中考数学二轮复习专题 解直角三角形解析版

这是一份中考数学二轮复习专题 解直角三角形解析版，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，计算题，作图题，综合题等内容，欢迎下载使用。

中考数学二轮复习专题 解直角三角形
一、单选题
1．某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为（　　）

A．3.5sin29° B．3.5cos29° C．3.5tan29° D．
2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，延长BC至E，使得CE＝BC，将△ABC沿AC翻折，使点B落点D处，连接DE，则DE的长为（　　）

A． B． C． D．
3．某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（　　）

A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
4．如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O的半径为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．4-
5．如图是一个2×2的方阵，其中每行、每列的两数和相等，则 可以是（　　）

20
a

A． B．-1 C．0 D．
6．如图钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，钓者想看看鱼上钩的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（　　）

A．3m B．m C．m D．4m
7．如图，正方形ABCD中，内部有4个全等的正方形，小正方形的顶点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，AD上，则tan∠AEH=（　　）

A． B． C． D．
8．四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变.如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形 ，若 ，则菱形 的面积与正方形ABCD的面积之比是（　　）

A．1 B． C． D．
9．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（　　）

A． B． C． D．
10．如图，在四边形ABCD中， ， ， ，AC与BD交于点E， ，则 的值是（　　）

A． B． C． D．
11．如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点A逆时针旋转 ，使点B落在点 的位置，连接B ，过点D作DE⊥ ，交 的延长线于点E，则 的长为（　　）

A． B． C． D．
12．如图，正方形 中，点 、 分别在边 ， 上， 与 交于点 .若 ， ，则 的长为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题
13．已知α、β均为锐角，且满足|sinα﹣|+=0，则α+β= 　 　.
14．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连接AC，EC，CD=DE，则tan∠ACE的值为　 　.

15．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME．若∠EMD=90°，则cosB的值为　 　。

16．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝6 ，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG．若BF＝2DG，且直线BF与直线DG互相垂直，则BG的长为　 　．

17．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=6cm，连接BD，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为　 　cm.

18．如图，在矩形ABCD中，AB＝ ，AD＝3，点P是AD边上的一个动点，连接BP，作点A关于直线BP的对称点A1，连接A1C，设A1C的中点为Q，当点P从点A出发，沿边AD运动到点D时停止运动，点Q的运动路径长为　 　.

19．如图，△ABC内接于半径为 的半圆O中，AB为直径，点M是 的中点，连结BM交AC于点E，AD平分∠CAB交BM于点D，∠ADB=135°且D为BM的中点，则DM的长为　 　；BC的长为　 　.

20．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，OA＝1，将OA绕点O顺时针旋转45°到OA1，扫过的面积记为S1，A1A2⊥OA1交x轴于点A2；将OA2绕点O顺时针旋转45°到OA3，扫过的面积记为S2，A3A4⊥OA3交y轴于点A4；将OA4绕点O顺时针旋转45°到OA5，扫过的面积记为S3；…；按此规律，则S2021为 　 　．

三、计算题
21．计算：|﹣4|﹣2cos60°+（ ﹣ ）0﹣（﹣3）2．
22．计算：|-3|+（π-3）0- +tan45°
四、作图题
23．如图在的正方形的网格中，每个小正方形的边长为1，线段、的端点均在小正方形的顶点上.

⑴在图中的为边画，使点在小正方形的顶点上，且.
⑵在（1）的条件下，在图中的以为边画面积为3的使点在小正方形的顶点上，，连结直接写出线段的长.
五、综合题
24．如图1，已知在平面直角坐标系xoy中，四边形OABC是矩形点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，连结AC，OA＝3，tan∠OAC＝ ，D是BC的中点.

（1）求OC的长和点D的坐标；
（2）如图2，M是线段OC上的点，OM＝ OC，点P是线段OM上的一个动点，经过P，D，B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连结DE交AB于点F
①将△DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标；
②以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G运动路径的长.
25．如图1，在平面直角坐标系中，点 在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，设 ，且 .

