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    2023届高考一轮复习加练必刷题第61练 几何法求空间角【解析版】

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    2023届高考一轮复习加练必刷题第61练 几何法求空间角【解析版】

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    这是一份2023届高考一轮复习加练必刷题第61练 几何法求空间角【解析版】,共10页。
    61 几何法求空间角考点一 异面直线所成的角1(2022·长春质检)在长方体ABCDA1B1C1D1ABAD1AA1则异面直线AD1A1C1所成角的余弦值为(  )A.  B.  C.  D.答案 D解析 连接AC(图略)AA1CC1AA1CC1四边形AA1C1C为平行四边形,A1C1AC,则D1AC即为异面直线AD1A1C1所成的角或其补角,cosD1AC.2已知正四面体ABCDM为棱AB上一个动点N为棱CD上靠近点C的三等分点记直线MNBC所成角为θsin θ的最小值为(  )A.  B.  C.  D.答案 A解析 不妨设正四面体ABCD的棱长为3,则该四面体的高为,连接ANBNBNAN要求直线MNBC所成的最小角,即为直线BC与平面ABN所成的角,记点C到平面ABN的距离为h由等体积法可知VCABNVABCN·SABN·h·SBCN·解得h所以直线BC与平面ABN所成角的正弦值为所以sin θ的最小值为.3(2022·海口模拟)直四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长均相等ADC120°MBB1上一动点A1MMC取得最小值时直线A1MB1C所成角的余弦值为(  )A.  B.  C.  D.答案 A解析 如图,设直四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱长为2A1MMC取得最小值时,MBB1的中点,连接A1D,则A1DB1C,则DA1M为直线A1MB1C所成角(或其补角)此时A1D2A1M∵∠ADC120°∴△ABD为等边三角形,得BD2DM,则A1MD为等腰三角形,可得cosDA1M.考点二 直线与平面所成的角4如图在正方体ABCDA1B1C1D1EFG分别为棱A1B1ADCC1的中点则对角线BD1与平面EFG所成角的大小为(  )A.  B.  C.  D.答案 D解析 如图,在正方体中取棱B1C1AA1CD的中点MNP连接EMMGGPPFFNNE,得到正六边形ENFPGM连接ACBD,则ACBD,又DD1ACBDDD1D所以AC平面BDD1,又BD1平面BDD1ACBD1,又ACPF,则PFBD1同理可得NFBD1,且PFNFF,故BD1平面ENFPGM所以对角线BD1与平面EFG所成角的大小为.5已知EFO分别是正方形ABCD的边BCAD及对角线AC的中点ACD沿着AC进行翻折构成三棱锥则在翻折过程中直线EF与平面BOD所成角的余弦值的取值范围为(  )A.   B.C.   D.答案 A解析 如图所示,作EHOBOBH,设直线EF与平面BOD的交点为M,连接MHEHOBEHOD,且ODOBOODOB平面BODEH平面BODHME为直线EF与平面BOD所成的角,因为MH平面BOD,则EHMH所以cosHMEsinHME令正方形ABCD的边长为1ACHEOCAC在翻折过程中,EF与平面BOD的交点M在平面ABC内的射影,由点O向点H移动,EM越来越小,且EH<EM<OE所以<sinHME<<sinHME<1所以<HME<0<cosHME<所以直线EF与平面BOD所成角的余弦值的取值范围为.6在直四棱柱ABCDA1B1C1D1已知ABC120°四边形ABCD是边长为2的菱形AA14E为线段BC上的动点BE________A1E与底面ABCD所成角为60°.答案 1解析 如图所示,连接AE因为AA1底面ABCD,所以A1EAA1E与底面ABCD所成的角,即A1EA60°又因为AA14,所以tan 60°,解得AEBEm(0m2),在ABE中,AB2ABE120°AE由余弦定理可得222m22×2×m×cos 120°整理得3m26m40,解得m1.考点三 二面角7如图锐二面角αlβ的棱上有AB两点直线ACBD分别在这个二面角的两个半平面内且都垂直于AB.已知AB4ACBD6CD8则锐二面角αlβ的平面角的余弦值是(  )A.  B.  C.  D.答案 B解析 过点BBEAC,且BEAC,连接DECE因为ACAB,所以BEAB因为BDABBDBEB,所以DBE是二面角αlβ的平面角,AB平面DBE,所以ABDE,所以CEDE因为AB4CD8所以DE4所以cosDBE.8已知四棱锥SABCD的底面是正方形侧棱长均相等E是线段AB上的点(不含端点)SEBC所成的角为θ1SE与平面ABCD所成的角为θ2二面角SABC的平面角为θ3(  )Aθ1θ2θ3   Bθ3θ2θ1Cθ1θ3θ2   Dθ2θ3θ1答案 D解析 如图所示,O为正方形ABCD的中心,MAB的中点,EBC的平行线EF,交CDFOONEFN,连接SOSNSESMOMOESO底面ABCDOMAB因此SENθ1SEOθ2SMOθ3从而tan θ1tan θ2tan θ3因为SNSOEOOM所以tan θ1tan θ3tan θ2,即θ1θ3θ2.9(2022·长沙模拟)已知二面角αlβ的大小为140°直线ab分别在平面αβ内且都垂直于棱lab所成角的大小为________答案 40°10(2022·厦门外国语学校质检)已知正方体ABCDA1B1C1D1则二面角AB1D1C的正弦值为________答案 解析 如图,连接AD1AB1ACB1D1,取B1D1的中点F,连接AFCF由于AD1AB1B1D1都是正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线,所以AD1AB1B1D1所以AB1D1是等边三角形,又FB1D1的中点,所以AFB1D1,同理CFB1D1所以AFC是二面角AB1D1C的平面角,不妨设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,则易得ACaAFCFa.AFC中,根据余弦定理得cosAFC.0<AFC所以sinAFC即二面角AB1D1C的正弦值为.11.