2023届高考一轮复习加练必刷题第92练　离散型随机变量及其分布列、数字特征【解析版】

这是一份2023届高考一轮复习加练必刷题第92练　离散型随机变量及其分布列、数字特征【解析版】，共7页。试卷主要包含了设随机变量X的分布列为，若随机变量X的分布列如下表，已知随机变量X的分布列是，已知随机变量X的分布列为，已知随机变量X的分布列如下等内容，欢迎下载使用。

考点一 离散型随机变量的分布列及其性质
1．一袋中装6只球，编号为1,2,3,4,5,6，在袋中同时取出4只，以ξ表示取出的四只球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 随机变量ξ的可能取值为1,2,3，
P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(3,5),C\\al(4,6))＝eq \f(10,15)＝eq \f(2,3)，
P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(3,4),C\\al(4,6))＝eq \f(4,15)，P(ξ＝3)＝eq \f(C\\al(3,3),C\\al(4,6))＝eq \f(1,15).
2．设X是离散型随机变量，其分布列为
则q等于( )
A．1 B．1±eq \f(\r(2),2) C．1－eq \f(\r(2),2) D．1＋eq \f(\r(2),2)
答案 C
解析 由分布列的性质得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤1－2q<1，,0≤q2<1，,\f(1,2)＋1－2q＋q2＝1，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0∴q＝1－eq \f(\r(2),2).
3．设随机变量X的分布列为
则P(|X－3|＝1)等于( )
A.eq \f(7,12) B.eq \f(5,12) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,6)
答案 B
解析 根据分布列的性质得出eq \f(1,3)＋m＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,6)＝1，
则m＝eq \f(1,4)，随机变量X的分布列为
所以P(|X－3|＝1)＝P(X＝4)＋P(X＝2)＝eq \f(5,12).
4．若随机变量X的分布列如下表：
则当P(XA．{m|m≤2} B．{m|0C．{m|0答案 B
考点二 随机变量的数字特征(期望与方差)
5．已知某离散型随机变量X的分布列为
则X的均值E(X)等于( )
A.eq \f(2,3) B．1 C.eq \f(3,2) D．2
答案 B
解析 由题意可得eq \f(8,27)＋eq \f(4,9)＋m＋eq \f(1,27)＝1，可得m＝eq \f(2,9).
E(X)＝0×eq \f(8,27)＋1×eq \f(4,9)＋2×eq \f(2,9)＋3×eq \f(1,27)＝1.
6．已知随机变量X的分布列是
若E(X)＝2，则D(X)的值是( )
A.eq \f(17,36) B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,4) D.eq \f(17,18)
答案 B
解析 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,4)＋a＋b＝1，,\f(1,4)＋2a＋3b＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,2)，,b＝\f(1,4)，))
所以D(X)＝(1－2)2×eq \f(1,4)＋(2－2)2×eq \f(1,2)＋(3－2)2×eq \f(1,4)＝eq \f(1,2).
7．已知随机变量ξ，η的分布列如下表所示，则( )
A.E(ξ)B．E(ξ)D(η)
C．E(ξ)D．E(ξ)＝E(η)，D(ξ)＝D(η)
答案 C
解析 由题意得E(ξ)＝1×eq \f(1,3)＋2×eq \f(1,2)＋3×eq \f(1,6)＝eq \f(11,6)，
D(ξ)＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,6)－1))2＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,6)－2))2＋eq \f(1,6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,6)－3))2
＝eq \f(17,36).
E(η)＝1×eq \f(1,6)＋2×eq \f(1,2)＋3×eq \f(1,3)＝eq \f(13,6)，
D(η)＝eq \f(1,6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,6)－1))2＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,6)－2))2＋eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,6)－3))2
＝eq \f(17,36).
∴E(ξ)8．已知随机变量X的分布列为
设Y＝2X＋3，则D(Y)等于( )
A.eq \f(8,3) B.eq \f(5,3) C.eq \f(2,3) D.eq \f(1,3)
答案 A
解析 Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Y))＝Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2X＋3))，又Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X))＝1，
∴Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X))＝02×eq \f(1,3)＋12×eq \f(1,3)＋12×eq \f(1,3)＝eq \f(2,3)，
∴Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Y))＝22Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X))＝eq \f(8,3).
9．已知随机变量X的分布列如下
则当D(X)取到最大值时，a等于( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
答案 C
解析 随机变量X服从两点分布，所以b＝1－a，D(X)＝a(1－a)＝a－a2，显然当a＝eq \f(1,2)时，方差取得最大值．
10．(多选)已知A＝B＝{1,2,3}，分别从集合A，B中各随机取一个数a，b，得到平面上一个点P(a，b)，设事件“点P(a，b)恰好落在直线x＋y＝n上”对应的随机变量为X，P(X＝n)＝Pn，X的均值和方差分别为E(X)，D(X)，则( )
A．P4＝2P2
B．P(3≤X≤5)＝eq \f(7,9)
C．E(X)＝4
D．D(X)＝eq \f(4,3)
答案 BCD
解析 因为A＝B＝{1,2,3}，点P(a，b)恰好落在直线x＋y＝n上，
所以X的值可以为2,3,4,5,6.
