,2,5；1,4,4；1,3,5.共组成6＋1＋3＋3＋6＝19(个)三位数，所以所求概率为eq \f(19,125).
6．某单位安排甲去参加周一至周五的公益活动，需要从周一至周五选择三天参加活动，那么甲连续三天参加活动的概率为( )
A.eq \f(3,10) B.eq \f(3,20) C.eq \f(2,5) D.eq \f(1,2)
答案 A
解析 由题意，某单位安排甲去参加周一至周五的公益活动，需要从周一至周五选择三天参加活动，共有Ceq \\al(3,5)＝10(个)样本点，其中甲连续三天参加活动，有(周一、周二、周三)，(周二、周三、周四)，(周三、周四、周五)，共有3个样本点，所以甲连续三天参加活动的概率为P＝eq \f(3,10).
7．宋元两代是我国古代数学非常辉煌的时期，其中秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰并称为宋元数学四大家，其代表作秦九韶的《数学九章》，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》．现有古数学著作《数学九章》《测圆海镜》《益古演段》《详解九章算法》《杨辉算法》《算学启蒙》《四元玉鉴》共七本，从中任取两本，至少含有一本秦九韶或杨辉的著作的概率是( )
A.eq \f(5,7) B.eq \f(4,7) C.eq \f(3,7) D.eq \f(2,7)
答案 A
解析 由题意知，不含有秦九韶和杨辉的著作的概率P′＝eq \f(C\\al(2,4),C\\al(2,7))＝eq \f(2,7)，所以所求概率P＝1－P′＝1－eq \f(2,7)＝eq \f(5,7).
8．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(3,10) D.eq \f(1,4)
答案 A
解析 从四个阴数和五个阳数中分别随机选取一个数，所含样本点为n＝4×5＝20(个)，其和等于11包含的样本点有(9,2)，(3,8)，(7,4)，(5,6)，共4个，所以其和等于11的概率P＝eq \f(4,20)＝eq \f(1,5).
考点三 概率性质的基本应用
9．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4,0.5，则恰有1人击中敌机的概率为( )
A．0.2 B．0.5 C．0.7 D．0.9
答案 B
解析 设A为“甲击中”，B为“乙击中”，
则P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，
∴两人中恰有一人击中敌机的概率为
P＝P(Aeq \x\t(B)＋eq \x\t(A)B)＝P(A)P(eq \x\t(B))＋P(eq \x\t(A))P(B)
＝0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.5.
10．(多选)中国篮球职业联赛(CBA)中，某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如表：
记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下列结论中，正确的是( )
A．P(A)＝0.55 B．P(B)＝0.18
C．P(C)＝0.27 D．P(B∪C)＝0.55
答案 ABC
解析 由古典概型得，
P(A)＝eq \f(55,100)＝0.55，故A正确；
P(B)＝eq \f(18,100)＝0.18，故B正确；
P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.55－0.18＝0.27，故C正确；
P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.27＝0.45，故D错误．
11.从集合{1,2,4}中随机抽取一个数a，从集合{2,4,5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(2，－1)垂直的概率为( )
A.eq \f(1,9) B.eq \f(2,9) C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
答案 B
解析 从集合{1,2,4}中随机抽取一个数a，从集合{2,4,5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)的可能情况有(1,2)，(1,4)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(2,5)，(4,2)，(4,4)，(4,5)，共9种．若m＝(a，b)与n＝(2，－1)垂直，则2a－b＝0，即b＝2a，则(1,2)，(2,4)符合条件，所以所求概率P＝eq \f(2,9).
12．袋中共有7个球，其中3个红球，2个白球，2个黑球．若从袋中任取3个球，则所取3个球中至多有1个红球的概率是( )
A.eq \f(4,35) B.eq \f(31,35) C.eq \f(18,35) D.eq \f(22,35)
答案 D
解析 方法一 所取3个球中没有红球的概率为P1＝eq \f(C\\al(3,4),C\\al(3,7))＝eq \f(4,35)，所取3个球中恰有1个红球的概率为P2＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(2,4),C\\al(3,7))＝eq \f(18,35)，则所取3个球中至多有1个红球的概率为P＝P1＋P2＝eq \f(22,35).
方法二 “至多有1个红球”的对立事件为“至少有2个红球”，所取3个球中至少有2个红球的概率为P1＝eq \f(C\\al(2,3)C\\al(1,4),C\\al(3,7))＋eq \f(C\\al(3,3),C\\al(3,7))＝eq \f(13,35)，故所求概率为P＝1－P1＝eq \f(22,35).
