2023届高考一轮复习加练必刷题第48练　数列的概念【解析版】

这是一份2023届高考一轮复习加练必刷题第48练　数列的概念【解析版】，共6页。试卷主要包含了若数列{bn}满足，数列{an}满足等内容，欢迎下载使用。

考点一 由an与Sn的关系求通项公式
1．(2022·长春外国语学校模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，当Sn＝n2－n时，a5等于( )
A．20 B．12 C．8 D．4
答案 C
解析 由题意知，a5＝S5－S4＝20－12＝8.
2．(2022·郑州模拟)若数列{bn}满足：b1＋3b2＋7b3＋…＋(2n－1)bn＝2n，则数列{bn}的通项公式为( )
A．bn＝2n－1 B．bn＝2n－1
C．bn＝eq \f(1,2n－1) D．bn＝eq \f(2,2n－1)
答案 D
解析 由题意知b1＋3b2＋7b3＋…＋(2n－1)bn＝2n，①
当n>1时，b1＋3b2＋7b3＋…＋(2n－1－1)bn－1
＝2n－2，②
由①－②得，(2n－1)bn＝2⇒bn＝eq \f(2,2n－1).
当n＝1时，b1＝2×1＝2也满足上式，即bn＝eq \f(2,2n－1).
3．设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝3，an＋1＝2Sn＋3(n∈N*)，则an＝________.
答案 3n
解析 ∵a1＝3，an＋1＝2Sn＋3(n∈N*)，
当n≥2时，由an＋1＝2Sn＋3，得an＝2Sn－1＋3，
两式相减，得an＋1－an＝2Sn－2Sn－1＝2an，
∴an＋1＝3an，∴eq \f(an＋1,an)＝3，
当n＝1时，a1＝3，a2＝2S1＋3＝2a1＋3＝9，则eq \f(a2,a1)＝3.
∴数列{an}是以3为首项，3 为公比的等比数列，
∴an＝3×3n－1＝3n.
考点二 由数列的递推关系求通项公式
4．(2022·南昌十中模拟)在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋n，则a9等于( )
A．20 B．30 C．36 D．28
答案 A
解析 因为a1＝2,2an＋1＝2an＋n，所以an＋1－an＝eq \f(n,2)，
所以a9＝(a9－a8)＋(a8－a7)＋…＋(a2－a1)＋a1，
所以a9＝eq \f(8,2)＋eq \f(7,2)＋…＋eq \f(1,2)＋2＝eq \f(1＋2＋…＋7＋8,2)＋2＝eq \f(1,2)×eq \f(1＋8×8,2)＋2＝20.
5．已知数列{an}满足a1＝eq \f(1,3)，an＝eq \f(2n－3,2n＋1)an－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项an等于( )
A.eq \f(1,4n2－1) B.eq \f(1,2n2＋1)
C.eq \f(1,2n－12n＋3) D.eq \f(1,n＋1n＋3)
答案 A
解析 由数列{an}满足a1＝eq \f(1,3)，an＝eq \f(2n－3,2n＋1)an－1(n≥2，n∈N*)，
整理得eq \f(an,an－1)＝eq \f(2n－3,2n＋1)，eq \f(an－1,an－2)＝eq \f(2n－5,2n－1)，…，eq \f(a2,a1)＝eq \f(1,5)，
所有的项相乘得eq \f(an,a1)＝eq \f(1×3,2n＋12n－1)，
整理得，an＝eq \f(1,4n2－1).
6．数列{an}满足：a1＝1，且an＋1－an＝2n＋1，则an＝________.
答案 2n＋n－2
解析 因为an＋1－an＝2n＋1，所以an－an－1＝2n－1＋1，an－1－an－2＝2n－2＋1，an－2－an－3＝2n－3＋1，…，a4－a3＝23＋1，a3－a2＝22＋1，a2－a1＝21＋1，
将上述式子相加可得，
an－a1＝2＋22＋…＋2n－1＋(n－1)＝eq \f(21－2n－1,1－2)＋n－1＝2n＋n－3，
因为a1＝1，所以an＝2n＋n－2，故数列{an}的通项公式为an＝2n＋n－2.
考点三 数列的性质
7．已知数列{an}满足an－an－1＝n2＋tn，则“t≥0”是“数列{an}为递增数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若数列{an}是递增数列，则an－an－1＝n2＋tn>0，即n(n＋t)>0，
由于n∈N*，所以n＋t>0对任意的n∈N*成立，
所以t>－1.
由于eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))⊆(－1，＋∞)，故“t≥0”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件．
8．(多选)(2022·河北衡水中学模拟)已知数列{an}满足an＝n·kn(n∈N*,0