数学七年级下册第12章 证明综合与测试教学设计

教学

目标

1.知识与技能目标：掌握定义、命题、定理、逆命题、互逆命题等概念，知道一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题；

2.过程与方法目标：会用举反例说明一个命题是假命题；掌握平行线的判定与性质、三角形内角和定理及其推论的证明；

3.情感态度与价值观目标：在合作学习及相互交流中，培养学生的团结协作的精神，感受数学思考过程的条理性，发展语言表达能力，培养对数学的兴趣。

重点

难点

重点：知道平行线的判定与性质、三角形内角和定理并能加以应用

难点：会用已学过的定理和推论进行简单的证明

教学设计

学法指导

教学时，利用多种媒体展示学生制作的思维导图，对本章的知识结构进行梳理，再结合具体题目深化对命题的认识。以平行线的判定与性质、三角形内角和定理及其推论的证明强化逻辑推理能力，扩大思维的广度和深度。

学生在经历归纳回顾、合作交流、巩固应用的过程后，提升分析问题、解决问题的能力。

教学过程

教师活动

学生活动

一、复习回顾

师：同学们，今天老师将与大家一起来复习第十二章的内容。课前已经让大家对本章的知识进行整理，制作了知识框架，让我们来看一看大家制作的成果。请对照自己制作的知识框架进行补充和完善。

师：看来同学们的课前准备还是非常充分的，接下来，让我们结合具体的题目来回顾本章的几个重要知识点。首先，我们在刚才已经明确命题是判断一件事情的句子，那么请你来看看下面这几个句子，哪些是命题，哪些不是，如果是，请改写成“如果……那么……”的形式。

(1)画线段AB=5cm.

(2)今天天气好吗？

(3)两直线平行，同位角相等.

(4)相等的角是直角.

师：既然命题可以改写成“如果……那么……”的形式，也就是说命题的组成包含哪几个部分？条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。

师：我们还知道，命题有两种，一种是真命题，一种是假命题。真命题是指条件成立，结论也成立的命题，而假命题是指条件成立，但结论不成立的命题。你知道如何判断一个命题是假命题吗？请你判断下列命题的真假, 如果是假命题，请尝试举出反例：

(1)若则.

(2)钝角大于它的补角.

(3)两个锐角的和是钝角.

(4)如果两个数是正数，那么这两个数的和也是正数.

师：在刚刚同学们举出的一些反例中，我们注意到，举反例有着特殊的要求，它是一个符合命题的条件，但命题的结论不成立的例子。我们在研究命题时，还有这样一组特殊的命题，如果把一个命题的条件和结论互换，就组成了这个命题的逆命题，所以每个命题都有逆命题。请你指出下列命题的条件和结论，并说出其逆命题：

(1)如果两个角的补角相等，那么这两个角相等.

(2)对顶角相等.

(3)直角三角形的两个锐角互余.

二、合作交流

师：以上是我们复习的第一个知识点，接下来，我们一起来看第二个知识点：证明，我们主要复习平行线的判定与性质、三角形内角和定理及其推论的有关证明。

例1：如图1,点A、B、C、D在一条直线上,填写下列空格:

∵EC∥FD (已知)

∴∠F=∠       (              )

又∵∠F=∠E (已知)

∴ ∠       = ∠E (          )

∴ AE ∥BF (                  )

师：在我们证明这道题目的过程中，我们运用了一对互逆命题，大家一起来说一下。两直线平行，是图形（两条直线）特殊的“位置关系”，内错角相等是角的“数量关系”，所以我们经常会利用平行线来构造角的数量关系。下面请你们讨论交流下面一道题目，并在你的学案上写好证明过程：

1.如图2，已知AD是∠BAC的平分线，GE∥AD, GE交AB于点F，交CA延长线于点G,

（1）求证：∠AFG=∠G.

