2020年河南省南阳市邓州市中考数学二模试卷（含答案）

这是一份2020年河南省南阳市邓州市中考数学二模试卷（含答案），共36页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）在实数0，﹣π，，﹣4中，最小的数是（ ）
A．0 B．﹣π C． D．﹣4
2．（3分）截止3月4日，各级财政共安排疫情防控资金1104.8亿元．将数据“1104.8亿”用科学记数法表示为（ ）
A．0.11048×104 B．1.1048×1011
C．0.11048×1012 D．1.1048×103
3．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．3a+2a＝5a2 B．（2a）3＝6a3
C．（x﹣1）2＝x2﹣1 D．2×＝4
4．（3分）如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则这个几何体的左视图为（ ）

A． B． C． D．
5．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是必然事件
B．两组数据平均数相同，则方差大的更稳定
C．天气预报“明天降水概率50%”是指明天有一半的时间会下雨
D．调查某班学生的身高情况，宜采用全面调查
6．（3分）不等式组的整数解的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（3分）一元二次方程（x﹣2）（x﹣4）＝﹣1的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
8．（3分）对于抛物线y＝﹣（x﹣3）2+5，若﹣3≤x≤1，则y的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．﹣13
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，以小于BC的长为半径画弧，分别交AB，BC于点E，F；
②分别以点EF为圆心，以大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；
③作射线BG，交AC于点D若BC＝3，AB＝5，则S△ABD为（ ）

A．6 B． C． D．3
10．（3分）如图，点O为正六边形的中心，P，Q分别从点A（1，0）同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第2020次相遇地点的坐标为（ ）

A． B．（1，0） C． D．（﹣1，0）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）＝ ．
12．（3分）如图，直线AB∥CD，将一块含45°角的直角三角板按图中方式放置，直角顶点F落在直线AB上，若∠1＝50°，则∠2的度数为 ．

13．（3分）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为3：4，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ．

14．（3分）如图，一张扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则阴影部分的面积为 ．

15．（3分）在平行四边形ABCD中，AB＜BC，已知∠B＝30°，AB＝2，将△ABC沿对角线AC翻折得到△AB′C，且点B′落在四边形ABCD所在的平面内，连接B′D．若△AB′D是直角三角形，则BC的长为 ．

三、解答题（本大题共8个小题，满分17分）
16．（8分）先化简，再求值：，其中x＝sin45°+1．
17．（9分）每年夏季全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命，令人痛心疾首，今年某校为确保学生安全，开展了“远离溺水•珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组A.80≤x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D.95≤x≤100），下面给出了部分信息：
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
七年级10名学生的竞赛成绩是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82．
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，90，94．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出图表中a，b，c的值；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）假设该校七年级有320人参加了此次竞赛活动，估计七年级中参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是多少？


18．（9分）如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交弧AC于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．
（1）求证：AC∥DE；
（2）连接AD、CD、OC．填空
①当∠OAC的度数为 时，四边形AOCD为菱形；
②当OA＝AE＝2时，四边形ACDE的面积为 ．

19．（9分）“学习雷锋好榜样，雷锋精神代代传”邓州市是中国雷锋城，作为邓州市的标志性建筑之一的邓州编外雷锋团展览馆，位于河南省邓州市东入市口，湍滨浏览区展览馆被共青团河南省委命名为“河南省青少年思想政治教育基地”某校数学“综合与实践”小组参观了该展览馆后欲测量展览馆旗形建筑的高度如图，已知台阶顶端E点距离水平地面AC的垂直高度为3m，到展馆底部D点的距离DE为10m，台阶AE的坡比i＝1：3，在台阶底部点A处测得红旗顶端B的仰角为69°，请根据以上条件求出展览馆旗形建筑的高度BC．（结果精确到整数参考数据：≈1.73，sin609≈0.93，tan69°≈2.61，cs69°≈0.36）．

