2023届高考一轮复习加练必刷题第9练　函数的奇偶性、对称性与周期性【解析版】

这是一份2023届高考一轮复习加练必刷题第9练　函数的奇偶性、对称性与周期性【解析版】，共6页。试卷主要包含了下列函数中，为奇函数的是等内容，欢迎下载使用。

考点一 函数的奇偶性
1．(多选)下列函数中，为奇函数的是( )
A．y＝2x－2－x
B．y＝ln (x＋1)＋ln (x－1)
C．y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x≥0，,－x2，x<0))
D．y＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x2＋1)＋x))
答案 ACD
解析 对于A，设f(x)＝2x－2－x，定义域为R，f(－x)＝－f(x)，为奇函数；
对于B，y＝ln (x＋1)＋ln (x－1)，定义域为(1，＋∞)，所以为非奇非偶函数；
对于C，作出函数的图象，如图实线部分所示，
根据图象可知，为奇函数；
对于D，设f(x)＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x2＋1)＋x))，定义域为R，f(x)＋f(－x)＝ln 1＝0，
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
2．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)等于( )
A．e－x－1 B．e－x＋1
C．－e－x－1 D．－e－x＋1
答案 D
解析 ∵f(x)是奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1.
∴当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1，
得f(x)＝－e－x＋1.
3．已知函数f(x)＝x3－3sin x＋2，若f(m)＝3，则f(－m)等于( )
A．－3 B．－1
C．1 D．2
答案 C
解析 因为y＝x3，y＝sin x是奇函数，
又f(x)＝x3－3sin x＋2，
故可得f(m)＋f(－m)＝4，
所以f(－m)＝4－f(m)＝1.
4．已知f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，则不等式f(ln x)>f(1)的解集为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e－1，1))
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e－1，e))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e，＋∞))
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，e－1))∪(1，＋∞)
答案 B
解析 由题意，根据偶函数f(x)的性质知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，
又f(ln x)>f(1)，
所以|ln x|<1，解得－1因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，
所以e－1考点二 函数的对称性
5．若函数y＝g(x)的图象与y＝ln x的图象关于直线x＝2对称，则g(x)等于( )
A．lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋x)) B．lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－x))
C．lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－x)) D．ln (4＋x)
答案 C
解析 在函数y＝g(x)的图象上任取一点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，y))，
则点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，y))关于直线x＝2对称的点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－x，y))，
且点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－x，y))在函数y＝ln x的图象上，
所以y＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－x)).
6．已知对任意实数x，函数满足feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋x))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－x))，当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)＝sin x－x，设a＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))，b＝f(3)，c＝f(0)，则a，b，c的大小关系为( )
A．aC．b答案 D
解析 由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋x))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－x))，可得f(x)关于x＝1对称，
所以a＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))，c＝f(0)＝f(2)，
当x∈(1，＋∞)时，
由f(x)＝sin x－x，可得f′(x)＝cs x－1≤0，
即函数f(x)＝sin x－x在(1，＋∞)上单调递减，
因此f(3)即f(3)即b7．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(－x)＝f(x＋4)，当x∈(－2,0)时，f(x)＝2－x－1，则f(3)＝________.
答案 －1
解析 ∵f(－x)＝f(x＋4)，
∴f(x)的图象关于x＝2对称，
∴f(3)＝f(1)，
又f(x)为奇函数，
∴f(1)＝－f(－1)＝－(21－1)＝－1.即f(3)＝－1.
考点三 函数的周期性
8．已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(x－1)＝－f(x＋3)，当x∈[－4,0)时，f(x)＝3－x，则f(985)等于( )
A．27 B．－27
C．9 D．－9
答案 B
解析 由f(x－1)＝－f(x＋3)知，y＝f(x)为周期为8的周期函数，
所以f(985)＝f(1)，f(1)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3＋4))
＝－f(－3)＝－33＝－27.
9．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(x)的一个周期为( )
A．1 B．2 C．4 D．8
答案 D
解析 ∵f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，①
又f(x)的图象关于直线x＝2对称，
∴f(－x)＝f(x＋4)，②
由①②得f(x＋4)＝－f(x)，
∴f(x)的一个周期为8.