（1）直接写出 的度数.
（2）如图2，点D为AB的中点，点P为y轴负半轴上一点，以AP为边作等边三角形APQ，连接DQ并延长交x轴于点M，若 ，求点M的坐标.
（3）如图3，点C与点A关于y轴对称，点E为OC的中点，连接BE，过点B作 ，且 ，连接AF交BC于点P，求 的值.

答案解析部分
【解析】【解答】在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝3.5米，∠BCA＝29°，
∴AB＝BC•sin∠ACB＝3.5•sin29°.
故答案为：A．

【分析】利用解直角三角形的方法可得AB＝BC•sin∠ACB＝3.5•sin29°。
【解析】【解答】解：如图，过点C作CF⊥DE于点F，
∴∠CFE=90°，
∵ ∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，
∴AC=10，
由折叠的性质得：CD=BC=6，∠ACB=∠ACD，
∵CE＝BC，
∴CD=CE=6，
∴△CDE是等腰三角形，
∴FE=FD，∠DCF=∠ECF，
∵∠ACB+∠ACD+∠DCF+∠ECF=180°，
∴∠ACB+∠ECF=90°，
∵∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠ECF，
∴△ABC∽△CFE，
∴，
∴，
∴FE= ，
∴DE=2FE= .
故答案为：D.

【分析】过点C作CF⊥DE于点F，根据折叠的性质得出CD=BC=6，∠ACB=∠ACD，再证出△CDE是等腰三角形，得出FE=FD，∠DCF=∠ECF，根据平角的定义得出∠ACB+∠ECF=90°，得出BAC=∠ECF，从而得出△ABC∽△CFE，得出 ，求出FE的长，即可得出DE的长.
【解析】【解答】解：∵简易房为轴对称图像，故BC边上的高平分底边，
∴有 故答案为：B。
【分析】由轴对称关系，作高，解直角三角形即可。
【解析】【解答】解：设AB、AC的切点分别为D、E，连结OD、OE，如图，

∵AB、AC与⊙O相切于点D、E，
∴AD=AE，∠ODB=∠OEC=90°，
又∵△ABC是边长为8的等边三角形，
∴AB=AC=BC=8，∠B=60°，
∴BD=CE，
∵OD=OE，
∴△ODB≌△OEC（SAS），
∴OB=OC= BC=4，
在Rt△ODB中，
∴sin60°= ，
即OD=OBsin60°=4× =2 ，
∴⊙O的半径为2 .
故答案为：A.
【分析】设AB、AC的切点分别为D、E，连结OD、OE，根据切线的性质和切线长定理得AD=AE，∠ODB=∠OEC=90°，由等边三角形性质得AB=AC=BC=8，∠B=60°，等量代换可得BD=CE，根据全等三角形判定SAS得△ODB≌△OEC，再由全等三角形性质得OB=OC=4，在Rt△ODB中，根据锐角三角函数正弦定义即可求得答案.
【解析】【解答】解：由题意得：
a+ =
解之：a=1
∵ ；12019=1
故答案为：D
【分析】根据2×2的方格中，每一行和每一列的两数之和相等，建立关于a的方程，解方程求出a的值，再将选项A、D化简即可得出正确答案。
【解析】【解答】解：∵∠B=90°，AC=6，BC=3，
∴，
∴∠CAB=45°，
根据旋转的性质得出AC′=AC=6，∠C′AC=15°，
∴∠C′AB=45°+15°=60°，
∵，
∴B′C′=AC′·sin60°=6×，
∴露在水面上的鱼线B'C'长度是m.
故答案为：B.

【分析】根据锐角三角函数的定义求出∠CAB=45°，根据旋转的性质得出AC′=AC=6，∠C′AC=15°，从而得出∠C′AB=60°，再根据正弦的定义得出B′C′=AC′·sin60°，即可得出答案.
【解析】【解答】解：过点G作GM⊥AB于点M，


