2023届高考一轮复习加练必刷题第43练　平面向量基本定理及坐标表示【解析版】

这是一份2023届高考一轮复习加练必刷题第43练　平面向量基本定理及坐标表示【解析版】，共5页。
考点一 平面向量基本定理的应用
1．(多选)已知{a，b}是平面向量的一个基底，下列能组成平面向量的一个基底的是( )
A．{a－b，a} B．{3a＋4b，b}
C．{a－b，－a＋b} D．{2a＋3b,2a－3b}
答案 ABD
2．在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是( )
A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)
答案 B
解析 对于A，C，D都有e1∥e2，所以只有B成立．
3．如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB＝BC＝CD＝3AD，点E为线段CD上靠近C的三等分点，点F为线段BC的中点，则eq \(FE,\s\up6(→))等于( )
A．－eq \f(11,18)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(5,18)eq \(AC,\s\up6(→))
B．－eq \f(11,18)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(11,9)eq \(AC,\s\up6(→))
C．－eq \f(11,18)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(4,9)eq \(AC,\s\up6(→))
D．－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(5,6)eq \(AC,\s\up6(→))
答案 A
解析 eq \(FE,\s\up6(→))＝eq \(FC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＋eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(BA,\s\up6(→))＋\f(2,3)\(CB,\s\up6(→))))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,9)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(2,9)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(11,18)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(5,18)eq \(AC,\s\up6(→)).
考点二 平面向量的坐标运算
4．设A(0,1)，B(1,3)，C(－1,5)，D(0，－1)，则eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))等于( )
A．－2eq \(AD,\s\up6(→)) B．2eq \(AD,\s\up6(→))
C．－3eq \(AD,\s\up6(→)) D．3eq \(AD,\s\up6(→))
答案 C
解析 由题意得eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1,4)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(0，－2)，所以eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝(0,6)＝－3(0，－2)＝－3eq \(AD,\s\up6(→)).
5．(2022·东莞模拟)已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－2)，若|a＋b|＝|2a－b|，则实数x的值为( )
A.eq \f(4,9) B.eq \f(1,2) C.eq \f(9,4) D．2
答案 C
解析 ∵a＝(2,1)，b＝(x，－2)，
∴a＋b＝(2＋x，－1)，2a－b＝(4－x,4)，又|a＋b|＝|2a－b|，
∴eq \r(2＋x2＋－12)＝eq \r(4－x2＋42)，解得x＝eq \f(9,4).
6．(2022·重庆质检)如图，原点O是△ABC内一点，顶点A在x轴上，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝2，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝3，若eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则eq \f(μ,λ)等于( )
A．－eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(3),3) C．－eq \r(3) D.eq \r(3)
答案 D
解析 由三角函数定义，易知A(2,0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，
C(3cs 240°，3sin 240°)，即Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，－\f(3\r(3),2)))，
因为eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，－\f(3\r(3),2)))＝λ(2,0)＋μeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2λ－\f(\r(3),2)μ＝－\f(3,2)，,\f(1,2)μ＝－\f(3\r(3),2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－3，,μ＝－3\r(3).))
所以eq \f(μ,λ)＝eq \r(3).
考点三 向量共线的坐标表示
7．已知点A(1，－2)，若向量eq \(AB,\s\up6(→))与向量a＝(2,3)同向，且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(13)，则点B的坐标为( )
A．(2,3) B．(－2,3)
C．(3,1) D．(3，－1)
答案 C
8．(2022·临沂模拟)已知向量m＝(a，－1)，n＝(2b－1,3)(a>0，b>0)，若m∥n，则eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)的最小值为( )
A．12 B．8＋4eq \r(3)
C．15 D．10＋2eq \r(3)
答案 B
解析 ∵m＝(a，－1)，n＝(2b－1,3)(a>0，b>0)，
m∥n，
∴3a＋2b－1＝0，即3a＋2b＝1，
∴eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)))(3a＋2b)＝8＋eq \f(4b,a)＋eq \f(3a,b)
≥8＋2eq \r(\f(4b,a)·\f(3a,b))＝8＋4eq \r(3)，
当且仅当eq \f(4b,a)＝eq \f(3a,b)，3a＋2b＝1，即a＝eq \f(3－\r(3),6)，b＝eq \f(\r(3)－1,4)时取等号，
∴eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)的最小值为8＋4eq \r(3).
9．已知点P(－3,5)，Q(2,1)，向量m＝(2λ－1，λ＋1)，若eq \(PQ,\s\up6(→))∥m，则实数λ＝________.
答案 －eq \f(1,13)
10．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－3b共线，则eq \f(m,n)＝________.
答案 －eq \f(1,3)
解析 因为eq \f(2,－1)≠eq \f(3,2)，所以a与b不共线，a－3b＝(2,3)－3(－1,2)＝(5，－3)≠0，那么当ma＋nb与a－3b共线时，有eq \f(m,1)＝eq \f(n,－3)，即得eq \f(m,n)＝－eq \f(1,3).
11．(多选)已知向量m＝(1,0)，n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))，则( )
A．|m|＝eq \r(2)|n|
B．(m－n)∥n
C．(m－n)⊥n
D．m与－n的夹角为eq \f(3π,4)
答案 ACD
12．(多选)(2022·济南调研)已知{e1，e2}是平面α内所有向量的一个基底，O为α内的定点，对于α内任意一点P，当eq \(OP,\s\up6(→))＝xe1＋ye2时，则称有序实数对(x，y)为点P的广义坐标．若平面α内的点A，B的广义坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则下列命题正确的是( )
A．线段AB的中点的广义坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))
B．A，B两点间的距离为eq \r(x1－x22＋y1－y22)
C．向量eq \(OA,\s\up6(→))平行于向量eq \(OB,\s\up6(→))的充要条件是x1y2＝x2y1
D．向量eq \(OA,\s\up6(→))垂直于向量eq \(OB,\s\up6(→))的充要条件是x1y2＋x2y1＝0
答案 AC
解析 设线段AB的中点为M，则eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(x1＋x2)e1＋eq \f(1,2)(y1＋y2)e2，所以点M的广义坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，A正确；
由于该坐标系不一定是平面直角坐标系，所以B错误；
由向量平行得eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))，即(x1，y1)＝λ(x2，y2)，所以x1y2＝x2y1，C正确；
eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))垂直，则eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，所以x1x2eeq \\al(2,1)＋(x1y2＋x2y1)e1·e2＋y1y2eeq \\al(2,2)＝0，即x1y2＋x2y1＝0不是eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))垂直的充要条件，D不正确．
13．(2022·东北师大附中等五校联考)已知向量a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，tan α))，b＝(cs α，1)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且a∥b，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))等于( )
A．－eq \f(1,3) B.eq \f(1,3) C.eq \f(2\r(2),3) D．－eq \f(2\r(2),3)
答案 C
解析 向量a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，tan α))，b＝(cs α，1)，且a∥b，
则eq \f(1,3)＝tan α·cs α＝sin α，
又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以cs α＝－eq \f(2\r(2),3)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))＝－cs α＝eq \f(2\r(2),3).
14．在△ABC中，点D，E是线段BC上的两个动点，且eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，则xy的最大值为________．
答案 1
解析 设DE的中点为M，连接AM(如图)，
则eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＝2eq \(AM,\s\up6(→))
＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，
所以eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(x,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(y,2)eq \(AC,\s\up6(→))，
又B，C，M三点共线，
所以x＋y＝2，且x>0，y>0，
又x＋y≥2eq \r(xy)，当且仅当x＝y＝1时取等号，
所以0