20．（9分）在“我为祖国点赞”征文活动中，学校准备购买甲，乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的学生已知购买2个甲种文具，1个乙种文具共需要花费40元；购买1个甲种文具，3个乙种文具共需35元．
（1）求购买一个甲种文具，一个乙种文具各需多少元：
（2）若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于985元且甲种文具的数量不多于30个，若设购买甲种文具x个，求有多少种购买方案；
（3）设学校投入资金w元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？
21．（10分）某校拟建一个面积为144m2的矩形健身区，张老师请同学们小组合作设计出使周长最小的建设方案下面是其中一个小组的探究过程，请补充完整．
（1）列式
设矩形的一边长是xm，则另一边长是 m，若周长为ym，则y与x之间的函数关系式为 ；
（2）画图
①列表；
表中a＝ ；
②描点：如图所示（图中已描出部分点），请描出表中给出的剩余点．
③连线：请在图中画出该函数的图象．
（3）发现
图象最低点的坐标为 ，即x＝ m时，周长y有最小值48m；
（4）验证
在张老师的指导下，同学们将y与x之间的函数关系式进行配方，得出y＝2+48．
∵2≥0，∴y≥ ．
∴当＝0时，y有最小值．
此方程可化为．
∴当x＝ m时，周长y有最小值48m．

22．（10分）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，DE是△ABC的中位线，AN⊥BC，垂足为N，交DE于点M．
（1）观察猜想
图①中，的值为 ；的值为 ．
（2）探究证明
如图②，将△ADE绕点A顺时针旋转，旋转角为a（0°＜a＜360°），连接BD，CE，判断BD与CE和BD与MN分别有什么样的数量关系，并证明；
（3）拓展延伸
在△ADE旋转的过程中，设直线CE与BD相交于点F，若∠CAE＝90°，AB＝6，请直接写出此时线段BF的长．

23．（11分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B，C两点，点B的坐标为（4，m）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点D为抛物线上一动点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，当以C，O，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，求出点D的横坐标；
（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2020年河南省南阳市邓州市中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的
1．（3分）在实数0，﹣π，，﹣4中，最小的数是（ ）
A．0 B．﹣π C． D．﹣4
【分析】根据正数都大于0，负数都小于0，两个负数绝对值大的反而小即可求解．
【解答】解：∵正数大于0和一切负数，
∴只需比较﹣π和﹣4的大小，
∵|﹣π|＜|﹣4|，
∴最小的数是﹣4．
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，注意两个无理数的比较方法：正数都大于0，负数都小于0，两个负数绝对值大的反而小．
2．（3分）截止3月4日，各级财政共安排疫情防控资金1104.8亿元．将数据“1104.8亿”用科学记数法表示为（ ）
A．0.11048×104 B．1.1048×1011
C．0.11048×1012 D．1.1048×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1104.8亿＝110480000000，所以将1104.8亿用科学记数法表示为1.1048×1011，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．3a+2a＝5a2 B．（2a）3＝6a3
C．（x﹣1）2＝x2﹣1 D．2×＝4
【分析】根据合并同类项的法则，积的乘方，二次根式的乘法与完全平方公式的知识求解即可求得答案．
【解答】解：A、3a+2a＝5a，故A选项错误；
B、（2a）3＝8a3，故B选项错误；
C、（x﹣1）2＝x2﹣2x+1．故C选项错误；
D、2×＝4，故D选项正确．
故选：D．
【点评】此题考查了合并同类项的法则，积的乘方，二次根式的乘法与完全平方公式的知识，解题要熟记法则，公式．
4．（3分）如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则这个几何体的左视图为（ ）

