2023届高考一轮复习加练必刷题第4练　基本不等式【解析版】

这是一份2023届高考一轮复习加练必刷题第4练　基本不等式【解析版】，共6页。
考点一 利用配凑法求最值
1．已知x>1，则eq \f(9,x－1)＋x的最小值为( )
A．4 B．6 C．7 D．10
答案 C
解析 已知x>1，则x－1>0，
∴eq \f(9,x－1)＋x＝eq \f(9,x－1)＋(x－1)＋1
≥2eq \r(\f(9,x－1)×x－1)＋1＝7，
当且仅当eq \f(9,x－1)＝x－1，即x＝4时等号成立．
∴eq \f(9,x－1)＋x的最小值为7.
2．若00，y>0,2x＋y＋2xy＝3，则z＝2x＋y的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 A
解析 因为2x＋y＋2xy＝3，
故可得2xy＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋y))＋3，
因为x>0，y>0，故可得2xy≤eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋y))2，
即－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋y))＋3≤eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋y))2，
令z＝2x＋y，则z2＋4z－12≥0，
解得z≥2或z≤－6，因为z>0，故z≥2，
当且仅当2x＝y, 2x＋y＋2xy＝3时，
即x＝eq \f(1,2)，y＝1时取得最小值2.
考点三 基本不等式的应用
8．关于x的不等式x2－ax＋4≥0在区间(0,2]上恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，4] B．[4，＋∞)
C．(－∞，2] D．[2，＋∞)
答案 A
解析 由题意得a≤eq \f(x2＋4,x)＝x＋eq \f(4,x)恒成立，
因为x∈(0,2]，
所以x＋eq \f(4,x)≥2eq \r(4)＝4，
当且仅当x＝eq \f(4,x)，即x＝2时等号成立，
所以a≤4.
9．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则角C的取值不可能是( )
A.eq \f(5π,12) B.eq \f(π,6)
C.eq \f(π,3) D.eq \f(2π,3)
答案 AD
解析 由已知和余弦定理推导式可得，
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(a2＋b2－\f(a2＋b2,2),2ab)＝eq \f(1,4)×eq \f(a2＋b2,ab)，
∵a>0，b>0，
∴eq \f(a2＋b2,ab)＝eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≥2eq \r(\f(a,b)·\f(b,a))＝2，当且仅当a＝b时等号成立．
∴cs C≥eq \f(1,4)×2＝eq \f(1,2)，∴C∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3))).
10．每年五月最受七中学子期待的学生活动莫过于学生节，在每届学生节活动中，着七中校服的布偶“七中熊”尤其受同学和老师欢迎．已知学生会将在学生节当天售卖“七中熊”，并且会将所获得利润全部捐献于公益组织．为了让更多同学知晓，学生会宣传部需要前期在学校张贴海报宣传，成本为250元，并且当学生会向厂家订制x只“七中熊”时，需另投入成本C(x)元，C(x)＝71x＋eq \f(40 000,x)－3 250，x∈N*.通过市场分析， 学生会订制的“七中熊”能全部售完．若学生节当天，每只“七中熊”售价为70元，则当销量为________只时，学生会向公益组织所捐献的金额最大．
答案 200
解析 由题意，设学生会向公益组织所捐献的金额为F(x)，
则F(x)＝70x－C(x)－250＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(40 000,x)))＋3 000eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x∈N*))，
由对勾函数的性质知，g(x)＝x＋eq \f(40 000,x)在x＝eq \r(40 000)＝200时取得最小值，
所以当x＝200时，F(x)取得最大值．
11．下列函数中最小值为4的是( )
A．y＝x＋eq \f(4,x)
B．y＝3x＋4·3－x
C．y＝sin x＋eq \f(4,sin x)(0－1，b>－2，(a＋1)(b＋2)＝16，则a＋b的最小值是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 B
解析 由a>－1，b>－2，得a＋1>0，b＋2>0，a＋b＝(a＋1)＋(b＋2)－3≥2eq \r(a＋1b＋2)－3＝2×4－3＝5，当且仅当a＋1＝b＋2＝4，即a＝3，b＝2时等号成立，所以a＋b的最小值是5.
14．已知正数a，b满足a＋b＋eq \f(1,a)＋eq \f(9,b)＝10，则a＋b的最小值是________．
答案 2
解析 因为a＋b＋eq \f(1,a)＋eq \f(9,b)＝10，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b))2＋eq \f(a＋b,a)＋eq \f(9\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b)),b)＝10eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b))，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b))2＋10＋eq \f(b,a)＋eq \f(9a,b)＝10eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b))，
所以10＋eq \f(b,a)＋eq \f(9a,b)＝10eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b))2，
所以10eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b))2≥10＋2eq \r(\f(b,a)·\f(9a,b))＝16，
当且仅当b＝3a时，等号成立，
所以[(a＋b)－2][(a＋b)－8]≤0，
所以2≤a＋b≤8，
当a＋b＝2时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,2)，,b＝\f(3,2)，)) 符合条件，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b))min＝2.