设小正方形的边长为1
∴GE=3，FG==EH=1
∵正方形ABCD
∴∠A=∠C=∠EHG=∠EMC=90°，AB=BC
∴∠AEH+∠MEG=90°=∠MEG+∠EGM
∴∠AEH=∠EGM
∴△AEH∽△MGE
∴EH：EG=AE：MG=AH：EM=1：3
同理可证：∠AEH=∠FGC
在△AEH和△CFG中
∠A=∠C，∠AEH=∠FGC，EH=FG
∴△AEH≌△CFG（AAS）
∴CG=AE
由题意可知四边形BMGC是矩形
∴MB=CG=AE，MG=AB=BC
∴AE=EM=BM
∵AH：EM=1：3即AH：AE=1:3
∴tan∠AEH=
故答案为：A
【分析】过点G作GM⊥AB于点M，利用正方形额性质及同角的余角相等，可证得∠AEH=∠EGM，从而可证得△AEH∽△MGE，利用相似三角形的性质，可证得对应边成比例，就可得到EH：EG=AE：MG=AH：EM=1：3，再证明△AEH≌△CFG，利用全等三角形的性质，可证得CG=AE，然后证明AE=EM，再利用锐角三角函数的定义求出结果。
【解析】【解答】解：如图所示，过点D′作D′M⊥AB于点M，

∵,
∴,
∵四边形ABC′D′是菱形，
∴AD′=AB,
∴S菱形ABC′D′=AB×D′M= ,
∵S正方形ABCD=AB2，
∴菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比为 ，
故答案为：B.
【分析】首先根据题意得到菱形的边长和正方形的边长相等，再根据∠D'AB=30°得到菱形的高等于其边长的一半，最后分别表示出正方形的面积和菱形的面积，然后求出比值即可.
【解析】【解答】解：设AC=x,
在Rt△ABC中，AB= ．
在Rt△ACD中，AD= ，
则 ，
故答案为：B。
【分析】求AB与AD的比，就不必就求AB和AD的具体长度，不妨设AB=x，用含x的代数式分别表示出AB，AD的长，再求比。
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ；
故答案为：C.
【分析】根据二直线平行，同旁内角互补得出∠ABC=90°，根据直角三角形的两锐角互余得出， ，根据同角的余角相等得出 ，根据相似三角形对应边成比例得出 ，根据比例式得出AD=2BC，进而得出 ，然后利用正切函数的定义即可得出 的值 .
【解析】【解答】设 交于点 ，

由题意：
是等边三角形

四边形 为正方形

∴∠CBF=90°-60°=30°，
DE⊥

又

设
则






解得：

故答案为：A
【分析】设 交于点 ，证明 是等边三角形，可得，利用正方形的性质求出∠CBF=30°，利用三角形内角和可求出，设 ，利用解直角三角形求出DF、FC 、BF，从而求出BE，B'E，利用建立方程，求出x值即可求出结论.
【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】利用正方形的性质结合已知条件求出BE，CF的长，利用SAS证明△BCE≌△CDF，利用全等三角形的性质，可得到∠CBE=∠DCF，再证明∠CBE=∠CGE，利用锐角三角函数的定义，求出CG，然后由GF=CF-CG求出GF的长。
【解析】【解答】∵|sinα﹣|+=0，
∴sinα=，tanβ=1，
∴α=30°，β=45°，
则α+β=30°+45°=75°．
故答案为：75°．
【分析】根据非负数的性质求出sinα、tanβ的值，然后根据特殊角的三角函数值求出两个角的度数．
【解析】【解答】解：如图，过点A作AF⊥CE于点F，设DE=2x，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∵点E是AD的中点，
∴AE=DE=CD=2x，
∴∠AEF=∠CED=45°，CE=2x，
∵∠AFE=90°，
∴AF=EF=x，
∴CF=3x，
∴ tan∠ACE=.

【分析】过点A作AF⊥CE于点F，设DE=2x，根据线段中点定义得出AE=DE=CD=2x，根据等腰三角形的限制性和勾股定理得出∠AEF=∠CED=45°，CE=2x，从而得出AF=EF=x，
CF=3x，再根据锐角三角函数定义即可得出答案.
【解析】【解答】解：延长DM交CB的延长线于H，

∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD=BC=2,AD∥BC，
∴∠ADM=∠H，
又∵M是AB的中点，
∴AM=BM=1，
在△ADM和△BHM中，
∵ ，
∴△ADM≌△BHM（AAS），
∴DM=HM，AD=BH=2,
∵EM⊥DM，
∴EH=ED,
设BE=x，
∴EH=ED=2+x，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠EAD=90°,
∴AE2=AB2-BE2=ED2-AD2,
即22-x2=（2+x）2-22,
化简得：x2+2x-2=0，
解得：x=-1，
在Rt△ABE中，