A． B． C． D．
【分析】由已知条件可知，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，2．据此可作出判断．
【解答】解：从左面看可得到从左到右分别是3，2个正方形．
故选：A．
【点评】本题考查几何体的三视图．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．
5．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是必然事件
B．两组数据平均数相同，则方差大的更稳定
C．天气预报“明天降水概率50%”是指明天有一半的时间会下雨
D．调查某班学生的身高情况，宜采用全面调查
【分析】直接利用概率的意义以及方差的意义分别分析得出答案．
【解答】解：A、“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是随机事件，故此选项不合题意；
B、两组数据平均数相同，则方差小的更稳，故此选项不合题意；
C、天气预报“明天降水概率50%”，是指明天50%的可能性会下雨，故此选项不合题意；
D、调查某班学生的身高情况，宜采用全面调查，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了随机事件，概率的意义以及抽样调查等知识，正确掌握相关意义是解题关键．
6．（3分）不等式组的整数解的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】分别求出两个不等式的解，然后求其解集，最后找出整数解的个数．
【解答】解：解不等式3﹣（3x﹣2）≥1得：x≤，
解不等式2+x＜3x+8得：x＞﹣3，
故不等式的解集为：﹣3＜x≤，
则整数解为﹣2，﹣1，0，1，共4个．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
7．（3分）一元二次方程（x﹣2）（x﹣4）＝﹣1的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】先计算出根的判别式Δ的值，根据Δ的值就可以判断根的情况．
【解答】解：∵（x﹣2）（x﹣4）＝﹣1，
∴x2﹣6x+9＝0，
∴Δ＝62﹣4×1×9＝0，
∴有两个相等的实数根，
故选：B．
【点评】本题主要考查判断一元二次方程有没有实数根主要看根的判别式△的值．Δ＞0，有两个不相等的实数根；Δ＝0，有两个不相等的实数根；Δ＜0，没有实数根．
8．（3分）对于抛物线y＝﹣（x﹣3）2+5，若﹣3≤x≤1，则y的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．﹣13
【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
【解答】解：∵y＝﹣（x﹣3）2+5，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝3，
∴x＜3时，y随x增大而增大，
∴当x＝1时y＝﹣×4+5＝3，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握求二次函数最值的方法，掌握二次函数图象与系数的关系．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，以小于BC的长为半径画弧，分别交AB，BC于点E，F；
②分别以点EF为圆心，以大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；
③作射线BG，交AC于点D若BC＝3，AB＝5，则S△ABD为（ ）

A．6 B． C． D．3
【分析】作DH⊥AB于H，如图，由作法得BD平分∠ABC，则DH＝DC，再证明Rt△BDC≌Rt△BDH得到BH＝3，设CD＝DH＝x，则AD＝4﹣x，在Rt△ADH中利用勾股定理得到22+x2＝（4﹣x）2，解得x＝，然后根据三角形面积公式求解．
【解答】解：作DH⊥AB于H，如图，
由作法得BD平分∠ABC，
∴DH＝DC，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝4，
∵DC＝DH，BD＝BD，
∴Rt△BDC≌Rt△BDH（HL），
∴BH＝BC＝3，
∴AH＝5﹣3＝2，
设CD＝DH＝x，则AD＝4﹣x，
在Rt△ADH中，22+x2＝（4﹣x）2，解得x＝，
∴S△ABD＝AB•DH＝×5×＝．
故选：C．

【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
10．（3分）如图，点O为正六边形的中心，P，Q分别从点A（1，0）同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第2020次相遇地点的坐标为（ ）

A． B．（1，0） C． D．（﹣1，0）
【分析】根据A（1，0），O为正六边形的中心，可得OA＝AB＝1，连接OB，作BG⊥OA于点G，可得AG＝OA＝，BG＝，可得C（﹣，），E（﹣，﹣），根据题意可得，P，Q第一次相遇地点的坐标在点C（﹣，），以此类推：第二次相遇地点在点E（﹣，﹣），第三次相遇地点在点A（1，0），…如此循环下去，即可求出第2020次相遇地点的坐标．
【解答】解：∵A（1，0），O为正六边形的中心，
∴OA＝AB＝1，

连接OB，作BG⊥OA于点G，
则AG＝OA＝，BG＝，
∴B（，），
∴C（﹣，），
E（﹣，﹣），
∵正六边形的边长＝1，
∴正六边形的周长＝6，
∵点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，
∴第1次相遇需要的时间为：6÷（1+2）＝2（秒），
此时点P的路程为1×2＝2，点Q的路程为2×2＝4，
此时P，Q相遇地点的坐标在点C（﹣，），
以此类推：第二次相遇地点在点E（﹣，﹣），
第三次相遇地点在点A（1，0），
…如此下去，
∵2020÷3＝673……1，
∴第2020次相遇地点在点C，C的坐标为（﹣，）．
故选：A．
【点评】本题考查了正多边形和圆、一元一次方程的应用、规律型﹣点的坐标，解决本题的关键是综合运用以上知识．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）＝ 5 ．
【分析】先计算负整数指数幂和零指数幂的运算，再合并即可．
【解答】解：原式＝4+1
＝5．
故答案为：5．
【点评】此题考查的是负整数指数幂与零指数幂，掌握它们的运算法则是解决此题的关键．
12．（3分）如图，直线AB∥CD，将一块含45°角的直角三角板按图中方式放置，直角顶点F落在直线AB上，若∠1＝50°，则∠2的度数为 85° ．

