精品解析：辽宁省沈阳市2022届高三下学期二模数学试题（原卷版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C 第三象限D. 第四象限
2. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示集合为（ ）
A. B. C. D.
3. 设等差数列的公差为d，，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 2021年10月12日，习近平总书记在《生物多样性公约》第十五次缔约方大会领导人峰会视频讲话中提出：“绿水青山就是金山银山．良好生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系经济社会发展潜力和后劲．”某工厂将产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为，其中k为常数，，为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（ ）
A. 5%B. 3%C. 2%D. 1%
5. 已知数列是递增的等比数列，且，，若的前n项和满足，则正整数k等于（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
6. 现有一个侧面展开图为半圆形的圆锥，其内部放有一个小球，当小球体积最大时，该圆锥与小球的体积之比是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知双曲线的两个焦点为、，点M，N在C上，且，，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
8. 若直线与直线是曲线的两条切线，也是曲线的两条切线，则的值为（ ）
A. B. 0C. -1D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 如图，在方格中，向量，，的始点和终点均为小正方形的顶点，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 甲、乙两人进行飞镖游戏，甲的10次成绩分别为8，6，7，7，8，10，10，9，7，8，乙的10次成绩的平均数为8，方差为0.4，则（ ）
A. 甲的10次成绩的极差为4B. 甲的10次成绩的75%分位数为8
C. 甲和乙20次成绩的平均数为8D. 甲和乙的20次成绩的方差为1
11. 在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，则（ ）
A. 平面PAD内任意一条直线都不与BC平行
B. 平面PBC内存在无数条直线与平面PAD平行
C. 平面PAB和平面PCD交线不与底面ABCD平行
D. 平面PAD和平面PBC的交线不与底面ABCD平行
12. 已知奇函数在R上可导，其导函数为，且恒成立，若在单调递增，则（ ）
A. 在上单调递减B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知抛物线的焦点为F，在C上有一点P，，则点P到x轴的距离为______．
14. 已知随机变量，且，则的最小值为______．
15. 将，，，，这5名同学从左至右排成一排，则与相邻且与之间恰好有1名同学的排法有________种.
16. 以俄国著名数学家切比雪夫（Tschebyscheff，1821-1894）的名字命名的第一类切比雪夫多项式和第二类切比雪夫多项式，起源于多倍角的余弦函数和正弦函数的展开式，是与棣莫弗定理有关、以递归方式定义的多项式序列，是计算数学中的特殊函数．有许多良好的结论，例如：①，，对于正整数时，有成立，②，成立．由上述结论可得的数值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知数列满足，数列满足对任意正整数均有成立．
（1）求的通项公式；
（2）求的前99项和．
18. 已知的内角、、的对边分别为、、，且．
（1）判断的形状并给出证明；
（2）若，求的取值范围．
19. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，且，，，．
（1）求证：；
（2）在线段PD上是否存在一点M，使二面角余弦值为？若存在，求三棱锥体积；若不存在，请说明理由．
20. 甲、乙是北京2022冬奥会单板滑雪坡面障碍技巧项目的参赛选手，二人在练习赛中均需要挑战3次某高难度动作，每次挑战的结果只有成功和失败两种．
（1）甲在每次挑战中，成功的概率都为．设X为甲在3次挑战中成功的次数，求X的分布列和数学期望；
（2）乙在第一次挑战时，成功的概率为0.5，受心理因素影响，从第二次开始，每次成功的概率会发生改变其规律为：若前一次成功，则该次成功的概率比前一次成功的概率增加0.1；若前一次失败，则该次成功的概率比前一次成功的概率减少0.1．
（ⅰ）求乙在前两次挑战中，恰好成功一次的概率；
（ⅱ）求乙在第二次成功的条件下，第三次成功的概率．
21. 已知椭圆的焦距为2，且经过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）经过椭圆右焦点F且斜率为的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由．
22. 已知函数．
（1）若，求a的值；
（2）当时，从下面①和②两个结论中任选其一进行证明．
①；
②．