∴cosB=.
故答案为： .
【分析】延长DM交CB的延长线于H，由菱形的性质和平行线的性质可得：AB=AD=BC=2,∠ADM=∠H；由全等三角形的判定AAS得△ADM≌△BHM，再根据全等三角形的性质得DM=HM，AD=BH=2,根据等腰三角形三线合一的性质可得EH=ED,设BE=x，则EH=ED=2+x，根据勾股定理得AE2=AB2-BE2=ED2-AD2,代入数值解这个方程即可得出BE的长.
【解析】【解答】解：①当点F在DE延长线上时，如图，过点B作BT⊥BF交ED的延长线于点T，过点B作BH⊥DT于点H

∵DG⊥BF，BT⊥BF
∴DG∥BT
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，
∴四边形DGBT是平行四边形
∴BG=DT，DG=BT，∠BDH=∠ABC=45°
∵AB＝
​​​​​​​∴AD=DB=
∴BH=DH=3
∵∠TBF=∠BHF=90°
​​​​​​​∴∠TBH+∠FBH=90°，∠FBH+∠F=90°
​​​​​​​∴∠TBH=∠F
∵BF＝2DG
∴tan∠F=tan∠TBH=
∴
∴TH=
∴DT=TH+DH=+3=
∴BG=
②当点F在ED的延长线上时，如图，同理可得DT=BG=3-=

​​​​​​​​​​​∴综上所述：BG=或.
故答案为： 或.
【分析】根据点F在直线DE上，可以分点F在DE延长线上以及点F在ED的延长线上两种情况进行讨论，过点B作BT⊥BF交ED的延长线与点T，过点B作BH⊥DT交DT与点H，先证明四边形DGBT是平行四边形，由平行四边形的性质可以得到BG=DT，从而转化为计算DT的长，之后运用等角的正切值相等，结合BF＝2DG，求出TH的长，根据两种情况下DT的情况与DH进行和差，由此可得出答案.
【解析】【解答】过点A作AH⊥DE，垂足为H，

∵∠BAC=90°，AB=AC，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，
∴AE=AD=6，∠CAE=∠BAD=15°，∠DAE=∠BAC=90°，
∴DE= ，∠HAE= ∠DAE=45°，
∴AH= DE=3 ，∠HAF=∠HAE-∠CAE=30°，
∴AF= ，
∴CF=AC-AF= ，
故答案为： .
【分析】过点A作AH⊥DE，垂足为H。根据旋转的性质，△ABD 与△ACE全等。故△DAE是等腰直角三角形，利用勾股定理得DE。根据等腰三角形三线合一的性质，以及直角三角形斜边上中线的性质，求得AH。利用三角函数值计算，分析求出AF，从而求得CF。
【解析】【解答】解：如图，连接BA1，取BC的中点O，连接OQ，BD.

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∴tan∠ABD＝ ＝ ，
∴∠ABD＝60°，
∵A1Q＝QC，BO＝OC，
∴OQ＝ BA1＝ AB＝ ，
∴点Q的运动轨迹是以O为圆心，OQ为半径的圆弧，圆心角为120°，
∴点Q的运动路径长＝ ＝ π。
故答案为： π。
【分析】如图，连接BA1，取BC的中点O，连接OQ，BD，根据矩形的性质得出∠BAD＝90°，根据特殊锐角三角形函数值及正切函数的定义得出∠ABD=60°，根据轴对称的性质得出A1B=AB，再根据三角形的中位线定理得出OQ＝ BA1＝ AB＝ ，点Q的运动轨迹是以O为圆心，OQ为半径的圆弧，圆心角为120°，从而根据弧长计算公式即可算出答案。
【解析】【解答】解：连接AM，

