2022届中考数学二轮专题复习-等腰三角形、直角三角形及解直角三角形解析版

这是一份2022届中考数学二轮专题复习-等腰三角形、直角三角形及解直角三角形解析版，共45页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，综合题等内容，欢迎下载使用。

中考数学二轮专题复习-等腰三角形、直角三角形及解直角三角形
一、单选题
1．在中，，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
2．如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为a，则两梯脚之间的距离BC为（　　）

A．4cos a B．4sin a C．4tan a D．
3．如图，中，，，若将绕点逆时针旋转得到，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为（　　）

A．1 B． C． D．2
4．如图，在ABC中，AB=AC，D是BC的中点，∠B=35°，则∠BAD=（　　）

A．110° B．70° C．55° D．35°
5．如图，在30°直角三角板ABC中，点M是斜边AB边上的中点，将三角板绕直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到△A′B′C，若AC＝6，则点M经过的的路径长为（　　）

A．6 B．2π C．3π D．4π
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，交BA的延长线于点F，若 ，则BF的长为（　　）

A． B．3 C． D．
7．如图，已知点D，E，F分别在△ABC的三边上，将△ABC沿DE，DF翻折，顶点B，C均落在△ABC内的点O处，且BD与CD重合于线段OD，若∠AEO+∠AFO=58°，则∠A的度数为（　　）

A．58° B．59° C．60° D．61°
8．已知 为圆 的直径， 为圆周上一点， ， ．则 的度数为（　　）

A．10° B．15° C．20° D．30°
9．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC .若 AB=BC=1,∠AOB=α，则 OC2的值为（　　）

A． B． C． D．
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于 MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E．已知CE＝3，BE＝5，则AC的长为（　　）

A．8 B．7 C．6 D．5
11．如图，四边形ABCD是一张平行四边形纸片，其高AG＝2cm，底边BC＝6cm，∠B＝45°，沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，若∠BEF＝30°，则AF的长为（　　）

A．1cm B． cm
C．（2 ﹣3）cm D．（2﹣ ）cm
12．如图，明年舟山将再添一个最高颜值城市新地标，新城长峙岛上将矗立起一座摩天轮，其直径为90m，旋转1周用时15min．小明从摩天轮的底部（与地面相距0.5m）出发开始观光，摩天轮转动1周，小明在离地面68m以上的空中有多长时间？（　　）

A．3min B．5min C．6min D．10min
13．如图，在 中， ， ， 为 边的中点， ， 绕 点旋转，它的两边分别交 和 的延长线于 ， ，当点 在 延长线上时， ， ， 的关系为（　　）

A． = B． =
C． = D． =
14．如图， 中， ， ，点D是边 上一动点，连接 ，以 为直径的圆交 于点E.若 长为4，则线段 长的最小值为（　　）

A． B．
C． D．
15．如图，ABC和ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，ABC的顶点A在ECD的斜边DE上．下列结论不正确的是（　　）

A．ACE≌BCD B．∠DAB＝45°
C．AD＋DB＝DE D．ABD是直角三角形
16．如图， 中， ， ， ，垂足为Q，延长MN至G，取 ，若 的周长为12， ，则 周长是（　　）

A．8＋2m B．8＋m C．6＋2m D．6＋m
17．如图，已知四边形 是边长为4的正方形，以对角线 为边作正三角形 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，则 的长是（　　）

A． B． C． D．
18．如图，将一个等腰直角三角形△ABC按如图方式折叠，若DE=a，DC=b，下列四个结论：①DC′平分∠BDE；②BC长为2a+b；③△BDC′是等腰三角形；④△CED的周长等于BC的长.其中，正确的是（　　）

A．①②④ B．②③④ C．②③ D．②④
19．著名画家达·芬奇用三个正方形和三个全等的直角三角形拼成如下图形证明了勾股定理，其中 ,连结HF,CJ,得到4个全等的四边形HFGI,四边形HFBA,四边形CJEA,四边形JCBD.CJ分别交AB,ED于点M,N,若 ,且 ,则HF的长为（　　）

A． B． C． D．
20．如图，菱形 中， ， .以A为圆心， 长为半径画 ，点P为菱形内一点，连 ， ， .若 ，且 ，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题
21．如图，在△ABC中， AB=AC ，BC=3+ ，∠BAC=90°，点D、E都在边BC上，∠DAE=45°．若BD=2CE，则DE的长是　 　。

22．疫情期间，小红在家里在图1所示的平板支架上网课，图2是她观看网课的侧面示意图，已知平板宽度AB＝20cm，支架底板宽度CD＝AB，支撑角∠ABC＝60°，支撑板CE＝BE＝6cm，小红坐在距离支架底板20cm处观看（即DF＝20cm），Q点是AB中点.当视线PQ与屏幕AB垂直时，小红的眼睛距离桌面的高度PF等于 　 　cm；当落在屏幕中点的视线与屏幕构成的夹角（指锐角或直角）不小于75°时，能使观看平板视频的效果最佳，为保证最佳的观看效果，小红眼睛距离桌面的最大高度和最小高度的差等于 　 　cm.

