2023届高考一轮复习加练必刷题第74练　直线与椭圆的位置关系【解析版】

这是一份2023届高考一轮复习加练必刷题第74练　直线与椭圆的位置关系【解析版】，共7页。
考点一 直线与椭圆的公共点问题
1．直线y＝x＋m与椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1有两个不同的交点，则m的范围是( )
A．－5＜m＜5 B．m＜－eq \r(5)，或m＞eq \r(5)
C．m＜eq \r(5) D．－eq \r(5)＜m＜eq \r(5)
答案 D
解析 将直线与椭圆联立可得5x2＋8mx＋4m2－4＝0，Δ＝64m2－20(4m2－4)>0，解得－eq \r(5)0)右焦点的直线x＋y－eq \r(3)＝0交椭圆于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为eq \f(1,2)，则椭圆的方程为( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,3)＝1
C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1
答案 B
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)．直线x＋y－eq \r(3)＝0过右焦点，所以右焦点为(eq \r(3)，0)，故c＝eq \r(3).
直线AB的斜率为－1，所以eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－1，P为AB的中点，所以x0＝eq \f(x1＋x2,2)，y0＝eq \f(y1＋y2,2)，将A，B两点代入椭圆方程可得
eq \f(x\\al(2,1),a2)＋eq \f(y\\al(2,1),b2)＝1，①
eq \f(x\\al(2,2),a2)＋eq \f(y\\al(2,2),b2)＝1，②
①－②得eq \f(b2,a2)＝eq \f(y0,x0)，又OP的斜率为eq \f(y0,x0)＝eq \f(1,2)，所以a2＝2b2，又c＝eq \r(3)，a2＝b2＋c2，所以a2＝6，b2＝3，所以椭圆的方程为eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,3)＝1.
8．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)))，则椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,4) D.eq \f(\r(3),2)
答案 B
解析 ∵FP的斜率为－eq \f(b,c)，FP∥l.
∴直线l的斜率为－eq \f(b,c).
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)＋\f(y\\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\\al(2,2),a2)＋\f(y\\al(2,2),b2)＝1))得eq \f(y\\al(2,1),b2)－eq \f(y\\al(2,2),b2)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)－\f(x\\al(2,2),a2)))，
即eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(b2x1＋x2,a2y1＋y2)，
∵AB的中点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)))，
∴－eq \f(b,c)＝－eq \f(2b2,a2)，
∴a2＝2bc，
∴b2＋c2＝2bc，
∴b＝c，
∴a＝eq \r(2)c，
∴椭圆的离心率为eq \f(\r(2),2).
考点四 距离
9．点M为椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1上一点，则M到直线x＋2y－10＝0的距离的最小值为( )
A．3eq \r(5) B．2eq \r(5)
C.eq \r(5) D.eq \f(\r(5),2)
答案 C
解析 设与直线x＋2y－10＝0平行的直线方程为x＋2y＋m＝0，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y＋m＝0，,\f(x2,9)＋\f(y2,4)＝1，))
得25x2＋18mx＋9m2－144＝0，由(18m)2－100(9m2－144)＝0，得m＝±5，当m＝－5时，直线方程为x＋2y－5＝0，此时直线x＋2y－10＝0与直线x＋2y－5＝0的距离d＝eq \f(|－10＋5|,\r(5))＝eq \r(5)，即所求距离的最小值为eq \r(5).
10．(2022·扬州模拟)已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1(0