师：观察图形，∠AFG与∠G没有直接联系，能否通过题目中已知的一些条件进行转化？角平分线与平行线又能给我们提供哪些信息？

(2)若将上例中结论“∠AFG=∠G” 与条件“AD是∠BAC的平分线”互换，你得到的新命题是什么？是否成立?

(3)若将上例中结论“∠AFG=∠G” 与条件“GE∥AD”互换，得到什么新命题？还成立吗?

师：我们在解决第三小问时，运用了三角形内角和定理及其推论。借助三角形求角度时，一般是把所求的角看成是某一个三角形的内角，如果图上出现外角时，则要考虑用外角性质；.三角形的外角一般在已知条件下并不出现，我们称三角形外角为图上隐含条件，所以在审题时要确认题目中的已知条件，还要认真审阅图形的隐含条件。

三、当堂检测

师：请独立完成《当堂检测》部分，巩固所学。

1.下列语句中，不是命题的是（  ）．

 （A）同位角相等        （B）延长线段AD

 （C）两点之间线段最短  （D）如果x>1，那么x+1>5

2.已知下列命题：①相等的角是对顶角；②互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；③平行于同一条直线的两直线平行；④所有的命题都有逆命题.

其中，真命题的个数为（    ）

 A、0个  B、1个  C、2个   D、3个

3.写出命题“等边三角形是锐角三角形”的逆命题：                                      

             ；它是       命题（填“真”或“假”）.

4.举反例说明下列命题是假命题：

①：如果a＞b，那么ac＞bc    _____________________

②：在△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠B+∠C＜90° ____________________________________________________

5.如图1，已知AB∥CD∥EF，∠ABC=50°，∠CEF=150°，则∠BCE的值为（  ）．

（A）50°    （B）30°    （C）20°    （D）60°

          图1                      图2

6.请把下列证明过程补充完整：

已知：如图2，DE∥BC，BE平分∠ABC.求证：∠1=∠3.

  证明：因为BE平分∠ABC（已知），

        所以∠1=______（                       ）．         

        又因为DE∥BC（已知），

        所以∠2=_____（                         ）．

所以∠1=∠3（                          ）．

7.如图：已知CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，∠DEC＝90°.

求证：AD∥CB.

四、课堂小结

通过本节课的学习，你有哪些收获？

师：请你谈一谈，我们在解决证明题需要注意什么呢？一是读题，在读题的过程中要将已知条件在图中做适当的标志；二是分析，要从已知条件出发向结论探索，也要从结论出发向已知条件探索，还可以从已知条件和结论两个方向靠近；三是解题过程的每一步都要有理有据；四是做完题目后要有反思的好习惯，尝试变换条件和结论，多角度、多方面看待问题。

展示制作的知识框架，进行必要的分析，共同完成本章知识框架的构建，为本节课的学习奠定理论基础

对语句做出判断，对照命题的定义，进行改写，明确命题的结构特征

全班共同回答：命题一般可看作由题设（条件）和结论两部分组成，命题都可以改写成“如果……那么……”的形式

举反例

先判断命题的真假，再举出反例

回忆互逆命题构成，注意逆命题与原命题之间的区别，明确一对互逆命题的真假不一定相同

先说出命题的条件和结论，再说出逆命题，强化互逆命题的结构特征

审题、独立思考，个别学生起立回答，完成填空，并说明理由

齐答：

两直线平行，内错角相等

内错角相等，两直线平行

审题、独立思考，完成证明过程，并说明理由

全班同学合作交流，即先分组完成余下两个问题，然后交流、类比条件和结论的异同，最后得出正确的答案

仔细观察，积极回答。对角进行转化，进而求出角度，说明理由

运用三角形内角和定理及其推论解决问题

独立完成，全班交流

回顾证明过程，归纳解决证明题的一般步骤和注意点

尝试对知识方法进行归纳、提炼、总结，形成理性的认识， 内化数学的方法和经验

【课堂教学反思】