23．如图所示，在 中， 是AD边的中点， 是AB边上的一动点，将 沿MN所在直线翻折得到 ，连结 ，则 长度的最小值是　 　.

24．如图，在▱ABCD中，AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是　 　（结果保留π）.

25．某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度.他们在C处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为64°，则建筑物的高度　 　米.（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）（参考数据：sin48°≈ ，tan48°≈ ，sin64°≈ ，tan64°≈2）

26．如图，把一副三角板按如图放置，∠ACB＝∠ADB＝90°，∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，点E是AB的中点，连结CE，DE，DC．若AB＝6，则∆DEC的面积为　 　

27．如图,在 中, ,延长线段BC至点 使 ,连接AD.若点 是线段BC上一个动点,过点 作 交AB于点 ,连接AP,则当 的面积最大时,BP的长度为　 　.

28．图1是一个八角星形纸板，图中有八个直角，八个相等的钝角，每条边都相等.如图2将纸板沿虚线进行切割，无缝隙无重叠的拼成图3所示的大正方形，其面积为8+，则图3中线段AB的长为　 　.

29．如图，在△AB1C1中，AC1＝B1C1，∠C1＝20°，在B1C1上取一点C2，延长AB1到点B2，使得B1B2＝B1C2，在B2C2上取一点C3，延长AB2到点B3，使得B2B3＝B2C3，在B3C3上取一点C4，延长AB3到点B4，使得B3B4＝B3C4，……，按此操作进行下去，那么第2个三角形的内角∠AB2C2＝　 　°；第n个三角形的内角∠ABnCn＝　 　°．

30．小聪在研究题目“如图，在等腰三角形ABC中， ， ， 的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点C沿直线EF折叠后与点O重合，你能得出那些结论？”时，发现了下面三个结论：① ；②图中没有60°的角；③D、O、C三点共线．请你直接写出其中正确的结论序号：　 　

三、解答题
31．已知，如图AC平分∠BAD，CE⊥AB于E点，CF⊥AD于F点，且BC=DC.求证：BE=DF.

32．某一天，小明和小亮想利用所学过的测量知识来测量G棵古树的高度AB．他们带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示，于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，通过测倾器测得树的顶端A的仰角为45°，再在BD的延长线上确定一点F，使DF=5米，并在F处通过测倾器测得树的顶端A的仰角为30°，测倾器的高度CD=EF=1米已知点FD、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，则这棵古树的高度AB为多少米？（结果保留根号）

33．如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，已知CM＝3m，CO＝5m，DO＝3m，∠AOD＝70°，汽车从A处前行多少米才能发现C处的儿童（结果保留整数）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75；sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）

34．探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在底边BC上，AE=AD，连结DE.

（1）当∠BAD=60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC （点B、C除外） 上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系.
35．如图是一个小商场的纵截面图（矩形 ）， 是商场的顶部， 是商场的地面，地面由边长为 的正方形瓷砖铺成，从 到 共有 块瓷砖， 和 是商场的两面墙壁， 是顶部正中央的一个长方形的灯饰（ ）.小张同学想通过学过的几何知识来测量该商场的高度（ ）和灯饰的长度（ ），于是去商场时带了一块镜子和一根激光笔，他先把激光笔挂在墙壁 距地面两块砖高度（ 的长）的 处，镜子水平放在地面距离 两块砖的 处，发现激光笔的反射光照到了 处；再把激光笔挂在墙壁 距地面两块砖高度（ 的长）的 处，镜子水平放在地面距离 三块砖的 处，发现激光笔的反射光恰好又照到了 处，请你帮忙计算 的高度和 的长度.

36．问题背景：如图1，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD= ∠BAC=60°，于是 = = ；
迁移应用：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD．

①求证：△ADB≌△AEC；
②请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；
拓展延伸：如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF．
①证明△CEF是等边三角形；
②若AE=5，CE=2，求BF的长．
37．将两个等腰直角三角形纸片 和 放在平面直角坐标系中，已知点A坐标为 ， ， ， ，并将会 绕点O顺时针旋转．

（Ⅰ）当旋转至如图①的位置时， ，求此时点C的坐标；
（Ⅱ）如图②，连接 ，当 旋转到y轴的右侧，且点B，C，D三点在一条直线上时，求 的长；
（Ⅲ）当旋转到使得 的度数最大时，求 的面积（直接写出结果即可）．
四、综合题
38．爱好思考的小实在探究两条直线的位置关系查阅资料时发现，两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，如图1、图2、图3中，AF、BE是△ABC的中线，AF⊥BE于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”，设BC＝a，AC＝b，AB＝c.

