2023届高考一轮复习加练必刷题第5练　一元二次不等式【解析版】

这是一份2023届高考一轮复习加练必刷题第5练　一元二次不等式【解析版】，共6页。试卷主要包含了不等式eq \f≤0的解集是等内容，欢迎下载使用。

考点一 一元二次不等式的解法
1．关于x的不等式－x2＋4x＋5>0的解集为( )
A．(－5,1)
B．(－1,5)
C．(－∞，－5)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(5，＋∞)
答案 B
解析 不等式可化为x2－4x－5<0，
有(x－5)(x＋1)<0，
故不等式的解集为(－1,5)．
2．不等式eq \f(x－2,x＋1)≤0的解集是 ( )
A．(－∞，－1)∪(－1,2]
B．[－1,2]
C．(－∞，－1)∪[2，＋∞)
D．(－1,2]
答案 D
解析 依题意，不等式化为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1x－2≤0，,x＋1≠0，))
解得－1＜x≤2.
3．已知0A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\| (\a\vs4\al\c1(\f(1,t)B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\| (\a\vs4\al\c1(x>\f(1,t)或xC.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\| (\a\vs4\al\c1(x>t或x<\f(1,t)))))
D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\| (\a\vs4\al\c1(t答案 D
解析 原不等式可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－t))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,t)))<0，
∵01>t，
∴不等式x2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,t)))x＋1<0的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\| (\a\vs4\al\c1(t4．不等式ax2－bx＋c>0的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\| (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)①a>0；②b>0；③c>0；④a＋b＋c>0；⑤a－b＋c>0.
其中正确结论的序号是________．
答案 ③⑤
解析 由ax2－bx＋c>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\| (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)0.
又eq \f(b,a)＝－eq \f(1,2)＋2>0，∴b<0.
∵－1∉eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\| (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)∴a＋b＋c>0不成立，
又1∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\| (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)∴a－b＋c>0，故③⑤正确．
考点二 一元二次不等式恒成立问题
5．已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是( )
A．[0,1]
B．(0,1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
答案 A
解析 当k＝0时，不等式kx2－6kx＋k＋8≥0可化为8≥0，恒成立，
当k≠0时，要满足关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，
只需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k>0，,Δ＝36k2－4kk＋8≤0，))
解得0综上所述，k的取值范围是[0,1]．
6．当x∈(0，＋∞)时，ax2－3x＋a≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2))) B．(－∞，3]
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)) D．[3，＋∞)
答案 C
解析 因为当x∈(0，＋∞)时ax2－3x＋a≥0恒成立，则a≥eq \f(3x,x2＋1)＝eq \f(3,x＋\f(1,x))在(0，＋∞)上恒成立，
又x＋eq \f(1,x)≥2，当且仅当x＝1时等号成立．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,x＋\f(1,x))))max＝eq \f(3,2)，故a≥eq \f(3,2).
7．若关于x的不等式x2－4x＋1－m>0在区间[1,4]内有解，则实数m的取值范围为______．
答案 (－∞，1)
解析 不等式x2－4x＋1－m>0在区间[1,4]内有解等价于m<(x2－4x＋1)max，
因为函数f(x)＝x2－4x＋1在(1,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增，
f(1)＝－2，f(2)＝－3，f(4)＝1，
所以f(x)max＝1，所以m<1.
8．若对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，则x的取值范围为______________．
答案 (－∞，1)∪(3，＋∞)
解析 f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4.
令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(g－1＝x－2×－1＋x2－4x＋4>0，,g1＝x－2×1＋x2－4x＋4>0，))
解得x<1或x>3.
故当x<1或x>3时，对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．
考点三 一元二次不等式的应用
9．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价的方式来增加利润．已知这种商品每件的售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售单价应定为( )
A．12元
B．16元
C．12元到16元之间
D．10元到14元之间
答案 C
解析 设销售单价应定为x元，利润为y元，
则y＝(x－8)[100－10(x－10)]，
依题意有(x－8)[100－10(x－10)]>320，
即x2－28x＋192<0，
解得12所以销售单价应定为12元到16元之间．
10．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－3,2)，则不等式cx2＋bx＋a>0的解集是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，3))
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－2))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(1,2)))
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
答案 D
解析 由不等式ax2＋bx＋c>0的解集是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，2))可知，a<0，
且方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别为－3,2.
由根与系数的关系可得，eq \f(b,a)＝1，eq \f(c,a)＝－6，
代入所求不等式得－6ax2＋ax＋a>0，
化简得6x2－x－1>0，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－1))>0，
解得x<－eq \f(1,3)或x>eq \f(1,2)，
所以不等式cx2＋bx＋a>0的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).
11．(多选)已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 CD
解析 设f(x)＝x2－6x＋a，其图象为开口向上，对称轴是x＝3的抛物线，如图所示．
若关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，
因为对称轴为x＝3，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(22－6×2＋a≤0，,12－6×1＋a>0，))
解得5故a可以为6,7,8.
12．设函数f(x)＝mx2－mx－1，若对于任意的x∈[1,3]，f(x)<－m＋4恒成立，则实数m的取值范围为( )
A．m≤0 B．0≤mC．m<0或0答案 D
解析 若对于任意的x∈[1,3]，f(x)<－m＋4恒成立，
即mx2－mx＋m－5 < 0在[1,3]上恒成立，
当m＝0时，－5 <0恒成立；
当m≠0时，令g(x)＝mx2－mx＋m－5，其图象的对称轴为x＝eq \f(1,2)，
当m < 0时，g(x)的图象开口向下且g(x)在[1,3]上单调递减，
∴在[1,3]上，g(x)max＝g(1)＝m－5<0，
得m < 5，
故有m<0；
当m>0时，g(x) 的图象开口向上且g(x)在[1,3]上单调递增，
∴在[1,3]上，g(x)max＝g(3)＝7m－5<0，得0综上，实数m的取值范围为m13．(多选)对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式a(x－a)(x＋1)>0的解集可能为( )
A．R
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，a))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，－1))
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－1))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，＋∞))
答案 BCD
解析 对于一元二次不等式a(x－a)(x＋1)>0，
则a≠0，
当a>0时，函数y＝a(x－a)(x＋1)开口向上，与x轴的交点为a，－1，
故不等式的解集为(－∞，－1)∪(a，＋∞)；
当a<0时，函数y＝a(x－a)(x＋1)开口向下，
若a＝－1，不等式的解集为∅；
若－1若a<－1，不等式的解集为(a，－1)．
14．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)答案 9
解析 ∵f(x)＝x2＋ax＋b的值域为[0，＋∞)，
∴方程x2＋ax＋b＝0中Δ＝a2－4b＝0，
即b＝eq \f(1,4)a2，
∴f(x)＝x2＋ax＋eq \f(1,4)a2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)a))2.
又∵f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，
∴m，m＋6是方程x2＋ax＋eq \f(a2,4)－c＝0的两根．
由一元二次方程根与系数的关系得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m＋6＝－a，,m\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m＋6))＝\f(a2,4)－c，))
解得c＝9.