13．新的高考改革方案规定：每位考生的高考成绩是按照3(语文、数学、英语)＋2(物理、历史)选1＋4(化学、生物、地理、政治)选2的模式设置的，则在选考的六门科目中甲、乙两位同学恰有两科相同的概率为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3) C.eq \f(5,12) D.eq \f(1,2)
答案 C
解析 由题意得，甲、乙两位同学选考情况的总数为Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,4)×Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,4)＝144.
若相同的科目为4选2的科目，则有Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,1)＝12(种)情况；
若相同的科目为2选1和4选2中的各1个，则有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(1,2)＝48(种)情况．
所以所求概率为eq \f(12＋48,144)＝eq \f(5,12).
14．《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1 200个．若在这座楼阁的灯球中，随机选取一个灯球，则这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(3,4)
答案 B
解析 设大灯下缀2个小灯的有x个，大灯下缀4个小灯的有y个，
根据题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝360，,2x＋4y＝1 200，))解得x＝120，y＝240，
又灯球的总数为x＋y＝360(个)，
故这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为eq \f(240,360)＝eq \f(2,3).
投篮次数
投中两分球的次数
投中三分球的次数
100
55
18
考点一 样本空间与样本点
1．先后抛掷两枚骰子，所得点数之和为7，则样本点共有( )
A．5个 B．6个
C．7个 D．8个
答案 B
解析 所得点数之和为7的样本点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，6))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，1))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，5))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，4))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，3))，共6个．
2．连续两次抛掷一枚骰子，记录向上的点数，则向上的点数之差的绝对值为2的样本点共有( )
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
答案 D
解析 向上抛掷骰子2次，样本空间共有36个样本点，绝对值差为2的样本点有(1,3)，(3,1)，(2,4)，(4,2)，(3,5)，(5,3)，(4,6)，(6,4)．
考点二 古典概型
3．在平面直角坐标系中，从点A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,2)，E(2,2)中任取3个，则这三点能构成三角形的概率是( )
A.eq \f(2,5) B.eq \f(3,5) C.eq \f(4,5) D．1
答案 C
解析 从5个点中任取3个点，有ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10个样本点，其中ACE，BCD这2个样本点不能构成三角形，故能构成三角形的概率为eq \f(8,10)＝eq \f(4,5).
4．在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
答案 C
解析 方法一 设依次编号为(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，则恰有1位学生分到自己学号的概率为eq \f(3,6)＝eq \f(1,2).
方法二 设事件A＝“恰有1位同学分到写有自己学号的卡片”，
则P(A)＝eq \f(3,A\\al(3,3))＝eq \f(1,2).
5．从数字1,2,3,4,5中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为( )
A.eq \f(13,125) B.eq \f(19,125) C.eq \f(16,125) D.eq \f(9,125)
答案 B
解析 从5个数字中可重复地抽取3个，组成一个三位数，共有53＝125(个)．各位数字之和等于9的数字组合有2,3,4；3,3,3；2,2,5；1,4,4；1,3,5.共组成6＋1＋3＋3＋6＝19(个)三位数，所以所求概率为eq \f(19,125).
6．某单位安排甲去参加周一至周五的公益活动，需要从周一至周五选择三天参加活动，那么甲连续三天参加活动的概率为( )
A.eq \f(3,10) B.eq \f(3,20) C.eq \f(2,5) D.eq \f(1,2)
答案 A
解析 由题意，某单位安排甲去参加周一至周五的公益活动，需要从周一至周五选择三天参加活动，共有Ceq \\al(3,5)＝10(个)样本点，其中甲连续三天参加活动，有(周一、周二、周三)，(周二、周三、周四)，(周三、周四、周五)，共有3个样本点，所以甲连续三天参加活动的概率为P＝eq \f(3,10).
7．宋元两代是我国古代数学非常辉煌的时期，其中秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰并称为宋元数学四大家，其代表作秦九韶的《数学九章》，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》．现有古数学著作《数学九章》《测圆海镜》《益古演段》《详解九章算法》《杨辉算法》《算学启蒙》《四元玉鉴》共七本，从中任取两本，至少含有一本秦九韶或杨辉的著作的概率是( )
A.eq \f(5,7) B.eq \f(4,7) C.eq \f(3,7) D.eq \f(2,7)
答案 A
解析 由题意知，不含有秦九韶和杨辉的著作的概率P′＝eq \f(C\\al(2,4),C\\al(2,7))＝eq \f(2,7)，所以所求概率P＝1－P′＝1－eq \f(2,7)＝eq \f(5,7).