（1）【特例探究】
①如图1，当tan∠PAB＝1， 时，a＝　 　，b＝　 　.
②如图2，当∠PAB＝30°，c＝4时，a＝　 　，b＝　 　.
（2）【归纳证明】
请你观察（1）中的计算结果，猜想 、 、 三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论.
（3）【拓展证明】
如图4，在△ABC中， ， ，D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，连结DE并延长至点G，使得GE＝DE，连结BG.若BG⊥AC于点M时，求GF的长.
39．如图， 是边长为 的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是 ，当点 到达点 时，P，Q两点停止运动，设点 的运动时间为 ，解答下列问题：

（1）求 的面积.
（2）当 为何值时， 是直角三角形？
（3）是否存在某一时刻 ，使四边形APQC的面积是 面积的 ？如果存在，求出 的值;如果不存在，请说明理由.

答案解析部分
【解析】【解答】解：由tanA==2，设BC=2x，则AC=x，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，
∴根据勾股定理，得AB=，
因此，sinA=，
故答案为：C．

【分析】根据，设BC=2x，则AC=x， 再利用勾股定理求出AB的长，最后利用正弦的定义求解即可。
【解析】【解答】解：如图，作AH⊥BC，

又∵AB=AC，
∴BC=2HC
∵HC=ACcosa =2cosa，
∴BC=2HC=4cosa.
故答案为：A.
【分析】作AH⊥BC，利用锐角三角函数定义求出HC长，再利用等腰三角形的性质求BC长即可.
【解析】【解答】如图，在AB上截取AQ=AO=1，连接DQ，

∵将AD绕A点逆时针旋转90°得到AE，
∴∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠DAC =∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
在△AQD和△AOE中，
，
∴△AQD≌△AOE(SAS)，
∴QD=OE，
∵D点在线段BC上运动，
∴当QD⊥BC时，QD的值最小，即线段OE²有最小值，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∵QD⊥BC，
∴△QBD是等腰直角三角形，
∵AB=AC=3，AO=1，
∴QB=2，
∴由勾股定理得QD=QB=，
∴线段OE有最小值为，
故答案为：B．

【分析】先证明△AQD≌△AOE得出QD=OE，当QD⊥BC时，QD的值最小，即线段OE²有最小值，判定△QBD是等腰直角三角形，由勾股定理得QD=QB=，即可得线段OE有最小值为。
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵∠B＝35°，
∴∠BAD＝90°−35°＝55°.
故答案为：C.
【分析】由等腰三角形三线合一可得AD⊥BC，再根据直角三角形两锐角互余可求解.
【解析】【解答】解：如图，连接CM，CM'，

∵在30°直角三角板ABC中，点M是斜边AB边上的中点，
∴CM＝ ，
∵∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝12，
∴CM＝6，
由题意知，点M的运动路径为以CM为半径，点C为圆心的弧，
∵将三角板绕直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到△A′B′C，
∴∠MCM'＝90°，
∴点M经过的的路径长为 ，
故答案为：C.

【分析】连接CM，CM'，根据30°所对直角边等于斜边一半，斜边上中线等于斜边一半，得CM＝ ，AB＝2AC＝12，进而得CM＝6；由题意知，点M的运动路径为以CM为半径，点C为圆心的弧，将三角板绕直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到△A′B′C，即∠MCM'＝90°，根据弧长的计算公式l=，代入数据即可求出点M的运动路径长.
【解析】【解答】解：∵ ∠BAC=120°，
∴∠FAC=60°，
∵EF垂直平分AC，
∴∠ADF=90°，AC=2AD，
∴∠F=30°，
∴AF=2AD，
∴AB=AC=AF，
∴BF=AB+AF=
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠B=∠C=30°，根据垂直平分线的性质可得EA=EC，由等腰三角形的性质可得∠EAC=∠C=30°，则∠AEF=60°，∠F=30°，∠BAE=∠EAF=90°，根据∠B=∠F可得BE=EF，根据等腰三角形的性质可得BF=2AF，据此计算.
【解析】【解答】解：
连接CO和BO
根据折叠的性质可得，DB=DC=DO
∴∠BOC=90°，∠OBC+∠OCB=90°
根据折叠的性质可得，EO=EB，FO=FC
∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO
∴∠AEO=2∠EBO，∠AFO=2∠FCO
∵∠AEO+∠AFO=58°
∴2∠EBO+2∠FCO=58°
∴∠EBO+∠FCO=29°
∴∠ABC+∠ACB=∠EBO+∠OCB+∠FCO=90°+29°=119°
∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-119°=61°
故答案为：D.

【分析】根据折叠的性质、三角形的内角和定理、直角三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，求出答案即可。
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵AB为直径，
∴ ，
在 中，
.
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理可得∠DOC=2∠DBC=70°，根据平行线的性质可得∠DOC=∠ACO=70°，根据等腰三角形的性质可得∠OCA=∠CAO=70°，然后根据内角和定理进行计算.
【解析】【解答】解：∵AB=BC=1 ，
在Rt △OAB中， sinα =
∴OB=
∵在Rt△BCO中，​​​OB2+BC2=OC2
∴OC2 =( )2+12=
故答案为：B​​​​.
【分析】由正弦函数的定义得sin α = ，从而表示出OB的长，再由勾股定理​​​OB2+BC2=OC2，可表示出OC2，由此得出答案.
【解析】【解答】解：如图，过点E作ET⊥AB交AB与点T