【分析】根据平角的定义和平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠1＝50°，∠GEF＝45°，
∴∠3＝180°﹣50°﹣45°＝85°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝85°，
故答案为：85°．

【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
13．（3分）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为3：4，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ．

【分析】针尖落在阴影区域的概率就是四个直角三角形的面积之和与大正方形面积的比．
【解答】解：设两直角边分别是3x，4x，则斜边即大正方形的边长为5x，小正方形边长为x，
所以S大正方形＝25x2，S小正方形＝x2，S阴影＝24x2，
则针尖落在阴影区域的概率为＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．
14．（3分）如图，一张扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则阴影部分的面积为 9﹣3π ．

【分析】连接OD，如图，利用折叠性质得由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积等于阴影部分的面积，AC＝OC，则OD＝2OC＝6，CD＝3，从而得到∠CDO＝30°，∠COD＝60°，然后根据扇形面积公式，利用由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD，能进而求出答案．
【解答】解：连接OD，如图，
∵扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，
∴AC＝OC，
∴OD＝2OC＝6，
∴CD＝＝3，
∴∠CDO＝30°，∠COD＝60°，
∴由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD＝﹣×3×3＝6π﹣，
∴阴影部分的面积为﹣2×（6π﹣）＝9﹣3π，
故答案为9﹣3π．

【点评】本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．记住扇形面积的计算公式．也考查了折叠的性质，注意：圆心角是n°，半径为r的扇形的面积S＝．
15．（3分）在平行四边形ABCD中，AB＜BC，已知∠B＝30°，AB＝2，将△ABC沿对角线AC翻折得到△AB′C，且点B′落在四边形ABCD所在的平面内，连接B′D．若△AB′D是直角三角形，则BC的长为 2或 ．

【分析】在平行四边形ABCD中，AB＜BC，要使△AB'D是直角三角形，有两种情况：∠B'AD＝90°或∠AB'D＝90°，需要画出图形分类讨论，根据含30°角的直角三角形的性质，即可得到BC的长．
【解答】解：分两种情况：
①如图1，当∠B'AD＝90°，AB＜BC时，延长EA交BC于G，

∵AD＝BC，BC＝EC，
∴AD＝EC，
∵AD∥BC，∠EAD＝90°，
∴∠EGC＝90°，
∵∠B＝30°，AB＝2，
∴∠AEC＝30°，
∴GC＝EC＝BC，
∴G是BC的中点，
在Rt△ABG中，BG＝AB＝，
∴BC＝2BG＝2；
②如图2，当∠AED＝90°时，

∵AD＝BC，BC＝EC，
∴AD＝EC，
又∵AE＝AB＝CD，AC＝CA，
∴△ACE≌△CAD（SSS），
∴∠FAC＝∠FCA，
∴FA＝FC，
∴FE＝FD，
∴∠FED＝∠FDE，
∴∠AED＝∠CDE，
∵∠AED＝90°，
∴∠CDE＝90°，
∴AE∥CD，
又∵AB∥CD，
∴B，A，E在同一直线上，
∴∠BAC＝∠EAC＝90°，
∵Rt△ABC中，∠B＝30°，AB＝2，
∴BC＝AB÷＝，
∴当BC的长为2或时，△AED是直角三角形．
故答案为：2或．
【点评】本题主要考查了翻折变换的性质，解题的关键是画出图形，发现存在两种情况，进行分类讨论．
三、解答题（本大题共8个小题，满分17分）
16．（8分）先化简，再求值：，其中x＝sin45°+1．
【分析】先算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：
＝÷
＝•
＝，
当x＝sin45°+1＝+1时，
原式＝＝﹣．
【点评】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
17．（9分）每年夏季全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命，令人痛心疾首，今年某校为确保学生安全，开展了“远离溺水•珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组A.80≤x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D.95≤x≤100），下面给出了部分信息：
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
七年级10名学生的竞赛成绩是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82．
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，90，94．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出图表中a，b，c的值；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）假设该校七年级有320人参加了此次竞赛活动，估计七年级中参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是多少？

【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可得到结论；
（2）根据八年级的中位数和众数均高于七年级于是得到八年级学生掌握防溺水安全知识较好；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【解答】解：（1）a＝（1﹣20%﹣10%﹣）×100＝40，
∵八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平均数，
∴b＝＝94；
∵在七年级10名学生的竞赛成绩中99出现的次数最多，
∴c＝99；
（2）八年级学生掌握防溺水安全知识较好，理由：虽然七、八年级的平均分均为92分，但八年级的中位数和众数均高于七年级；
（3）估计七年级中参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是：320×＝192（人），
答：估计七年级中参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是192人．
【点评】本题考查读扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