8．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(3,10) D.eq \f(1,4)
答案 A
解析 从四个阴数和五个阳数中分别随机选取一个数，所含样本点为n＝4×5＝20(个)，其和等于11包含的样本点有(9,2)，(3,8)，(7,4)，(5,6)，共4个，所以其和等于11的概率P＝eq \f(4,20)＝eq \f(1,5).
考点三 概率性质的基本应用
9．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4,0.5，则恰有1人击中敌机的概率为( )
A．0.2 B．0.5 C．0.7 D．0.9
答案 B
解析 设A为“甲击中”，B为“乙击中”，
则P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，
∴两人中恰有一人击中敌机的概率为
P＝P(Aeq \x\t(B)＋eq \x\t(A)B)＝P(A)P(eq \x\t(B))＋P(eq \x\t(A))P(B)
＝0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.5.
10．(多选)中国篮球职业联赛(CBA)中，某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如表：
记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下列结论中，正确的是( )
A．P(A)＝0.55 B．P(B)＝0.18
C．P(C)＝0.27 D．P(B∪C)＝0.55
答案 ABC
解析 由古典概型得，
P(A)＝eq \f(55,100)＝0.55，故A正确；
P(B)＝eq \f(18,100)＝0.18，故B正确；
P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.55－0.18＝0.27，故C正确；
P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.27＝0.45，故D错误．
11.从集合{1,2,4}中随机抽取一个数a，从集合{2,4,5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(2，－1)垂直的概率为( )
A.eq \f(1,9) B.eq \f(2,9) C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
答案 B
解析 从集合{1,2,4}中随机抽取一个数a，从集合{2,4,5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)的可能情况有(1,2)，(1,4)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(2,5)，(4,2)，(4,4)，(4,5)，共9种．若m＝(a，b)与n＝(2，－1)垂直，则2a－b＝0，即b＝2a，则(1,2)，(2,4)符合条件，所以所求概率P＝eq \f(2,9).
12．袋中共有7个球，其中3个红球，2个白球，2个黑球．若从袋中任取3个球，则所取3个球中至多有1个红球的概率是( )
A.eq \f(4,35) B.eq \f(31,35) C.eq \f(18,35) D.eq \f(22,35)
答案 D
解析 方法一 所取3个球中没有红球的概率为P1＝eq \f(C\\al(3,4),C\\al(3,7))＝eq \f(4,35)，所取3个球中恰有1个红球的概率为P2＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(2,4),C\\al(3,7))＝eq \f(18,35)，则所取3个球中至多有1个红球的概率为P＝P1＋P2＝eq \f(22,35).
方法二 “至多有1个红球”的对立事件为“至少有2个红球”，所取3个球中至少有2个红球的概率为P1＝eq \f(C\\al(2,3)C\\al(1,4),C\\al(3,7))＋eq \f(C\\al(3,3),C\\al(3,7))＝eq \f(13,35)，故所求概率为P＝1－P1＝eq \f(22,35).
13．新的高考改革方案规定：每位考生的高考成绩是按照3(语文、数学、英语)＋2(物理、历史)选1＋4(化学、生物、地理、政治)选2的模式设置的，则在选考的六门科目中甲、乙两位同学恰有两科相同的概率为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3) C.eq \f(5,12) D.eq \f(1,2)
答案 C
解析 由题意得，甲、乙两位同学选考情况的总数为Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,4)×Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,4)＝144.
若相同的科目为4选2的科目，则有Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,1)＝12(种)情况；
若相同的科目为2选1和4选2中的各1个，则有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(1,2)＝48(种)情况．
所以所求概率为eq \f(12＋48,144)＝eq \f(5,12).
14．《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1 200个．若在这座楼阁的灯球中，随机选取一个灯球，则这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(3,4)
答案 B
解析 设大灯下缀2个小灯的有x个，大灯下缀4个小灯的有y个，
根据题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝360，,2x＋4y＝1 200，))解得x＝120，y＝240，
又灯球的总数为x＋y＝360(个)，
故这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为eq \f(240,360)＝eq \f(2,3).
投篮次数
投中两分球的次数
投中三分球的次数
100
55
18
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