∵ 由作图可得，AE平分∠CAB
∴CE=ET，
在Rt△ACE与Rt△ATE中，
AE=AE，CE=TE，
∴Rt△ACE≌Rt△ATE
∴AC=AT
∵CE＝3
∴ET=3
∵BE＝5，ET⊥AB
∴BT=4
设AC=x，则AT=x
∵在△ABC中，∠C＝90°
∴AC2+BC2=AB2
∴
解得，x=6
故答案为：C.
【分析】根据作图过程可得AE平分∠CAB，由角平分线的性质可过点E作ET⊥AB交AB与点T，并得到CE=ET，AC=AT，之后运用勾股定理，可建立AC相关的等式，解出可得到答案.
【解析】【解答】解：如图，过点F作FH⊥BC于点H，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
又∵FH⊥BC，AG⊥BC，
∴∠AGH=∠AFH=∠FHG=∠GAF=90°
∴四边形AGHF是矩形，
∴AF=GH，
在Rt△ABG中， ∠B＝45°
∴BG=AG=2cm
∵沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形
∴设AF=GH=EC=xcm
∴HE=BC-BG-GH-EC=6-2-x-x=（4-2x）cm
∵FH=AG=2cm
在Rt△EFH中， ∠BEF＝30°
∴cm
∴
∴
即 cm
故答案为：D.
【分析】由等腰直角三角形得出BG的长，由全等梯形得出HE用含x的式子表示，利用30度的直角三角形三边比例关系，得出方程，从而得出结果.
【解析】【解答】解：如图，设C，D两点到地面距离为68m，过C作CE⊥地面于E，B为摩天轮最低点，连接OB交地面于A，延长BO交CD于M，

则OB=，AB=0.5m
连接CD
∵CD//地面内的AE
OA⊥AE
∴OA⊥CD于M
∵AM=CE=68
∴OM=AM-0B-AB=68-45-0.5=22.5
∴
∴
∴
∴
∵旋转一周共15 min
∴从C到D点共 min
故答案为：B.
【分析】由题意，得出相关的一些线段长度，由三角函数，得出的值，得出的度数，得出的度数，从而得出满足题意时，在空中的时间为15min的三分之一，从而得出结果。
【解析】【解答】解：连接CD，

∵Rt△ABC中，AC=BC，点D为AB的中点，
∴CD=DB，∠DBC=∠ACD=45°，∠CDB=∠EDF=90°，
∴∠DCE=180°-45°=135°，∠DBF=180°-45°=135°，
∴∠DCE=∠DBF，
在△CDE和△BDF中，

∴△CDE≌△BDF（ASA）
∴，
∴.
故答案为：A.
【分析】连接CD，利用等腰直角三角形的性质可证得CD=DB，∠DBC=∠ACD=45°，∠CDB=∠EDF=90°，由此可推出∠CDE=∠BDF，再利用ASA证明△CDE≌△BDF，利用全等三角形的面积相等，可得到，由此可证得结论.
【解析】【解答】解：如图，连接CE， 由CD为直径，


∴点E在以BC的中点O为圆心， BC为直径的 上运动，
连接AO， 交 于点E， 则此时AE=AO-OE 最小，
， ，




故答案为：D.
【分析】连接 CE，由圆周角定理可得∠CED=∠BEC=90°，连接AO，交于点E，则此时AE=AO-OE最小，根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠BAC=45°，根据三角函数的概念可得AC=BC=，利用勾股定理求出AO，进而可得AE.
【解析】【解答】解：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴CA=CB，∠CAB=∠CBA=45°，CD=CE，∠E=∠CDE=45°，
∵∠ACE+∠ACD=∠ACD+∠BCD，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），所以A符合题意；
∵∠DAC=∠E+∠ACE，
∴∠DAB+∠BAC=∠E+∠ACE，
∵∠CAB=∠E=45°，
∴∠DAB=∠ACE，
而∠ACE不一定是45°，所以B不符合题意；
∵△ACE≌△BCD，
∴AE=BD，
∴AD+DB=AD+AE=DE，所以C符合题意；
∵△ACE≌△BCD，
∴∠BDC=∠E=45°，
∵∠CDE=45°，
∴∠ADB=∠ADC+∠BDC=45°+45°=90°，
∴△ABD为直角三角形，所以D符合题意．
故答案为：B．
【分析】先求出∠ACE=∠BCD，再结合图形，利用全等三角形的判定与性质对每个结论一一判断即可。
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴△PMN是等边三角形，
∵ ，
∴QN=PQ= ，∠QMN=30°，∠QNM=60°，

