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2023届高考一轮复习加练必刷题第78练 圆锥曲线小题易错练【解析版】
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这是一份2023届高考一轮复习加练必刷题第78练 圆锥曲线小题易错练【解析版】,共7页。试卷主要包含了设抛物线C,椭圆C,已知抛物线C等内容,欢迎下载使用。
第78练 圆锥曲线小题易错练1.已知椭圆+=1,长轴在y轴上,若焦距为4,则m等于( )A.4 B.5 C.7 D.8答案 D解析 由题意得解得m=8.2.抛物线y=-x2的焦点坐标为( )A. B.C. D.答案 D解析 将抛物线方程y=-x2转化为标准方程x2=-8y,可得p=4,=2,焦点在y轴上,且开口向下,所以其焦点坐标为.3.若ab≠0,则ax-y+b=0和bx2+ay2=ab所表示的曲线只可能是下图中的( )答案 C解析 方程可化为y=ax+b和+=1.从选项B,D中的两椭圆可知a,b∈(0,+∞),但由选项B中直线的位置可得a<0,b<0,矛盾,应排除;由选项D中直线的位置可得a<0,b>0,矛盾,应排除;再由选项A中双曲线的位置可得a<0,b>0,但由直线的位置可得a>0,b>0,矛盾,应排除;由选项C中双曲线的位置可得a>0,b<0,和直线中a,b的符号一致.4.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过点F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为( )A.y=x-1或y=-x+1B.y=(x-1)或y=-(x-1)C.y=(x-1)或y=-(x-1)D.y=(x-1)或y=-(x-1)答案 C解析 由抛物线方程y2=4x知焦点F(1,0),准线x=-1,由题意可设直线l:x=my+1,代入y2=4x中消去x,得y2-4my-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2).由根与系数的关系得,y1+y2=4m,y1y2=-4.设y1>0>y2,∵|AF|=3|BF|,∴y1=-3y2,由解得y2=-,∴y1=2.∴m==,∴直线l的方程为x=y+1.由对称性知,这样的直线有两条,即y=±(x-1).5.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为( )A.-=1 B.-=1C.-=1 D.-=1答案 C解析 以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2,又因为点在圆上,所以32+42=c2,所以c=5,双曲线的一条渐近线方程为y=x,且点(3,4)在这条渐近线上,所以=,又a2+b2=c2=25,解得a=3,b=4,所以双曲线的方程为-=1.6.阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的焦点在x轴上,且椭圆C的离心率为,面积为12π,则椭圆C的方程为( )A.+=1 B.+=1C.+=1 D.+=1答案 D解析 由题意可得解得a=4,b=3,因为椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆方程为+=1.7.(2022·唐山模拟)已知点P(m,n)是抛物线y=-x2上一动点,则+的最小值为( )A.4 B.5 C. D.6答案 D解析 由y=-x2,得x2=-4y,则x2=-4y的焦点为F(0,-1),准线为l:y=1.+的几何意义是点P(m,n)到F(0,-1)与到点A(4,-5)的距离之和,如图所示.过点P作PP1⊥l,垂足为P1,过点A作AQ1⊥l,垂足为Q1,且与抛物线交于点Q.根据抛物线的定义知,点P(m,n)到F(0,-1)的距离等于点P(m,n)到准线l的距离,则|PF|+|PA|=|PP1|+|PA|,所以当P运动到Q时,能够取得最小值,最小值为|AQ1|=1-(-5)=6.8.下列三个图中的多边形均为正多边形,图①,②中M,N是所在边上的中点,双曲线均以图中的F1,F2为焦点,设图①,②,③中的双曲线的离心率分别为e1,e2,e3,则( )A.e1>e2>e3 B.e1<e2<e3C.e1=e3<e2 D.e1=e3>e2答案 D解析 在图①中,连接MF2,图①设=2=2c.∵∠MF1F2=,∴=c,∴-=2a=c-c=(-1)c,∴e1===+1.在图②中,连接MF2,F1F2,图②设=2c.∴2+2=2=4c2,解得=c.又∵∠MF1F2=.∴2=2+2-2·cos∠MF1F2,解得=c.∴-=2a=c-c=c,∴e2===.在图③中,连接MF2,F1F2,图③设=2=2c.∵∠MF1F2=,∴=c,∴-=2a=c-c=(-1)c,∴e3===+1.∴e1=e3>e2.9.(多选)(2022·大连模拟)椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1和F2,P为椭圆C上的动点,则下列说法正确的是( )A.若a=b,则满足∠F1PF2=90°的点P有两个B.若a<b,则满足∠F1PF2=90°的点P有四个C.△PF1F2的面积的最大值为D.△PF1F2的周长小于4a答案 ACD解析 记椭圆C的上、下顶点分别为B1,B2,易知∠F1PF2≤∠F1B1F2=∠F1B2F2.选项A中,∠F1B1F2=∠F1B2F2=90°,正确;选项B中,∠F1B1F2=∠F1B2F2<90°,不存在90°的∠F1PF2,错误;选项C中,面积≤·2c·b=bc≤=,正确;选项D中,周长=2c+2a<4a,正确.10.(多选)(2022·济南质检)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,过点F的直线与抛物线交于点P(x1,y1),Q(x2,y2),点P在l上的射影为P1,则( )A.若x1+x2=6,则=8B.以PQ为直径的圆与准线l相切C.设M,则+≥D.过点M与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条答案 ABC解析 对于A,因为p=2,所以x1+x2+2=|PQ|,则|PQ|=8,故A正确;对于B,设N为PQ的中点,点N在l上的射影为N1,点Q在l上的射影为Q1,则由梯形性质可得===,故B正确;对于C,因为F(1,0),所以|PM|+=|PM|+|PF|≥|MF|=,故C正确;对于D,显然直线x=0,y=1与抛物线只有一个公共点.设过M的直线为y=kx+1,由可得k2x2+(2k-4)x+1=0.令Δ=(2k-4)2-4k2=0,解得k=1,所以直线y=x+1与抛物线也只有一个公共点,所以有三条直线符合题意,故D错误.11.(多选)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在y轴上,若线段FM的中点B在抛物线上,且点B到抛物线准线的距离为,则点M的坐标为( )A. B. C. D.答案 BC解析 在△MOF中,点B为边MF的中点,故点B的横坐标为,因此=+,解得p=,故抛物线的方程为y2=2x,可得点B的坐标为,故点M的坐标为,.12.已知点F是抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,O为坐标原点,A,B是抛物线E上的两点,满足|FA|+|FB|=10,++=0,则p等于( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 D解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),由|FA|+|FB|=10,可得|FA|+|FB|=x1++x2+=x1+x2+p=10.①由++=0,可得++==0,所以x1+x2=.②联立①②,可得p=4.13.已知抛物线y2=2x,直线l的方程为x-y+3=0,点P是抛物线上的一动点,则点P到直线l的最短距离为________,此时点P的坐标为____________.答案 解析 设点P是y2=2x上任意一点,则点P到直线x-y+3=0的距离d===,当y0=1时,dmin==,此时x0=,所以点P的坐标为.14.设F1,F2是双曲线x2-=1的两个焦点,P是双曲线上一点,且3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2的面积等于________.答案 24解析 双曲线的实轴长为2,焦距为=2×5=10.由题意,知-=-==2,∴=6,=8,∴2+2=2,∴PF1⊥PF2,∴=·=×8×6=24.
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