又从A，B中分别任取1个数，共有9种情况，
所以P(X＝2)＝eq \f(1,9)，P(X＝3)＝eq \f(2,9)，P(X＝4)＝eq \f(3,9)＝eq \f(1,3)，P(X＝5)＝eq \f(2,9)，P(X＝6)＝eq \f(1,9).
对于A，P4＝3P2，故A不正确；
对于B，P(3≤X≤5)＝eq \f(2,9)＋eq \f(1,3)＋eq \f(2,9)＝eq \f(7,9)，故B正确；
对于C，E(X)＝2×eq \f(1,9)＋3×eq \f(2,9)＋4×eq \f(1,3)＋5×eq \f(2,9)＋6×eq \f(1,9)＝eq \f(36,9)＝4，故C正确；
对于D，D(X)＝(2－4)2×eq \f(1,9)＋(3－4)2×eq \f(2,9)＋(4－4)2×eq \f(1,3)＋(5－4)2×eq \f(2,9)＋(6－4)2×eq \f(1,9)＝eq \f(4,3)，故D正确．
11．某人进行射击，共有10发子弹，若击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则ξ＝10，表示的试验结果是( )
A．第10次击中目标
B．第10次未击中目标
C．前9次均未击中目标
D．第9次击中目标
答案 C
解析 击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数ξ＝10，则说明前9次均未击中目标，第10次击中目标或未击中目标．
12．(多选)若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝eq \f(1,3)，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是( )
A．P(X＝1)＝E(X) B．E(3X＋2)＝4
C．D(3X＋2)＝4 D．D(X)＝eq \f(4,9)
答案 AB
解析 随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝eq \f(1,3)，
∴P(X＝1)＝eq \f(2,3)，
E(X)＝0×eq \f(1,3)＋1×eq \f(2,3)＝eq \f(2,3)，
D(X)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(2,3)))2×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))2×eq \f(2,3)＝eq \f(2,9)，
在A中，P(X＝1)＝E(X)，故A正确；
在B中，E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×eq \f(2,3)＋2＝4，故B正确；
在C中，D(3X＋2)＝9D(X)＝9×eq \f(2,9)＝2，故C错误；
在D中，D(X)＝eq \f(2,9)，故D错误．
13．(多选)(2022·汕头模拟)设随机变量ξ的分布列为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ξ＝\f(k,5)))＝ak(k＝1,2,3,4,5)，则( )
A．15a＝1
B．P(0.5＜ξ＜0.8)＝0.2
C．P(0.1＜ξ＜0.5)＝0.2
D．P(ξ＝1)＝0.3
答案 ABC
解析 由题意可得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，即15a＝1，故A正确；
P(0.5＜ξ＜0.8)＝P(ξ＝0.6)＝3a＝eq \f(1,5)＝0.2，故B正确；
P(0.1＜ξ＜0.5)＝P(ξ＝0.2)＋P(ξ＝0.4)＝eq \f(1,15)×1＋eq \f(1,15)×2＝eq \f(1,5)＝0.2，故C正确；
P(ξ＝1)＝eq \f(1,15)×5＝eq \f(1,3)，故D不正确．
14．设0则E(X)的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(5,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，\f(3,2)))
答案 D
解析 由分布列的性质可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0且a＋b＋(a＋b)＝2a＋2b＝1⇒a＋b＝eq \f(1,2)，
可得a＝eq \f(1,2)－b⇒0结合0因为E(X)＝0×a＋1×b＋2×(a＋b)＝1＋b，
所以eq \f(5,4)≤E(X)ξ
1
2
3
P
eq \f(1,3)
eq \f(1,3)
eq \f(1,3)
ξ
1
2
3
4
P
eq \f(1,3)
eq \f(1,3)
eq \f(4,15)
eq \f(1,15)
ξ
1
2
3
P
eq \f(1,15)
eq \f(4,15)
eq \f(2,3)
ξ
1
2
3
P
eq \f(2,3)
eq \f(4,15)
eq \f(1,15)
X
－1
0
1
P
eq \f(1,2)
1－2q
q2
X
1
2
3
4
P
eq \f(1,3)
m
eq \f(1,4)
eq \f(1,6)
X
1
2
3
4
P
eq \f(1,3)
eq \f(1,4)
eq \f(1,4)
eq \f(1,6)
X
－3
－2
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
X
0
1
2
3
P
eq \f(8,27)
eq \f(4,9)
m
eq \f(1,27)
X
1
2
3
P
eq \f(1,4)
a
b
ξ
1
2
3
P
eq \f(1,3)
eq \f(1,2)
eq \f(1,6)
η
1
2
3
P
eq \f(1,6)
eq \f(1,2)
eq \f(1,3)
X
0
1
2
P
eq \f(1,3)
eq \f(1,3)
eq \f(1,3)
X
0
1
P
a
b
X
0
1
2
P
a
b
a＋b