(多选)如图在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1P在线段AD1上运动则下列命题正确的是(  )A异面直线C1PCB1所成的角为定值B直线CP和平面ABC1D1所成的角为定值C三棱锥DBPC1的体积为定值D直线CD和平面BPC1平行答案 ACD解析 对于A,因为在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动,CB1平面ABC1D1,因为C1P平面ABC1D1,所以CB1C1P故这两条异面直线所成的角恒为定值90°故选项A正确;对于B,令BC1B1C的交点为O(图略)CPO即为直线CP与平面ABC1D1所成的角,当点P移动时,CPO是变化的,故直线CP和平面ABC1D1所成的角不是定值,故选项B错误;对于C,三棱锥DBPC1的体积等于三棱锥PDBC1的体积,DBC1的面积为定值,因为PAD1,而AD1平面BDC1所以点A到平面DBC1的距离即为点P到该平面的距离,所以三棱锥DBPC1的体积为定值,故选项C正确;对于D,直线CD平面ABC1D1,则直线CD平面BPC1,故选项D正确12(多选)如图在矩形ABCDAB4AD2F为线段CD上一点且满足DF3FC现将DAF沿AF折起使得D折到D使得平面ABD′⊥平面ABC则下列结论正确的是(  )A线段BD上存在一点P(异于端点)使得直线ADCP垂直B线段BD上存在一点P(异于端点)使得直线CP平面ADFC直线DF与平面ABC所成角的正弦值为D平面DBC与平面ABC所成锐二面角的正切值为答案 BCD解析 如图所示,过点DDEAB,垂足为E因为平面ABD′⊥平面ABC,则DE平面ABCEHAF,垂足为H,连接DH因为AFDE,且EHDEEEHDE平面DEH所以AF平面DEH,又DH平面DEHAFDH因为AD2DF3,则AFDHAHEHDEAEBE4AE连接EF,则DFE为直线DF与平面ABC所成的角,所以sinDFE故选项C正确;因为BCAB,平面ABD′⊥平面ABC,且平面ABD′∩平面ABCABBC平面ABCBC平面ABD,又BD平面ABD所以BCBDEBD为平面DBC与平面ABC所成锐二面角的平面角,tanEBD故选项D正确;当点P位于靠近D的线段DB的四等分点时,过点PAB的平行线交DA于点RPRCF,且PRCF所以四边形PRFC为平行四边形,CPFR,又CP平面ADFFR平面ADF所以CP平面ADF故选项B正确;过点AAQBD,垂足为Q因为BC平面ABD,且BC平面CBD则平面BCD′⊥平面ABD,又平面BCD′∩平面ABDBDAQ平面ABD所以AQ平面BCD,又CP平面BCDAQCP假设CPAD,因为AQADAAQAD平面ABDCP平面ABD,又BD平面ABD所以CPBD,则点P与点B重合,这与题意矛盾,所以CP不可能与AD垂直,故选项A错误13(2022·杭州高级中学模拟)在三棱锥DABCABC是边长为2的等边三角形DADB二面角DABC120°则三棱锥DABC外接球的半径为________答案 解析 如图,取AB的中点E,连接CEDEDADBCACB,所以DEABCEAB所以CED为二面角DABC的平面角,又二面角DABC120°,所以CED120°因为DADBAB2,所以AB2AD2BD2,所以ADDB所以ABD为直角三角形,过点E作平面ABD的垂线,ABC的外心为O1,过O1作平面ABC的垂线,设两垂线交于O,则O为三棱锥DABC外接球的球心,连接OCCED120°OEED,所以OEO130°,又CE所以在RtOO1E中,O1ECE所以OO1O1E·tanOEO1·tan 30°RtOO1C中,CO1CE,所以OC所以三棱锥DABC外接球的半径为.14.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一它的形状可视为一个正四棱锥古希腊历史学家希罗多德记载胡夫金字塔的每一个侧面三角形的面积等于金字塔高的平方则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 ________侧面与底面所成二面角的余弦值为 ________.答案  解析 如图,在正四棱锥PABCD中,O为底面ABCD的中心,MAD的中点,设底面边长为ABa,侧棱PAm则四棱锥的高PO斜高PM因为侧面三角形的面积等于高的平方,所以·AD·PMPO2·a·m2a2整理得4250解得m2a2>0m2>a2>所以于是侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为因为PMADOMAD,所以PMO即为侧面与底面所成的二面角的平面角,所以cosPMO.

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