2023届高考一轮复习加练必刷题第81练　高考大题突破练——范围与最值问题【解析版】

这是一份2023届高考一轮复习加练必刷题第81练　高考大题突破练——范围与最值问题【解析版】，共4页。试卷主要包含了已知抛物线C，已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。
考点一 范围问题
1．(2022·南京模拟)已知抛物线C：y2＝4x，点F是C的焦点，O为坐标原点，过点F的直线l与C相交于A，B两点．
(1)求向量eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))的数量积；
(2)设eq \(FB,\s\up6(→))＝λeq \(AF,\s\up6(→))，若λ∈[9,16]，求l在y轴上的截距的取值范围．
解 (1)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
由题意知直线l的斜率不可能为0，F(1,0)，设直线l的方程为x＝my＋1.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋1，,y2＝4x，))得y2－4my－4＝0，Δ＝16m2＋16>0，
由根与系数的关系得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＋y2＝4m，,y1y2＝－4.))
∴eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝eq \f(y\\al(2,1)y\\al(2,2),16)＋y1y2＝eq \f(16,16)－4＝－3.
∴向量eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))的数量积为－3.
(2)由(1)知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＋y2＝4m，,y1y2＝－4.))
∵eq \(FB,\s\up6(→))＝λeq \(AF,\s\up6(→))，∴y2＝－λy1.
将y2＝－λy1代入eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＋y2＝4m，,y1y2＝－4，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－λy1＝4m，,－λy\\al(2,1)＝－4，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－λ2y\\al(2,1)＝16m2，,－λy\\al(2,1)＝－4，))
∴eq \f(1－λ2,－λ)＝－4m2，
∴4m2＝eq \f(1－λ2,λ)＝λ＋eq \f(1,λ)－2.
令f(λ)＝λ＋eq \f(1,λ)－2，易知f(λ)在[9,16]上单调递增，
∴4m2∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(64,9)，\f(225,16)))，∴m2∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(16,9)，\f(225,64)))，
∴m∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(15,8)，－\f(4,3)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(15,8))).
∴l在y轴上的截距－eq \f(1,m)的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，－\f(8,15)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(8,15)，\f(3,4))).
2．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率是eq \f(\r(2),2)，原点到直线eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1的距离等于eq \f(2\r(3),3).
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，3))，若椭圆C上总存在两个点A，B关于直线y＝x＋m对称，且3eq \(QA,\s\up6(→))·eq \(QB,\s\up6(→))0，得n2