10．(多选)设f(x)是定义在R上的偶函数，且周期为6，已知x∈[0,3]时，f(x)＝2x－2，则下列说法正确的是( )
A．函数f(x)的最大值为6，最小值为－1
B．函数f(x)在[－3,0]上单调递减
C．函数f(x)的图象关于x＝6对称
D．f(x)在x∈[－3,12]内有4个零点
答案 ABC
解析 利用函数f(x)的性质，作出f(x)的图象如图，
由图知B，C正确；
f(x)在[－3,12]内有5个零点，D不正确；
f(x)max＝f(3)＝6，f(x)min＝f(0)＝－1，
故A正确．
11．已知函数f(x)＝lg|1＋x|＋lg|1－x|，则f(x)( )
A．是奇函数，且在(1，＋∞)上单调递增
B．是奇函数，且在(1，＋∞)上单调递减
C．是偶函数，且在(1，＋∞)上单调递增
D．是偶函数，且在(1，＋∞)上单调递减
答案 C
解析 ∵f(－x)＝lgeq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1－x))＋lgeq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1＋x))＝f(x)，
∴f(x)是偶函数；
当x>1时，f(x)＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋x))＋lg(x－1)＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－1))，
设t(x)＝x2－1，
则t(x)在(1，＋∞)上单调递增，
又y＝lg t为增函数，
∴f(x)＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－1))在(1，＋∞)上单调递增，
∴f(x)是偶函数，且在(1，＋∞)上单调递增．
12．已知函数f(x)是R上的偶函数，且f(x)的图象关于点(1,0)对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2－2x，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 021)的值为( )
A．－2 B．－1 C．0 D．1
答案 D
解析 因为f(x)是R上的偶函数，
所以f(－x)＝f(x)，
又f(x)的图象关于点(1,0)对称，
则f(x)＝－f(2－x)，
所以f(－x)＝－f(2－x)，
则f(x)＝－f(2＋x)，
得f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，
即f(x＋4)＝f(x)，
所以f(x)是周期函数，且周期T＝4，
当x∈[0,1]时，f(x)＝2－2x，
则f(0)＝1，f(1)＝0，
f(2)＝－f(0)＝－1，f(3)＝f(－3)＝f(1)＝0，
则f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，
则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 021)＝505×0＋f(0)＋f(1)＝f(0)＋f(1)＝1.
13．给出下列函数：
①f(x)＝sin x；②f(x)＝tan x；③f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋2，x>1，,x，－1≤x≤1，,－x－2，x<－1；))④f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x>0，,－2－x，x<0.))则它们共同具有的性质是( )
A．周期性 B．偶函数
C．奇函数 D．无最大值
答案 C
解析 f(x)＝sin x为奇函数，周期为2π且有最大值；
f(x)＝tan x为奇函数且周期为π，但无最大值；
作出f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋2，x>1，,x，－1≤x≤1，,－x－2，x<－1))的图象(图略)，由图象可知此函数为奇函数但无周期性和最大值；
作出f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x>0，,－2－x，x<0))的图象(图略)，由图象可知此函数为奇函数但无周期性和最大值．
所以这些函数共同具有的性质是奇函数．
14．定义在R上的函数f(x)满足feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋y))＝f(x)＋f(y)，f(x＋2)＝－f(x)且f(x)在(－1，0]上单调递增，给出下列几个命题：
①f(x)是周期函数；
②f(x)的图象关于x＝1对称；
③f(x)在(1,2]上单调递增；
④f(2)＝f(0)．
其中正确命题的序号是________________．
答案 ①②④
解析 由f(x＋2)＝－f(x)，
可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以函数f(x)的周期为4，所以①正确；
由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋y))＝f(x)＋f(y)，
可得f(0)＝2f(0)，
解得f(0)＝0，
令y＝－x，可得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－x))＝f(x)＋f(－x)，
所以f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，
即f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，
所以f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，
即f(x＋2)＝f(－x)，
所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以②正确；
因为f(x)在(－1,0]上单调递增，
所以函数f(x)在(1,2]上单调递减，所以③错误；
由f(x＋2)＝－f(x)，可知f(2)＝－f(0)，
因为f(0)＝0，所以f(2)＝0，所以④正确．