∵ ，
∴∠GQN=∠G=30°，QN=NG= ，
∴∠QMN=∠G=30°，
∴QM=QG，
∵ 的周长为12， ，
∴MN=4，QN=NC=2，QM=QG=m，
∴ 周长是QM+QG+MN+NG=6+2m.
故答案为：C.
【分析】易得△PMN是等边三角形，得QN=PQ= MN，∠QMN=30°，∠QNM=60°，根据等腰三角形的性质可得∠GQN=∠G=30°，QN=NG=MN，推出QM=QG，根据△MNP的周长可得MN=4，QN=NC=2，QM=QG=m，据此求解.
【解析】【解答】解：如图，连接EA并延长BD于点O，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB=45°，AB=AD，
∴A在BD垂直平分线上，
∵三角形BDE是等边三角形，
∴∠BED=∠EDB=∠EBD=60°，ED=EB，
∴E在BD的垂直平分线上，
∴AE是BD的垂直平分线，
∴∠DEO= ∠DEB=30°，
∵∠EDB=60°，∠ADB=45°，
∴∠EDA=60°-45°=15°，
∴∠EAF=15°+30°=45°，
∵ ，
∴∠EFA=90°，
∴∠FEA=∠EAF=45°，
∴EF=AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=4，∠BAD=90°，
由勾股定理得：BD= ，即ED=BD= ，
设AF=EF=x，则DF=x+4，
在Rt△EFD中，由勾股定理得：
ED2=EF2+FD2，
∴ ，
解得： （是负数，不符合题意舍去），
即AF= .
故答案为：A.
【分析】如图，连接EA并延长BD于点O，由正方形性质，得∠ADB=45°，AB=AD，即A在BD垂直平分线上，由三角形BDE是等边三角形，得∠BED=∠EDB=∠EBD=60°，ED=EB，即E在BD的垂直平分线上，故AE是BD的垂直平分线，得∠DEO= ∠DEB=30°；再根据∠EDB=60°，∠ADB=45°，得∠EDA=15°，进而得∠EAF=45°，结合EF⊥DA ，得∠FEA=∠EAF=45°，即EF=AF；在Rt△ABD中，由勾股定理求得BD= ，即ED=，再在Rt△EFD中，由勾股定理得，ED2=EF2+FD2，即，解得x即可解决问题.
【解析】【解答】解：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=AC= BC，∠ABC=∠C=45°，
∵Rt△ABD折叠得到Rt△EBD，
∴∠DBE= ∠ABC=22.5°，DE=AD=a，∠DEB=90°，
∴△DCE为等腰直角三角形，
∴CE=DE=a，∠CDE=45°，
∵Rt△DC′E由Rt△DCE折叠得到，
∴∠C′DE=∠CDE=45°，∠DC′E=45°，
∴∠BDC′=∠DC′E-∠DBE=22.5°，
∴DC′不平分∠BDE，所以①错误；
∵BE=AB=AC=AD+CD=DE+CD=a+b，CE=DE=a，
∴BC=BE+CE=a+b+a=2a+b，所以②正确；
∵∠DBC=∠BDC′=22.5°，
∴△BDC′是等腰三角形，所以③正确；
∵△CED的周长=DE+EC+DC=a+a+b=2a+b，
∴△CED的周长等于BC的长，所以④正确.
故答案为：B.
【分析】易得∠ABC=∠C=45°，由折叠得∠DBE=∠ABC=22.5°，DE=AD=a，∠DEB=90°，则△DCE为等腰直角三角形，得CE=DE=a，∠CDE=45°，折叠得∠C'DE=∠CDE=45°，∠DC'E=45°，由∠BDC′=∠DC′E-∠DBE计算出∠BDC′的度数，据此判断①；易得BE=AB=AC=a+b，CE=DE=a，然后根据BC=BE+CE可判断②；由∠DBC=∠BDC′=22.5°以及等腰三角形判定定理可判断③；△CED的周长为DE+EC+DC，进而判断④.
【解析】【解答】解：如图，过点C作CP⊥DE于点P，交AB于点K，如图所示，

∵4个四边形HFGI，四边形HFBA，四边形CJEA，四边形JCBD 都是全等的，
∴HF=CJ，
∵∠ACB=∠EJD=90°，CB=EJ，AB=ED，
∴△ABC≌△DEJ（HL），
∴CM=EJ，
∵MN：CJ=5:9，
∴CM：MN=2:5，
∵AB∥ED，
∴CK：KP=2:5，
∵AB=5，
∴KP=BD=AB=5，
∴CK=2，
设BC=m，AC=n，CF=m，CH=n，
∴CJ=HF=m+n，
∵AB×CK=AC×BC，
∴mn=10，
在Rt△ABC中，
m2+n2=25，
∴，
∴HF=.
故答案为：D.

【分析】过点C作CP⊥DE于点P，交AB于点K，设BC=m, AC=n, 则可得出CF=, CH=，则有CJ= HF=m+n，然后求出CM：MN=2:5，则可得出CK= 2，最后求出 mn和m2+n2的值 ，则可求解.
【解析】【解答】解：

如图，过点P作 于点M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
，即 ，
解得： ，
∴ .
故答案为：C.
【分析】过点P作PM⊥AB交于点M，根据菱形的性质可得∠DAB=∠C=60°，AB=AD=2，根据等腰三角形的性质可得AM=1，∠APM=60°，则∠PAM=30°，∠PAD=30°，证明△ABP≌△ADP，得到S△ABP=S△ADP，根据含30°角的直角三角形的性质可得AP=2PM，根据勾股定理求出PM，然后根据S阴影=S扇形ABD-S△ABP-S△ADP进行计算.
【解析】【解答】解：将△AEC绕着点A逆时针旋转90°，得到△BAF，