18．（9分）如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交弧AC于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．
（1）求证：AC∥DE；
（2）连接AD、CD、OC．填空
①当∠OAC的度数为 30° 时，四边形AOCD为菱形；
②当OA＝AE＝2时，四边形ACDE的面积为 2 ．

【分析】（1）由垂径定理，切线的性质可得FO⊥AC，OD⊥DE，可得AC∥DE；
（2）①连接CD，AD，OC，由题意可证△ADO是等边三角形，由等边三角形的性质可得DF＝OF，AF＝FC，且AC⊥OD，可证四边形AOCD为菱形；
②由题意可证△AFO∽△ODE，可得，即OD＝2OF，DE＝2AF＝AC，可证四边形ACDE是平行四边形，由勾股定理可求DE的长，即可求四边形ACDE的面积．
【解答】证明：（1）∵F为弦AC的中点，
∴AF＝CF，且OF过圆心O
∴FO⊥AC，
∵DE是⊙O切线
∴OD⊥DE
∴DE∥AC
（2）①当∠OAC＝30°时，四边形AOCD是菱形，
理由如下：如图，连接CD，AD，OC，

∵∠OAC＝30°，OF⊥AC
∴∠AOF＝60°
∵AO＝DO，∠AOF＝60°
∴△ADO是等边三角形
又∵AF⊥DO
∴DF＝FO，且AF＝CF，
∴四边形AOCD是平行四边形
又∵AO＝CO
∴四边形AOCD是菱形
②如图，连接CD，

∵AC∥DE
∴△AFO∽△ODE
∴
∴OD＝2OF，DE＝2AF
∵AC＝2AF
∴DE＝AC，且DE∥AC
∴四边形ACDE是平行四边形
∵OA＝AE＝OD＝2
∴OF＝DF＝1，OE＝4
∵在Rt△ODE中，DE＝＝2
∴S四边形ACDE＝DE×DF＝2×1＝2
故答案为：2
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，菱形的判定，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
19．（9分）“学习雷锋好榜样，雷锋精神代代传”邓州市是中国雷锋城，作为邓州市的标志性建筑之一的邓州编外雷锋团展览馆，位于河南省邓州市东入市口，湍滨浏览区展览馆被共青团河南省委命名为“河南省青少年思想政治教育基地”某校数学“综合与实践”小组参观了该展览馆后欲测量展览馆旗形建筑的高度如图，已知台阶顶端E点距离水平地面AC的垂直高度为3m，到展馆底部D点的距离DE为10m，台阶AE的坡比i＝1：3，在台阶底部点A处测得红旗顶端B的仰角为69°，请根据以上条件求出展览馆旗形建筑的高度BC．（结果精确到整数参考数据：≈1.73，sin609≈0.93，tan69°≈2.61，cs69°≈0.36）．