∵AB是圆O的直径，
∴∠M＝∠C＝90°，
∵∠ADB＝135°，
∴∠ADM＝180°−∠ADB＝45°，
∴∠MAD＝90°−∠ADM＝45°=∠ADM，
∴AM＝MD，
∵点D是BM的中点，
∴MD＝BD，
设AM＝x，则BM＝2x，
∵AM2＋BM2＝AB2，
∴x2＋（2x）2＝（2）2，
∴x＝2，
∴AM＝DM＝2，
∵点M是弧AC 的中点，
∴弧AM=弧MC，
∴∠CBM＝∠ABM，
∴，
∵弧CM=弧CM
∴∠MAC＝∠CBM，
∴
∴EM＝AM＝1，
∴BE＝BM−EM＝4−1＝3，
∵CE2＋BC2＝BE2，
∴CE2＋（2CE）2＝32，
∴解之：
∴.
故答案为：2，.
【分析】连接AM，利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠M＝∠C＝90°，再证明∠MAD=∠ADM，利用等角对等边，可证得AM＝MD，利用线段中点的定义可证得MD=BD，设AM＝x，则BM＝2x，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AM，DM的长；利用等弧所对的圆周角相等，可证得∠CBM＝∠ABM，利用解直角三角形求出EM，根据BE＝BM−EM，代入计算求出BE的长，利用勾股定理求出CE的长，即可求出BC的长.
【解析】【解答】解：由题意△ 、 、 、 、都是等腰直角三角形，
， ， ， ，
， ， ， ，
；
，
，
故答案为： ．

【分析】由题意△ 、 、 、 、都是等腰直角三角形，得出 ， ， ， ... ，再求出 ， ， ， ，从而得出 ，据此规律即可得出答案。
【解析】【分析】根据实数运算法则、零指数幂和特殊三角形函数值得有关知识计算即可．
【解析】【分析】根据有理数的绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式一一计算即可得出答案.
【解析】【分析】（1）画出 且使即可；
（2）根据△DEF的面积确定格点D，利用勾股定理及勾股定理的逆定理可得△CBD为等腰直角三角形，利用勾股定理求出CD的长即可.
【解析】【解答】（2）②解：(i)如图，由①可知，当P过O点时，E（，0），F是AB的中点，则BF=，

(ii)如图，当P过M点时，由抛物线方程可得E(6,0)， BF=AB=，

分别作出等边三角形，如图，

∵DF=DG，DF'=DG'，∠FDF'=∠GDG'
∴△DFF'≌△DGG'，
则点G运动路径长GG’等于点F运动路径长FF’，
即GG'=FF'=BF'=，
∴点G运动路径长为.
【分析】（1）在Rt△ACO中，根据锐角三角函数正切定义结合题意可得OC= ，由矩形性质得BC=AO=3，再由中点定义得CD= BC= ，从而可得点C坐标.（2）①根据锐角三角函数正切定义结合题意可得∠OAC=∠ACB=30°，再由翻折的性质得DB´=DB=DC，∠BDF=∠B´DF，根据等腰三角形性质、三角形内角和定理可求得∠BDF=∠B´DF=30°，在Rt△BDF中，根据锐角三角函数正切定义可求得BF长，由 AB长得BF长，由全等三角形判定和性质得AE=BD，由OE=OA+AE即可求得答案.②先分两种情况，分别求出当P过O点与过M点时BF的长，再分别作出等边三角形，结合图象可证△DEF'≌△DGG'，得到点G运动路径长GG'等于点F运动路径FF'，利用GG'=FF'=BF-BF'计算，即可求出点G运动路径长。
【解析】【解答】解：（1）∵点 在x轴负半轴上，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
如答图1，在x轴的正半轴上取点C，使 ，连接BC，

∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ；
【分析】（1）证AB＝2OA，在x轴的正半轴上取点C，使OC＝OA，连接BC，再证△ABC是等边三角形，则可得出结论；
（2）连接BM，证明△AQD≌△APO（SAS），得∠ADQ＝∠AOP＝90°，再证△ABM为等边三角形，得出OM＝AB＝3，即可得出答案；
（3）过点F作FM∥x轴交CB的延长线于点M，证△BEC≌△FBM（AAS），得EC＝BM，BC＝MF，再证△PAC≌△PFM（AAS），得CP＝MP，进而得出答案．