∵△ABC中，AB=AC，
∴点C与点B重合，
∴CE=BF，AE=AF，∠EAC=∠FAB，∠C=∠FBA=45°，
∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠EAC+∠BAD=90°-∠DAE=45°，∠FBD=∠ABF+∠ABD=45°+45°=90°，
在△FAD和△DAE，
∴
∴△FAD≌△DAE（SAS）
∴DE=DF，
∵BD=2CE，
设CE=x，则DE=DF=3+-3x
在Rt△BDF中
BF2+BD2=FD2即x2+4x2=（3+-3x）2，
5x2=（3+-3x）2，
解之：（不符合题意）
∴DE=.
故答案为：.
【分析】将△AEC绕着点A逆时针旋转90°，得到△BAF，可知点C与点B重合，可证得CE=BF，AE=AF，∠FBD=90°，∠FAD=∠DAE；利用SAS证明△FAD≌△DAE，利用全等三角形的性质可证得DE=DF，设CE=x，可表示出DF的长，在Rt△BDF中利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到符合题意的DE的长.
【解析】【解答】解：如图，延长PQ交FC延长线于点M，

由题意可知：PM⊥AB，∠ABC＝60°，
∴∠QMB＝30°，
∵Q点是AB中点.
∴QB＝ AB＝10cm，
∴BM＝2QB＝20cm，QM＝ QB＝10 cm，
∵CE＝BE＝6cm，∠ABC＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BC＝6cm，
∴BD＝CD﹣BC＝20﹣6＝14cm，
∴FM＝BM+BD+DF＝20+14+20＝54（cm），
∴PF＝ FM＝18 （cm），
∴当视线PQ与屏幕AB垂直时，小红的眼睛距离桌面的高度PF等于18 cm，
∴PM＝2PF＝36 cm，
∴PQ＝PM﹣QM＝36 ﹣10 ＝26 （cm），
当∠P′QB＝75°时，P′F得最小高度，如图，延长P′Q交FC延长线于点N，
∴∠N+∠QBN＝∠P′QB，
∴∠N＝75°﹣60°＝15°，
∵∠QMB＝30°，
∴∠MQN＝15°，
∴∠MQN＝∠N＝15°，
∴MQ＝MN＝10 cm，
∴FN＝FM+MN＝（54+10 ）cm，
如图，过点Q作QH⊥BM于点H，

设OH＝xcm，则QM＝MN＝2xcm，MH＝ xcm，
∴NH＝MN+MH＝（2x+ x）cm，
∴tan15°＝ ，
∴tan15°＝ ＝2+ ，
∴P′F＝（2+ ）（54+10 ）＝（78﹣34 ）cm，
∴PP′＝PF﹣P′F＝18 ﹣（78﹣34 ）＝（52 ﹣78）cm.
故答案为：18 ；（52 ﹣78）cm.

【分析】延长PQ交FC延长线于点M，先证明△BCE是等边三角形，得BC＝6cm，再由BD＝CD﹣BC求得BD=14cm，进而求出FM=54cm，在含30°角的Rt△PMF，得PF＝ FM，求PF的长度即可；在含30°角的Rt△PMF中，得PM＝2PF＝36cm，进而求得PQ＝PM﹣QM＝26cm，当∠P′QB＝75°时，P′F得最小高度，再延长P′Q交FC延长线于点N，得∠N+∠QBN＝∠P′QB，求得∠N=15°，进而得∠MQN＝∠N＝15°，可得MQ＝MN＝10cm，进一步得FN=54+10cm，再过点Q作QH⊥BM于点H，设OH＝xcm，则QM＝MN＝2xcm，MH＝xcm，NH=MN+MH＝（2x+x）cm，根据tan15°＝，得P'F=（78﹣34）cm，再由PP′＝PF﹣P′F，代入数据求得PP′，PP′即为小红眼睛距离桌面的最大高度和最小高度的差.
【解析】【解答】解：如图，过M作CD的垂线，交CD的延长线于E点，

∵折叠，
∴AM=MD=2，
∵A'C≥MC-MA'，
∴当M，A'，C在同一条直线时，A'C有最小值，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴∠EDM=∠BCD=30°，
∴ED=MD=，EM=MD=1，
∴MC===7，
∴A'C=MC-MA'=MC-MA=7-2=5.
故答案为：5.

【分析】过M作CD的垂线，交CD的延长线于E点，根据折叠的性质求出MD，根据三角形三边的关系得出当M，A'，C在同一条直线时，A'C有最小值，根据平行四边形的性质求出∠EDM=30°，然后根据含30°的直角三角形的性质求出ED和EM长，再根据勾股定理求出MC，最后求A'C即可.
【解析】【解答】解：过D点作DF⊥AB于点F，

∵AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，
∴DF＝ AD＝1，EB＝AB﹣AE＝2，
∴阴影部分的面积：
4×1﹣ ﹣2×1÷2
＝4﹣ π﹣1
＝3﹣ π.
故答案为：3﹣ π.

