2022届二轮复习 专题四第2课时　带电粒子在复合场中的运动 学案

这是一份2022届二轮复习 专题四第2课时　带电粒子在复合场中的运动 学案，共18页。学案主要包含了拓展训练1，拓展训练2，拓展训练3等内容，欢迎下载使用。

1.电场中常见的运动类型
(1)匀变速直线运动：通常利用动能定理qU＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)来求解；对于匀强电场，电场力做功也可以用W＝qEd来求解。
(2)偏转运动：一般研究带电粒子在匀强电场中的偏转问题。对于类平抛运动可直接利用平抛运动的规律以及推论；较复杂的曲线运动常用运动的合成与分解的方法来处理。
2.匀强磁场中常见的运动类型(仅受磁场力作用)
(1)匀速直线运动：当v∥B时，带电粒子以速度v做匀速直线运动。
(2)匀速圆周运动：当v⊥B时，带电粒子在垂直于磁感线的平面内以入射速度大小做匀速圆周运动。
3.关于粒子的重力
(1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与电场力或磁场力相比太小，可以忽略；而对于一些宏观物体，如带电小球、液滴、金属块等一般应考虑其重力。
(2)不能直接判断是否要考虑重力的情况，在进行受力分析与运动分析时，根据运动状态可分析出是否要考虑重力。
1.解题关键
带电粒子在复合场中做什么运动，取决于带电粒子所受的合外力及初始运动状态的速度，因此带电粒子的运动情况和受力情况的分析是解题的关键。
2.力学规律的选择
(1)当带电粒子在复合场中做匀速直线运动时，应根据平衡条件列方程求解。
(2)当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，往往同时应用牛顿第二定律和受力分析列方程联立求解。
(3)当带电粒子在复合场中做非匀变速曲线运动时，应选用动能定理或能量守恒定律列方程求解。
高考题型1 带电粒子在复合场中运动的实例分析
【例1】(多选) (2021·福建泉州市4月质量监测)如图1，电磁流量计的测量管横截面直径为D，在测量管的上下两个位置固定两金属电极a、b，整个测量管处于水平向里的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。当含有正、负离子的液体从左向右匀速流过测量管时，连在两个电极上的显示器显示的流量为Q(单位时间内流过的液体体积)，下列说法正确的是( )
图1
A.a极电势高于b极电势
B.液体流过测量管的速度大小为eq \f(Q,πD2)
C.a、b两极之间的电压为eq \f(4QB,πD)
D.若流过的液体中离子浓度变高，显示器上的示数将变大
答案 AC
解析 由左手定则可知，正离子向上偏转，负离子向下偏转，则a极电势高于b极电势，选项A正确；由于Q＝vS＝v·eq \f(1,4)πD2，解得液体流过测量管的速度大小为v＝eq \f(4Q,πD2)，选项B错误；当达到平衡时qeq \f(U,D)＝qvB，解得a、b两极之间的电压为U＝eq \f(4QB,πD)，选项C正确；因ab两点间的电压与流过的液体中离子浓度无关，则当粒子浓度变高时，显示器上的示数不变，选项D错误。
【拓展训练1】(2021·河北省普通高中学业水平选择性考试，5)如图2，距离为d的两平行金属板P、Q之间有一匀强磁场，磁感应强度大小为B1，一束速度大小为v的等离子体垂直于磁场喷入板间。相距为L的两光滑平行金属
导轨固定在与导轨平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小为B2，导轨平面与水平面夹角为θ，两导轨分别与P、Q相连。质量为m、电阻为R的金属棒ab垂直导轨放置，恰
好静止。重力加速度为g，不计导轨电阻、板间电阻和等离子体中的粒子重力。下列说法正确的是( )
图2
A.导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，v＝eq \f(mgRsin θ,B1B2Ld)
B.导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，v＝eq \f(mgRsin θ,B1B2Ld)
