2023届高考一轮复习加练必刷题第16练　函数模型的应用【解析版】

这是一份2023届高考一轮复习加练必刷题第16练　函数模型的应用【解析版】，共8页。
考点一 用函数图象刻画变化过程
1．如图，在△AOB中，点A(2,1)，B(3,0)，点E在射线OB上自O开始移动．设OE＝x，过E作OB的垂线l，记△AOB在直线l左边部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是( )
答案 D
解析 点E在射线OB上自O向右移动过程中，面积的增长先快，后慢，最后不变化，结合选项，只有选项D符合．
2．水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个口进出水的速度如图甲、乙所示，某天0时到6时该水池的蓄水量如图丙所示，给出以下3个论断：
①0时到3时只进水不出水；②3时到4时不进水只出水；③4时到5时不进水也不出水．则一定正确的论断是( )
A．① B．①② C．①③ D．①②③
答案 A
3．(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示，根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是( )
A．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用
B．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒
C．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用
D．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒
答案 ABC
解析 从图象可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用，该药物的血药浓度应大于最低有效浓度，药物发挥治疗作用，A正确；第一次服药后3小时与第2次服药1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，B正确，D错误；服药5.5小时后，血药浓度小于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，正好能发挥作用，C正确．
考点二 已知函数模型的实际问题
4.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100 ℃，水温y(℃)与时间t(min)近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度y(℃)与时间t(min)近似满足的函数关系式为y＝80＋b(a，b为常数)，通常这种热饮在40 ℃时，口感最佳．某天室温为20 ℃时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为( )
A．35 min B．30 min
C．25 min D．20 min
答案 C
解析 由题意，当0≤t≤5时，函数图象是一条线段，当t≥5时，函数的解析式为y＝80＋b，将(5,100)和(15,60)分别代入解析式y＝80＋b，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(100＝80＋b，,60＝80＋b，))
解得a＝5，b＝20，
故t≥5时函数的解析式为y＝80＋20.
令y＝40，解得t＝25.
∴最少需要的时间为25 min.
5．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(mg/L)与时间t(h)间的关系为P＝P0e－kt，如果在前5个小时消除了20%的污染物，则污染物减少50%需要花多少时间(精确到1 h，参考数据：ln 2≈0.69，ln 10≈2.30)( )
A．13 h B．15 h
C．18 h D．20 h
答案 B
解析 ∵前5个小时消除了20%的污染物，
∴(1－20%)P0＝P0e－5k，
即k＝－eq \f(ln 0.8,5)，
当污染物减少50%时，P＝(1－50%)P0＝0.5P0，
∴0.5P0＝，
∴t＝eq \f(5ln 0.5,ln 0.8)＝－eq \f(5ln 2,3ln 2－ln 10)≈－eq \f(5×0.69,3×0.69－2.30)＝15(h)．
6．某学校决定对教室用药熏消毒法进行消毒，根据药学原理，从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10t，0≤t≤0.1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))t－0.1，t>0.1，))据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习．那么从药物释放开始，至少需要经过__________小时后，学生才能回到教室．
答案 0.6
解析 当0≤t≤0.1时，y＝10t＝0.25，t＝0.025，但是随着时间的增加，室内的含药量也在增加，
∴此时学生不能回到教室，
∴有y≤0.25＝eq \f(1,4)，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))t－0.1≤eq \f(1,4)，
∴t－0.1≥eq \f(1,2)，∴t≥0.6，
∴至少需0.6小时后，学生才能回到教室．
7．某工厂常年生产红木家具，根据预测可知，该产品近10年的产量平稳增长．记2017年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(单位：万件)之间的关系如下表所示，
若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：
①f(x)＝ax＋b，②f(x)＝2x＋a，③f(x)＝＋a.则你认为最适合的函数模型的序号为________．
答案 ①
解析 符合条件的是①f(x)＝ax＋b，
若模型为f(x)＝2x＋a，
则由f(1)＝2＋a＝4，得a＝2，
即f(x)＝2x＋2，
此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与已知相差太大，不符合，
若模型为f(x)＝＋a，
则f(x)是减函数，与已知不符合．
考点三 构造函数模型的实际问题
8．一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元，卖出的价格是每份3元，卖不完的还可以以每份0.8元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，且每天从报社买进报纸的份数都相同，要使推销员每月所获得的利润最大，则每天应该从报社买进报纸( )
A．215份 B．350份
C．400份 D．250份
答案 C
解析 设每天从报社买进x(250≤x≤400，x∈N)份报纸时，每月所获利润为y元，具体情况如下表．
则推销员每月所获得的利润
y＝[(60x＋7 500)＋(8x－2 000)]－60x
＝8x＋5 500(250≤x≤400，x∈N)，
又由y＝8x＋5 500在[250,400]上单调递增，
所以当x＝400时，y取得最大值8 700.
9.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为________．
答案 5
解析 根据图象求得y＝－(x－6)2＋11，
∴年平均利润eq \f(y,x)＝12－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(25,x)))，
∵x＋eq \f(25,x)≥10，即eq \f(y,x)≤2，当且仅当x＝5时等号成立．
∴要使平均利润最大，客车营运年数为5.
10．大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R与门面经营天数x的关系是R(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(400x－\f(1,2)x2，0≤x≤400，,80 000，x>400，))则总利润最大时，该门面经营的天数是____________．
答案 300
解析 由题意，总利润
y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(300x－\f(1,2)x2－20 000，0≤x≤400，,60 000－100x，x>400，))
当0≤x≤400时，y＝－eq \f(1,2)(x－300)2＋25 000，
所以当x＝300时，ymax＝25 000；
当x>400时，y＝60 000－100x2 000×5%＝100，
得eq \f(2,210－m)(10－m)>1，即2(10－m)>210－m.
令10－m＝t，则2t>2t，
当t＝1或t＝2时，2t＝2t，
当1