【分析】根据台阶AE的坡比i＝1：3，可得即EF：AF＝1：3，EF＝3m，AF＝9m，进一步求得AC＝AF+FC＝19m，
再根据锐角三角函数即可求出BC的长．
【解答】解：如图，作EF⊥AC于F，
根据题意可知：台阶AE的坡比i＝1：3，即EF：AF＝1：3，
∵EF＝3m，
∴AF＝9m，
∵FC＝ED＝10m，
∴AC＝AF+FC＝19m，
在Rt△ABC中，∠BAC＝69°，
∴BC＝AC•tan69°≈19×2.61≈49.6（m）．
故展览馆旗形建筑的高度BC约为49.6m．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角和坡度坡角定义．
20．（9分）在“我为祖国点赞”征文活动中，学校准备购买甲，乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的学生已知购买2个甲种文具，1个乙种文具共需要花费40元；购买1个甲种文具，3个乙种文具共需35元．
（1）求购买一个甲种文具，一个乙种文具各需多少元：
（2）若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于985元且甲种文具的数量不多于30个，若设购买甲种文具x个，求有多少种购买方案；
（3）设学校投入资金w元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？
【分析】（1）根据题意列二元一次方程组，再用加减消元法解方程组即可；
（2）根据题意列一元一次不等式组，然后解不等式组，最后取正整数即可，
（3）根据题意表示资金w为x的一次函数，因为k大于0，所以一次函数随着x的增大而增大，所以x取最小时资金最少，即可确定购买方案．
【解答】解：（1）设购买一个甲种文具a元，一个乙种文具b元，
根据题意得，
解方程组得，
∴购买一个甲种文具17元，一个乙种文具6元．
（2）设购买甲种文具x个，则购买乙种文具（120﹣x）个，
，
解不等式组得：，
∴x取正整数有25、26、27、28、29、30，
∴有6种购买方案．
（3）w＝17x+6（120﹣x）＝11x+720，
∴w随着x的增大而增大，
∴当x＝25时，w取最小值，此时w＝995，
∴甲种玩具买25个，乙种玩具买95个，此时需要资金最少，最少为995元．
【点评】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式组和一次函数的综合题，准确列出方程组和不等式组，并根据增减性求最值是解决本题的关键．
21．（10分）某校拟建一个面积为144m2的矩形健身区，张老师请同学们小组合作设计出使周长最小的建设方案下面是其中一个小组的探究过程，请补充完整．
（1）列式
设矩形的一边长是xm，则另一边长是 m，若周长为ym，则y与x之间的函数关系式为 y＝2（x+）（x＞0） ；
（2）画图
①列表；
表中a＝ 50 ；
②描点：如图所示（图中已描出部分点），请描出表中给出的剩余点．
③连线：请在图中画出该函数的图象．
（3）发现
图象最低点的坐标为 （12，48） ，即x＝ 12 m时，周长y有最小值48m；
（4）验证
在张老师的指导下，同学们将y与x之间的函数关系式进行配方，得出y＝2+48．
∵2≥0，∴y≥ 48 ．
∴当＝0时，y有最小值．
此方程可化为．
∴当x＝ 12 m时，周长y有最小值48m．

【分析】（1）根据矩形的周长公式即可得到结论；
（2）①把x＝16代入函数解析式即可得到结论；②根据表格描点即可；③根据题意画出图象即可；
（3）根据图象中的信息即可得到结论；
（4）根据题意填空即可．
【解答】解：（1）∵矩形的面积为144m2，矩形的一边长是xm，
∴另一边长是m，
∴周长y与x之间的函数关系式为y＝2（x+）（x＞0），
（2）①把x＝16代入y＝2（x+），
解得，y＝50，
故a＝50，
②描点如图所示：

③函数的图象如图所示：

（3）有图像可知，图像的最低点坐标为（12，48），即x＝12m时，周长y有最小值48m，
（4）y＝2+48，
∵2≥0，
∴y≥48，
∴当＝0时，y有最小值，
此方程可化为，
∴当x＝12m时，周长y有最小值48m，
故答案为：，y＝2（x+）（x＞0），50，（12，48），12，48，12．
【点评】本题考查反比例函数的应用，完全平方公式的运用，关键是熟练运用完全平方公式．
22．（10分）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，DE是△ABC的中位线，AN⊥BC，垂足为N，交DE于点M．
（1）观察猜想
图①中，的值为 1 ；的值为 ．
（2）探究证明
如图②，将△ADE绕点A顺时针旋转，旋转角为a（0°＜a＜360°），连接BD，CE，判断BD与CE和BD与MN分别有什么样的数量关系，并证明；
（3）拓展延伸
在△ADE旋转的过程中，设直线CE与BD相交于点F，若∠CAE＝90°，AB＝6，请直接写出此时线段BF的长．

【分析】（1）根据DE是△ABC的中位线，得出AD＝AE，则BD＝CE，过点D作DF⊥BC于点F，则DF＝MN，证△BDF是等腰直角三角形即可得出BD与MN的关系；
（2）根据SAS证△ABD≌△ACE，即可得出BD＝CE，根据△ADE∽ABC得出＝，得出△AMN∽△ADB，再根据△ABC是等腰直角三角形得出线段比例关系即可；
（3）分情况证△FEB∽△AEC，根据线段比例关系求出FB即可．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，DE是△ABC的中位线，
∴AD＝AE，
∴BD＝CE，
即，
如下图，过点D作DF⊥BC于点F，则DF＝MN，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝45°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴BD＝DF，
∴BD＝MN，
即，
故答案为：1，；
（2）BD＝CE，BD＝MN，
证明：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
由旋转的性质知，∠DAB＝∠MAN＝α，
∵DE是△ABC的中位线，AN⊥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴△AMN∽△ADB，
∴，
又∵△ABC是等腰直角三角形，AN⊥BC，
∴，
∴，
即BD＝MN；
（3）①当点E在AB上时，BE＝AB﹣AE＝3，