C.导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，v＝eq \f(mgRtan θ,B1B2Ld)
D.导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，v＝eq \f(mgRtan θ,B1B2Ld)
答案 B
解析 由左手定则可知Q板带正电，P板带负电，所以金属棒ab中的电流方向为从a到b，对金属棒受力分析可知，金属棒受到的安培力方向沿导轨平面向上，由左手定则可知导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，由受力平衡可知B2IL＝mgsin θ，而I＝eq \f(U,R)，而对等离子体受力分析有qeq \f(U,d)＝qvB1，解得v＝eq \f(mgRsin θ,B1B2Ld)。故B正确，A、C、D错误。
高考题型2 带电粒子在叠加场中的运动
1.解题规范
(1)叠加场的组成特点：电场、磁场、重力场两两叠加，或者三者叠加。
(2)受力分析：正确分析带电粒子的受力情况，场力、弹力和摩擦力。
(3)运动分析：匀速直线运动、匀速圆周运动、匀变速直线运动、类平抛运动、非匀变速曲线运动。
(4)选规律，列方程：应用运动学公式、牛顿运动定律和功能关系。
2.灵活选择运动规律
(1)若只有两个场且正交，合力为零，则表现为匀速直线运动或静止状态。例如电场与磁场中满足qE＝qvB；重力场与磁场中满足mg＝qvB；重力场与电场中满足mg＝qE。
(2)三场共存时，若合力为零，则粒子做匀速直线运动；若粒子做匀速圆周运动，则有mg＝qE，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即qvB＝meq \f(v2,r)。
(3)当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解。
【例2】(多选) (2021·广东六校第三次联考)如图3所示，空间中存在水平方向的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向左，磁场方向垂直纸面向里。一带电小球恰能以速度v0做直线运动，其轨迹如图虚线所示，虚线与水平方向成30°角，小球最终穿过一轴线沿小球运动方向且固定摆放的光滑绝缘管道(管道内径略大于小球直径)，下列说法正确的是( )
图3
A.小球一定带正电
B.磁场和电场的大小关系为eq \f(E,B)＝eq \r(3)v0
C.小球可能是从管道的乙端运动到甲端
D.若小球刚进入管道时撤去磁场，小球将在管道中做匀速直线运动
答案 AD
解析 小球做匀速直线运动，若带正电，电场力水平向左，重力竖直向下。从甲端运动到乙端时，洛伦兹力垂直于虚线斜向右上三力恰好平衡，能保证小球沿图中虚线运动。若小球带负电，电场力水平向右，重力竖直向下。从甲端运动到乙端时或者从乙端运动到甲端时，洛伦兹力垂直于虚线斜向左上或者右上，均不能使小球沿直线运动，故A正确，C错误；由以上分析可知，电场力和洛伦兹力关系为sin 30°＝eq \f(qE,qv0B)，整理，得eq \f(E,B)＝eq \f(v0,2)，故B错误；未撤磁场时，小球三力平衡，其中电场力和重力沿虚线方向的合力为零，
当撤去磁场时，在管道中所受重力和电场力均没有变化，沿虚线方向(管道方向)合力仍为零，而管道的支持力垂直于管道，即小球合力仍为零，做匀速直线运动，故D正确。
【拓展训练2】(多选) (2021·广西桂林市秀峰区第一次联合调研)如图4所示，竖直平行金属板M、N上加有电压U，N板的右侧有正交的匀强电场和匀强磁场，匀强电场方向竖直向下、电场强度大小为E，匀强磁场方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B。在M板附近有一粒子源，释放初速度为零的带电粒子，这些粒子经电场加速后进入正交的电、磁场中，都恰能做匀速直线运动，不计粒子的重力和粒子间的相互影响，下列判断正确的是( )
图4
A.粒子做匀速运动的速度大小为eq \f(B,E)
