2023届高考一轮复习加练必刷题第30练　任意角和弧度制、三角函数的概念【解析版】

这是一份2023届高考一轮复习加练必刷题第30练　任意角和弧度制、三角函数的概念【解析版】，共7页。试卷主要包含了下列说法正确的是，若α为第三象限角，则等内容，欢迎下载使用。


考点一 角及其表示
1．(多选)已知A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，那么A，B，C的关系是( )
A．B＝A∩C B．B∪C＝C
C．A∩B＝B D．A＝B＝C
答案 BC
解析 对于A选项，A∩C除了锐角，还包括其他角，比如－330°，所以A选项错误；
对于B选项，锐角是小于90°的角，故B选项正确；
对于C选项，锐角是第一象限角，故C选项正确；
对于D选项，A，B，C中角的范围不一样，所以D选项错误．
2．(2022·天水模拟)已知角α是第三象限角，则角eq \f(α,2)是( )
A．第一或第二象限角
B．第二或第三象限角
C．第一或第三象限角
D．第二或第四象限角
答案 D
解析 方法一 取α＝220°，则eq \f(α,2)＝110°，此时角eq \f(α,2)为第二象限角；取α＝580°，则eq \f(α,2)＝290°，此时角eq \f(α,2)为第四象限角．
方法二 如图，
先将各象限分成两等份，再从x轴正半轴起，逆时针依次将各区域标上一、二、三、四，
则标有三的区域即为角eq \f(α,2)的终边所在的区域，
故角eq \f(α,2)为第二或第四象限角．
3．(2022·商丘质检)中央电视台每天晚上的“焦点访谈”是时事、政治性较强的一个节目，其播出时间是在晚上看电视节目人数最多的“黄金时间”，即晚上7点到8点之间的一个时刻开始播出，这一时刻是时针与分针重合的时刻，以高度显示“聚焦”之意，比喻时事、政治的“焦点”，则这个时刻大约是( )
A．7点36分 B．7点38分
C．7点39分 D．7点40分
答案 B
解析 设7点t分(0在7点时，时针OC与分针OD所夹的角为210°，
时针每分钟转0.5°，分针每分钟转6°，
则分针从OD到达OB需旋转6°t，时针从OC到达OA需旋转0.5°t，
于是6°t＝0.5°t＋210°，解得t＝38eq \f(2,11)≈38.
故这个时刻大约是7点38分．
考点二 弧度制及其应用
4．(多选)下列说法正确的是( )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的eq \f(1,360)，1 rad的角是周角的eq \f(1,2π)
C．1 rad的角比1°的角要大
D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关
答案 ABC
解析 对于A，“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，故A正确；
对于B，周角为360°，所以1°的角是周角的eq \f(1,360)，周角为2π弧度，所以1 rad的角是周角的eq \f(1,2π)，故B正确；
对于C，根据弧度制与角度制的互化，可得1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°>1°，故C正确；
对于D，用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径无关，故D错误．
5．已知某扇形的周长是8 cm，面积为4 cm2，则该扇形的圆心角的弧度数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 设扇形的半径为r cm，所对弧长为l cm，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2r＋l＝8，,\f(1,2)lr＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝2，,l＝4，))故α＝eq \f(l,r)＝2.
6．(2022·舒城模拟)在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，将该矩形按照如图所示位置放置在直线AP上，然后不滑动的转动，当它转动一周时(A→A1)叫做一次操作，则经过5次这样的操作，顶点A经过的路线长等于________．
答案 30π
解析 由题意可知一次操作完成，顶点A经过的路线分别是以AB为半径的eq \f(1,4)圆弧，AC为半径的eq \f(1,4)圆弧，AD为半径的eq \f(1,4)圆弧，
所以完成一次操作A经过的路线长为eq \f(1,4)×2π×4＋eq \f(1,4)×2π×5＋eq \f(1,4)×2π×3＝6π，
所以经过5次这样的操作，顶点A经过的路线长等于6π×5＝30π.