【分析】过D点作DF⊥AB于点F，根据30°角所对直角边等于斜边 一半求得AD=1，由AD=AE，求得EB=2，再根据扇形面积公式s= ，求得扇形面积，根据三角形面积公式求得三角形EBC的面积，最后由阴影部分的面积=平行四边形面积-扇形面积-三角形EBC的面积，代入数据即可求出阴影部分的面积.
【解析】【解答】解：根据题意，得 ， 米，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，即
解得： 米，
∴建筑物的高度约为14.7米.
故答案为：14.7.
【分析】根据题意得 ：∠ADB=64°，∠ACB=48°，CD=6米，根据∠ADB、∠ACB的正切函数可求出BD、BC，然后根据CD=BC-BD进行计算.
【解析】【解答】解：如图，过C作CF⊥DE于F，

∵△ADB为等腰直角三角形，E为AB的中点，
∴DE⊥AB，DE=AB=3
∵∠CAB=30°，E为AB的中点，
∴CE=BE=AB=3，∠B=60°，
∴△BCE为等边三角形，
∴∠BEC=60°，
∴∠DEC=∠BED+∠BEC=150°，
∴∠CEF=180°-∠DEC=30°，
∴CF=EC=AB=，
∴S△DEC=DE·CF=×3×=.
故答案为：.
【分析】过C作CF⊥DE于F，根据等腰三角形的性质得出∠BED=90°，然后根据含30°角直角三角形的性质求出∠BEC=60°，则可求出∠DEC，从而求出∠CEF为30°，根据含30°角直角三角形的性质求出CF，最后计算△DEC面积即可.
【解析】【解答】解：过P作PH⊥AB于H，

设BH=x，
∵AB=AC，∠ACB=90°，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∴PH=HB=x，
∴PB=x，
∵PQ∥AD，
∴，
∴
∴BQ=x，
∴AQ=AB-BQ=-x，
∴ 的面积= AQ×PH
=(-x)x
=-(x-4)2+24，
∴x=4，面积的最大值为24，
∴BP=x=8.
故答案为：8.

【分析】过P作PH⊥AB于H，设BH=x，由CA=AB，得出△ACB是等腰直角三角形，则可表示出PB，然后由PQ∥AD，根据平行线分线段成比例把BQ表示出来，则可把AQ表示出来，再求出 的面积的表达式，然后根据二次函数的性质求最大值，即可作答.
【解析】【解答】解：设原八角星纸板边长为k，
∴图2中的正方形的边长为(2+)k，面积为(2k+k)2，4个小三角形面积和为2k2，
则(2k+k)2+2k2=8+，
解得k=1，
∴AB=1+.
故答案为：1+.

