2023届高考一轮复习加练必刷题第57练　球的切、接问题【解析版】

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考点一 定义法
1．(2022·荆州中学模拟)已知三棱锥D­ABC的四个顶点在球O的球面上，若AB＝AC＝BC＝DB＝DC＝1，当三棱锥D­ABC的体积取到最大值时，球O的表面积为( )
A.eq \f(5π,3) B．2π C．5π D.eq \f(20π,3)
答案 A
解析 如图所示，
当三棱锥D－ABC的体积取到最大值时，则平面ABC⊥平面DBC.取BC的中点G，连接AG，DG，则AG⊥BC，DG⊥BC，分别取△ABC与△DBC的外心E，F，分别过E，F作平面ABC与平面DBC的垂线，相交于点O，连接BO，OG，则O为三棱锥D－ABC外接球的球心，由AB＝AC＝BC＝DB＝DC＝1，得正方形OEGF的边长为eq \f(\r(3),6)，则OG＝eq \f(\r(6),6)，∴三棱锥D－ABC的外接球的半径R＝eq \r(OG2＋BG2)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),6)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝eq \r(\f(5,12))，
∴球O的表面积为4π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(5,12))))2＝eq \f(5π,3).
2．(2022·云南师大附中模拟)已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，AA1＝3，设该直三棱柱的外接球的表面积为S1，该直三棱柱内部半径最大的球的表面积为S2，则eq \f(S1,S2)等于( )
A.eq \f(5,2) B.eq \f(34,9) C.eq \f(9,2) D.eq \f(17,2)
答案 D
解析 易知Rt△ABC的外接圆直径为AC，所以半径长为eq \f(5,2)，
设外接球半径为R，则R2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2＝eq \f(17,2)，
∴S1＝4πR2＝34π，
设Rt△ABC的内切圆半径为r，
则eq \f(1,2)×(3＋4＋5)·r＝eq \f(1,2)×3×4，∴r＝1，
∵2r＝2eq \f(R2,3)时，V′