2023届高考一轮复习加练必刷题第47练　复　数【解析版】

这是一份2023届高考一轮复习加练必刷题第47练　复　数【解析版】，共5页。试卷主要包含了已知2z＝3＋2i，则z等于，等于，z＝2i，则复数z对应的点在等内容，欢迎下载使用。
考点一 复数的概念
1．设z＝i3＋eq \f(2－i,1＋2i)，则z的虚部是( )
A．－1 B．－eq \f(4,5)i C．－2i D．－2
答案 D
解析 z＝i3＋eq \f(2－i,1＋2i)＝－i＋eq \f(2－i1－2i,1＋2i1－2i)＝－i＋eq \f(2－5i＋2i2,5)＝－i－i＝－2i，∴z的虚部为－2.
2．(2021·全国乙卷)设2(z＋eq \x\t(z))＋3(z－eq \x\t(z))＝4＋6i，则z等于( )
A．1－2i B．1＋2i
C．1＋i D．1－i
答案 C
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq \x\t(z)＝a－bi，代入2(z＋eq \x\t(z))＋3(z－eq \x\t(z))＝4＋6i，可得4a＋6bi＝4＋6i，所以a＝1，b＝1，故z＝1＋i.
3．(2022·牡丹江市第三高级中学月考)i为虚数单位，若复数(1＋mi)(i＋2)是纯虚数，则实数m＝________.
答案 2
解析 (1＋mi)(i＋2)＝i＋2＋mi2＋2mi＝2－m＋(2m＋1)i，
因为(1＋mi)(i＋2)是纯虚数，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－m＝0，,2m＋1≠0，))解得m＝2.
考点二 复数的四则运算
4．(2021·全国甲卷)已知(1－i)2z＝3＋2i，则z等于( )
A．－1－eq \f(3,2)i B．－1＋eq \f(3,2)i
C．－eq \f(3,2)＋i D．－eq \f(3,2)－i
答案 B
解析 z＝eq \f(3＋2i,1－i2)＝eq \f(3＋2i,－2i)＝eq \f(3i－2,2)＝－1＋eq \f(3,2)i.
5．(2020·新高考全国Ⅱ)(1＋2i)(2＋i)等于( )
A．－5i B．5i C．－5 D．5
答案 B
解析 (1＋2i)(2＋i)＝2＋i＋4i－2＝5i.
6．设复数z＝eq \f(1－i,1＋i)，f(x)＝x2 022＋x2 021＋…＋x＋1，则f(z)等于( )
A．i B．－i C．1 D．－1
答案 B
解析 ∵z＝eq \f(1－i,1＋i)＝eq \f(1－i2,1＋i1－i)＝eq \f(－2i,2)＝－i，
∴f(z)＝f(－i)＝(－i)2 022＋(－i)2 021＋…＋(－i)＋1.
∵(－i)＋(－i)2＋(－i)3＋(－i)4＝－i－1＋i＋1＝0，
∴f(z)＝505×0－i－1＋1＝－i.
7．(多选)(2022·青岛模拟)已知复数z＝eq \r(3)＋i(i为虚数单位)，eq \x\t(z)为z的共轭复数，若复数z0＝eq \f(\x\t(z),z)，则下列结论正确的是( )
A．z0在复平面内对应的点位于第四象限
B．|z0|＝1
C．z0的实部为eq \f(1,2)
D．z0的虚部为eq \f(\r(3),2)
答案 ABC
解析 ∵z＝eq \r(3)＋i，
∴z0＝eq \f(\x\t(z),z)＝eq \f(\r(3)－i,\r(3)＋i)＝eq \f(\r(3)－i2,\r(3)＋i\r(3)－i)
＝eq \f(3－2\r(3)i＋i2,\r(3)2＋1)＝eq \f(2－2\r(3)i,4)＝eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)i，
则z0在复平面内对应的点位于第四象限，故A正确；
|z0|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))2)＝1，故B正确；
z0的实部为eq \f(1,2)，故C正确；
z0的虚部为－eq \f(\r(3),2)，故D错误．
考点三 复数的几何意义
8．z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则复数z对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 A
解析 (1＋i)z＝2i(i为虚数单位)，∴z＝eq \f(2i,1＋i)＝eq \f(2i1－i,1＋i1－i)＝i＋1，则z在复平面内对应的点(1,1)在第一象限．
9．(2022·福建三明一中模拟)复数z满足|z－2|＝1，则|z|的最大值为________．
答案 3
解析 设z＝x＋yi(x，y∈R)，
∵|z－2|＝1，∴复数z对应的点Z(x，y)在以A(2,0)为圆心，1为半径的圆上运动．由图可知当点Z位于点B(3,0)处时，点Z到原点的距离最大，最大值为3.
10．已知复数z1＝eq \f(2－i,2＋i)在复平面内对应的点为A，复数z2在复平面内对应的点为B，若向量eq \(AB,\s\up6(→))与虚轴垂直，则z2的虚部为________．
答案 －eq \f(4,5)
解析 z1＝eq \f(2－i,2＋i)＝eq \f(2－i2,2＋i2－i)＝eq \f(3,5)－eq \f(4,5)i，
所以Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－\f(4,5)))，
设复数z2对应的点B(x0，y0)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－\f(3,5)，y0＋\f(4,5)))，
又向量eq \(AB,\s\up6(→))与虚轴垂直，
所以y0＋eq \f(4,5)＝0，故z2的虚部y0＝－eq \f(4,5).
11．(多选)已知复数z满足i2k＋1z＝2＋i(k∈Z)，则复数z在复平面内对应的点可能位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 BD
解析 ∵i2k＋1z＝2＋i，
∴z＝eq \f(2＋i,i2k＋1)，
∵i1＝i5＝…＝i，i3＝i7＝…＝－i，
∴当k为奇数时，z＝eq \f(2＋i,i2k＋1)＝eq \f(2＋i,－i)＝eq \f(2＋ii,－i×i)＝－1＋2i，
在复平面内对应的点为(－1,2)，位于第二象限；
当k为偶数时，z＝eq \f(2＋i,i2k＋1)＝eq \f(2＋i,i)＝eq \f(2＋ii,i×i)＝1－2i，
在复平面内对应的点为(1，－2)，位于第四象限．
故复数z在复平面内对应的点位于第二象限或第四象限．
12．(多选)(2022·日照模拟)已知复数z＝1＋cs 2θ＋isin 2θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)