【分析】设原八边形边长为k，根据等腰直角三角形的性质和线段的和差关系表示出图2中的正方形的边长，并把该正方形的面积和三个小三角形面积之和表示出来，最后根据割补法求面积建立关于k的方程求解，即可解答.
【解析】【解答】解：△AB1C1中，AC1＝B1C1，∠C1＝20°，
∴∠C1B1A＝ ，
∵B1B2＝B1C2，∠C1B1A是△B1B2C2的外角，
∴∠B1B2C2＝ ；
同理可得，
∠C3B3B2＝20°，∠C4B3B2＝10°，
∴∠ABnCn＝．
故答案为：40，．
【分析】先求出∠C1B1A＝80°，再找出规律求解即可。
【解析】【解答】解：∵∠BAC=50°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO= ∠BAC= ×50°=25°．
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°．
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=25°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=65°-25°=40°．
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴直线AO垂直平分BC，
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=40°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE．
∴∠COE=∠OCB=40°；
在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠OEF= ∠CEO=50°，①符合题意；
∵∠OCB=∠OBC=∠COE=40°，
∴∠BOE=180°-∠OBC-∠COE-∠OCB =180°-40°-40°-40°=60°, ②不符合题意；
∵∠ABO=∠BAO=25°，DO是AB的垂直平分线，
∴∠DOB=90°-∠ABO=75°，
∵∠OCB=∠OBC=40°，
∴∠BOC=180°-∠OBC -∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠DOC=∠DOB+∠BOC=75°+100°=175°,即D、O、C三点不共线，③不符合题意.
故答案为：①．
【分析】根据等腰三角形的性质，角平分线，垂直平分线的定义对每个结论一一判断即可。
【解析】【分析】由垂直的概念以及角平分线的性质可得∠F=∠CEB=90°，CE=CF，证明△CEB≌△CFD，据此可得结论.
【解析】【分析】 连接EC并延长交AB于点N， 由题意可得：EN1AB，四边形EFDC、四边形CDBN均是矩形 ，构造直角三角形，直接利用锐角三角函数关系得出AN的长，进而得出所求答案.
【解析】【分析】首先由勾股定理求出OM，证明△COM∽△BOD，根据相似三角形的性质可得BD，然后根据∠AOD的正切函数就可求出AB.
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得 ∠B=∠C=45°，根据角的和差得 ∠DAE=30°， 根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得 ∠AED=75°， 最后根据三角形外角的性质，由 ∠CDE=∠AED-∠C 即可求解；
（2）设∠BAD＝x，于是得到∠CAD＝90°−x，根据等腰三角形的性质得 ∠AED=45°+ ， 进而根据三角形外角的性质由 ∠CDE=∠AED-∠C 即可求解；
（3）设∠BAD＝x，∠C＝y，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理及三角形外角性质可求解．
【解析】【分析】过P作PE⊥AD于点E，过N作NO⊥BC于点O，设AB=PE=NO=a，CG=CF=2×80=160，由题意得，由反射的性质知AB∥EP∥NO，根据平行线的性质得∠BLP=∠LPE=∠EPN=∠PNO，证△BPL∽△OPN，由相似三角形性质得OP=a，同理OF=NO=a，再由BC=BP+OP+OF+CF=2000可求出a的值，根据CO=OF+CF可得CO，AM=DN=CO，据此不难求出MN.
【解析】【分析】迁移应用：①如图②中，只要证明∠DAB=∠CAE，即可根据SAS解决问题；②结论：CD= AD+BD．由△DAB≌△EAC，可知BD=CE，在Rt△ADH中，DH=AD•cos30°= AD，由AD=AE，AH⊥DE，推出DH=HE，由CD=DE+EC=2DH+BD= AD+BD，即可解决问题；
拓展延伸：①如图3中，作BH⊥AE于H，连接BE．由BC=BE=BD=BA，FE=FC，推出A、D、E、C四点共圆，推出∠ADC=∠AEC=120°，推出∠FEC=60°，推出△EFC是等边三角形；②由AE=5，EC=EF=2，推出AH=HE=2.5，FH=4.5，在Rt△BHF中，由∠BFH=30°，可得 =cos30°，由此即可解决问题．
【解析】【分析】（Ⅰ）先求出 ， 再利用勾股定理计算求解即可；
（Ⅱ）先求出 ，再求出 ， 最后利用勾股定理和锐角三角函数计算求解即可；
（Ⅲ）先求出CE的值，再求出 △OFD≌△OEC ，最后计算求解即可。
【解析】【解答】 (1)解：①如图1所示，连接EF，∵AF⊥BE，

∴∠APB＝∠APE＝∠BPF＝90°，
∵ ，
∴∠PAB＝45°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵AF，BE是△ABC的中线，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB.且 EF＝ AB，
∴ ，
∴PE＝PF＝2，
由勾股定理得：AE＝BF＝ ＝ ＝ ，
∴AC＝BC＝2AE＝ ，
∴ ，
故答案为： ； ；
②如图2连接EF，∵∠PAB＝30°，AB＝4，AF⊥BE，

∴BP＝ AB＝2，
∴AP＝ ，
∵AF、BE是△ABC的中线，
∴EF∥AB.且 EF＝ AB，
∴ ，
∴PE＝ PB＝1，PF＝ AP＝ ，
由勾股定理得：AE＝ ＝ ＝ ，
BF＝ ＝ ＝ ，
∴AC＝2AE＝2 ，BC＝2BF＝2 ，
故答案为： 2 ，2 ；
【分析】（1）①连接EF，由tan∠PAB＝1可求出△PAB、△PEF是等腰直角三角形，由AB=4 可求出PA=PB=4，易求EF是△ABC的中位线，可得EF∥AB,且 EF＝ AB，从而得出 ，继而求出PE=PF=2，由勾股定理得AE＝BF= ，即得AC＝BC＝2AE＝ ；②如图2连接EF，根据含30°角的直角三角形性质求出BP＝ AB＝2，AP＝2 ，易求EF是△ABC的中位线，同①可求出PE＝ PB＝1，PF＝ AP＝ ，由勾股定理求出AE、BF，继而求解；
（2） a2+b2＝5c2；证明：如图3，设 PF＝m，PE＝n，同（1）原理可得AP＝2m，PB＝2n，根据勾股定理即可求解；
（3） 如图4，连接CG，EF，过点F作FN∥BG交CG于点N，FG与AC交于点Q， 根据平行线分线段成比例及线段的中点可得 ， 再证四边形EFCG是平行四边形，由Q是FG的中点可得△FCG是中垂三角形， 再求出 CG＝EF＝BD＝2 ，FC＝ ，由（2）中结论可知：5FC2＝CG2+FG2，据此求出GF即可.
【解析】【分析】(1) 过点 作 于点 ， 根据等边三角形的性质和勾股定理求出AD，然后计算△ABC的面积即可；
(2) 设经过 秒， 是直角三角形， 则 ，然后分两种情况讨论，即①当 时，根据 建立方程； ②当 时，根据建立方程 ，然后分别求解即可；
(3)作 于 ， 根据含30°角的直角三角形的性质表示QE，则可把△BQP的面积用含t的代数式表示，结合 的面积是 面积的 建立关于t的一元二次方程，然后利用一元二次方程的判别式判断即可.