2023届高考一轮复习加练必刷题第15练　函数的零点与方程的解【解析版】

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考点一 函数零点所在区间的判定
1．函数f(x)＝lg x－eq \f(1,2x)的零点所在区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
答案 B
解析 因为函数f(x)＝lg x－eq \f(1,2x)，
所以f(1)＝lg 1－eq \f(1,21)＝－eq \f(1,2)0，
所以f(1)·f(2)0，则下列说法正确的是( )
A．f(x)在区间(0,1)上一定有零点
B．f(x)在区间(0,1)上一定没有零点
C．f(x)在区间(1,2)上可能有零点
D．f(x)在区间(1,2)上一定有零点
答案 AC
解析 因为f(0)0，f(2)>0，
所以f(0)·f(1)0，
因此无法判断f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，2))上是否有零点．
考点二 函数零点个数的判定
4．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋4x－3，x≤－2，,lg\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)＋x))，x>－2))的零点的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 当x≤－2时，令f(x)＝x2＋4x－3＝0，
解得x＝－2±eq \r(7)，
∵x≤－2，∴x＝－2－eq \r(7)；
当x>－2时，令f(x)＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)＋x))＝0，
解得x＝－eq \f(3,2).
综上，f(x)有2个零点．
5．y＝f(x)为定义在[－5,5]上周期为2的奇函数，则函数y＝f(x)在[－5,5]上零点的个数为( )
A．5 B．6 C．11 D．12
答案 C
解析 因为y＝f(x)为定义在[－5,5]上周期为2的奇函数，
所以f(0)＝0，f(x＋2)＝f(x)，
所以f(2)＝0，f(－2)＝0，f(4)＝0，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4))＝0，
所以f(x＋2)＝f(x)＝－f(－x)，
所以f(1)＝－f(1)，即f(1)＝0，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1))＝0，f(3)＝0，f(－3)＝0，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5))＝0，
feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－5))＝0.
所以函数y＝f(x)在[－5,5]上零点的个数为11.
6．函数f(x)＝2eq \f(x,2)－x2的零点个数为________．
答案 3
解析 由f(x)＝0⇒＝x2，作出函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)))x与y＝x2的部分图象，
可知两函数的图象在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，2))上有两个交点，
并注意到指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)))x的增长速度最终会远远超过幂函数y＝x2的增长速度，
所以两函数在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，＋∞))上必有一个交点，
因此，函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)))x与y＝x2的图象有3个交点，
所以，函数y＝f(x)有3个零点．
考点三 函数零点的应用
7．若函数f(x)＝ax＋b的零点是2(a≠0)，则函数g(x)＝ax2＋bx的零点是( )
A．2 B．2和0
C．0 D．－2和0
答案 B
解析 由条件知f(2)＝0，∴b＝－2a，
∴g(x)＝ax2＋bx＝ax(x－2)的零点为0和2.
8．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x3－3x，x≤0，,－ln x，x>0，))若函数g(x)＝f(x)－a有3个零点，则实数a的取值范围是( )
A．[0,4) B．[0,2)
C．(－∞，4] D．(－∞，2]
答案 B
解析 当x≤0时，函数f(x)＝x3－3x，
可得f′(x)＝3x2－3，
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；
当x∈(－1,0]时，f′(x)