考点三 三角函数的概念
7．若α为第三象限角，则( )
A．cs 2α>0 B．cs 2α<0
C．sin 2α>0 D．sin 2α<0
答案 C
解析 因为α为第三象限角，所以π＋2kπ<α可得2π＋4kπ<2α<3π＋4kπ(k∈Z)，
所以2α是第一、二象限角，
所以sin 2α>0，cs 2α不确定．
8．点P从(1,0)出发，沿单位圆按逆时针方向运动eq \f(2π,3)弧长到达Q点，则点Q的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，－\f(\r(3),2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))
答案 A
解析 点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动eq \f(2π,3)弧长到达Q点，
∴∠QOx＝eq \f(2π,3)，
∴Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(2π,3)，sin \f(2π,3)))，
∴Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).
9．设角θ的终边经过点P(－3,4)，那么sin θ＋2cs θ等于( )
A.eq \f(1,5) B．－eq \f(1,5) C．－eq \f(2,5) D.eq \f(2,5)
答案 C
解析 根据三角函数定义知sin θ＝eq \f(4,\r(－32＋42))＝eq \f(4,5)，cs θ＝eq \f(－3,\r(－32＋42))＝－eq \f(3,5)，
所以原式＝eq \f(4,5)＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝－eq \f(2,5).
10．已知0<β<α答案 eq \f(π,3)
解析 ∵P(1,4eq \r(3))，∴|OP|＝7，
∴sin α＝eq \f(4\r(3),7)，cs α＝eq \f(1,7).
又sin αcs β－cs αsin β＝eq \f(3\r(3),14)，
∴sin(α－β)＝eq \f(3\r(3),14).
∵0<β<α∴0<α－β∴cs(α－β)＝eq \f(13,14)，
∴sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcs(α－β)－cs αsin(α－β)
＝eq \f(4\r(3),7)×eq \f(13,14)－eq \f(1,7)×eq \f(3\r(3),14)＝eq \f(\r(3),2).
∵0<β∴β＝eq \f(π,3).
11．(多选)(2022·临高模拟)下列结论正确的是( )
A．－eq \f(7π,6)是第三象限角
B．若圆心角为eq \f(π,3)的扇形的弧长为π，则该扇形面积为eq \f(3π,2)
C．若角α的终边过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，4))，则cs α＝－eq \f(3,5)
D．若角α为锐角，则角2α为钝角
答案 BC
解析 选项A，－eq \f(7π,6)的终边与eq \f(5π,6)的终边相同，为第二象限角，故A不正确；
选项B，设扇形的半径为r，则eq \f(π,3)r＝π，∴r＝3，
∴扇形面积为eq \f(1,2)×3×π＝eq \f(3π,2)，故B正确；
选项C，角α的终边过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，4))，根据三角函数定义，
cs α＝－eq \f(3,5)，故C正确；
选项D，角α为锐角时，0<α12.如图，在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O为圆心，OB为半径作圆弧交OP于点A，若平分△PBO的面积，且∠AOB＝α，则( )
A．tan α＝α
B．tan α＝2α
C．sin α＝2cs α
D．2sin α＝cs α
答案 B
解析 设扇形的半径为r，则扇形的面积为eq \f(1,2)αr2.
在Rt△PBO中，PB＝rtan α，△PBO的面积为eq \f(1,2)r×rtan α，
由题意得eq \f(1,2)r×rtan α＝2×eq \f(1,2)αr2，∴tan α＝2α.
13．已知点P(sin α－cs α，tan α)在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(5π,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(5π,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，\f(3π,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
答案 B
解析 ∵点P(sin α－cs α，tan α)在第一象限，
∴sin α－cs α>0，tan α>0，
即sin α>cs α，tan α>0，
由sin α>cs α，可得eq \f(π,4)＋2kπ<α由tan α>0，可得2kπ<α∴eq \f(π,4)＋2kπ<α当k＝0时，eq \f(π,4)<α∵α∈[0,2π]，
∴eq \f(π,4)<α14．如图，以Ox为始边作钝角α，角α的终边与单位圆相交于点P(x1，y1)，将角α的终边顺时针旋转eq \f(π,3)得到角β，角β的终边与单位圆相交于点Q(x2，y2)，则x2－x1的取值范围为________．
答案 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
解析 由已知得β＝α－eq \f(π,3)，x1＝cs α，
x2＝cs β＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))，
∴x2－x1＝cs β－cs α＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))－cs α＝－eq \f(1,2)cs α＋eq \f(\r(3),2)sin α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))，
∵eq \f(π,2)<α<π，∴eq \f(π,3)<α－eq \f(π,6)∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，
即x2－x1的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).