∵∠CAE＝90°，
∴CE＝＝3，
同理（2）可证△ADB≌△AEC，
∴∠BAD＝∠ECA，
∵∠FEB＝∠AEC，
∴△FEB∽△AEC，
∴，
∴，
∴FB＝；
②当点E在BA的延长线上时，BE＝AB+AE＝9，

∵∠CAE＝90°，
∴CE＝＝3，
同理（2）可证△ADB≌△AEC，
∴∠BAD＝∠ECA，
∵∠FEB＝∠AEC，
∴△FEB∽△AEC，
∴，
∴，
∴FB＝；
综上，FB的长为或．
【点评】本题主要考查几何变换的综合题，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识是解题的关键．
23．（11分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B，C两点，点B的坐标为（4，m）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点D为抛物线上一动点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，当以C，O，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，求出点D的横坐标；
（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将点B的坐标为（4，m）代入y＝﹣x+，m＝﹣4+＝﹣，B的坐标为（4，﹣），将A（3，2），B（4，﹣）代入y＝﹣x2+bx+c，解得b＝1，c＝
，因此抛物线的解析式y＝﹣x2+x+；
（2）分析图形可知，DE∥OC，若以C，O，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则只需OC＝DE即可．设D（m，﹣m2+m+），则E（m，﹣m+），所以DE＝|（﹣m2+m+）﹣（﹣m+）|＝|﹣m2+2m|，建立方程，求解即可．
（3）作AH⊥对称轴于点H，连接AM、AQ、MQ、HA、HQ，由M（1，4），A（3，2），可得AH＝MH＝2，H（1，2）因为∠AQM＝45°，∠AHM＝90°，所以∠AQM＝∠AHM，可知△AQM外接圆的圆心为H，于是QH＝HA＝HM＝2设Q（0，t），则＝2，t＝2+或2﹣，求得符合题意的点Q的坐标：Q1（0，2﹣）、Q2（0，2+）．
【解答】解：（1）将点B的坐标为（4，m）代入y＝﹣x+，
得m＝﹣4+＝﹣，
∴B的坐标为（4，﹣），
将A（3，2），B（4，﹣）代入y＝﹣x2+bx+c，
，
解得b＝1，c＝，
∴抛物线的解析式y＝﹣x2+x+；
（2）∵DE⊥x轴，
∴DE∥OC，若以C，O，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则只需令OC＝DE．
∵抛物线的解析式y＝﹣x2+x+与y轴交于点C，
∴C（0，），
∴OC＝．
设D（m，﹣m2+m+），则E（m，﹣m+），
∴DE＝|（﹣m2+m+）﹣（﹣m+）|＝|﹣m2+2m|，
∴＝|﹣m2+2m|，解得m＝2±，
∴符合题意的点D的横坐标为2﹣或2+．
（3）作AH⊥对称轴于点H，连接AM、AQ、MQ、HA、HQ，

∵抛物线的解析式y＝﹣x2+x+，
∴M（1，4），
∵A（3，2），
∴AH＝MH＝2，H（1，2）
∵∠AQM＝45°，
∠AHM＝90°，
∴∠AQM＝∠AHM，
可知△AQM外接圆的圆心为H，

∴QH＝HA＝HM＝2
设Q（0，t），
则＝2，解得t＝2+或2﹣，
∴符合题意的点Q的坐标：Q1（0，2﹣）、Q2（0，2+）．
【点评】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质与判定，角度的存在性问题等．熟练运用二次函数的图象的性质与一次函数的性质以及圆周角定理是解题的关键．
年级
七年级
八年级
平均数
92
92
中位数
93
b
众数
c
100
方差
52
50.4
x
…
4
6
12
14
16
20
24
30
…
y
…
80
60
48
48
a
54
60
69
…
年级
七年级
八年级
平均数
92
92
中位数
93
b
众数
c
100
方差
52
50.4
x
…
4
6
12
14
16
20
24
30
…
y
…
80
60
48
48
a
54
60
69
…
7
2