B.所有粒子的电荷量一定相同
C.所有粒子的比荷一定相同
D.将N板向左平移一些，粒子在电、磁场中仍能做直线运动
答案 CD
解析 粒子进入正交的电、磁场中恰能做匀速直线运动，有qvB＝qE，粒子的速度v＝eq \f(E,B)，选项A错误；粒子在电场中加速，由动能定理得qU＝eq \f(1,2)mv2，粒子在正交场中的速度都相同，则粒子的比荷相同，选项B错误，C正确；将N板向左平移一些，两板间电压不变，粒子进入正交场的速度不变，所以粒子在电、磁场中仍能做直线运动，选项D正确。
高考题型3 带电粒子在组合场中的运动
1.两大偏转模型
电偏转：带电粒子垂直进入匀强电场中；磁偏转：带电粒子垂直进入匀强磁场中。
2.思维流程
【例3】(2021·1月辽宁普通高校招生适应性测试，15)如图5所示，在第一、四象限的0.5d≤y≤1.5d和－1.5d≤y≤－0.5d区域内存在磁感应强度大小可调、方向相反的匀强磁场；在第二、三象限内存在沿y轴负方向的匀强电场。带电粒子以速度v0从点P(－4d，1.5d)沿x轴正方向射出，恰好从O点离开电场。已知带电粒子的质量为m、电荷量为q(带正电)，不计粒子的重力。
图5
(1)求匀强电场的电场强度大小E；
(2)若磁感应强度大小均为B1时，粒子在磁场中的运动轨迹恰好与直线y＝－1.5d相切，且第一次离开第四象限时经过x轴上的S点(图中未画出)，求B1；
(3)若磁感应强度大小均为B2时，粒子离开O点后，经n(n＞1)次磁偏转仍过第(2)问中的S点。求B2与B1的比值，并确定n的所有可能值。
答案 (1)eq \f(3mveq \\al(2,0),16qd) (2)eq \f(mv0,4qd) (3)eq \f(9n,11－2n)(n＝2，3，4，5)
解析 (1)由牛顿第二定律得qE＝ma
得a＝eq \f(qE,m)①
粒子在匀强电场中做类平抛运动
水平方向：4d＝v0t②
竖直方向：1.5d＝eq \f(1,2)at2③
联立①②③式可得：E＝eq \f(3mveq \\al(2,0),16qd)。
(2)带电粒子在电场中：vy＝at④
tan θ＝eq \f(vy,v0)⑤
v2＝veq \\al(2,0)＋veq \\al(2,y)⑥
联立解得θ＝37°，v＝eq \f(5,4)v0
带电粒子在磁场中洛伦兹力提供向心力：qvB1＝meq \f(v2,R)⑦
如图，由几何关系得
R＝Rcs θ＋d⑧
解得R＝5d
联立解得B1＝eq \f(mv0,4qd)⑨
(3)第(2)问中，设S点横坐标为x
则x＝2Rsin θ＋2×eq \f(0.5d,tan θ)＝eq \f(22,3)d⑩
若磁感应强度大小均为B2时，仍过S点，则有：
x＝neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(d,tan θ)＋2R′sin θ))⑪
联立⑩⑪解得R′＝eq \f(5（22－4n）,18n)d⑫
因为R′>0，所以n＝2，3，4，5
由qvB2＝meq \f(v2,R′)⑬
联立⑫⑬解得B2＝eq \f(9nmv0,2（22－4n）qd)(n＝2，3，4，5)⑭
联立⑨⑭解得eq \f(B2,B1)＝eq \f(9n,11－2n)(n＝2，3，4，5)
【拓展训练3】(2021·全国甲卷，25)如图6，长度均为l的两块挡板竖直相对放置，间距也为l，两挡板上边缘P和M处于同一水平线上，在该水平线的上方区域有方向竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E；两挡板间有垂直纸面向外、磁感应强度大小可调节的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子自电场中某处以大小为v0的速度水平向右发射，恰好从P点处射入磁场，从两挡板下边缘Q和N之间射出磁场，运动过程中粒子未与挡板碰撞。已知粒子射入磁场时的速度方向与PQ的夹角为60°，不计重力。
图6
(1)求粒子发射位置到P点的距离；
(2)求磁感应强度大小的取值范围；
(3)若粒子正好从QN的中点射出磁场，求粒子在磁场中的轨迹与挡板MN的最近距离。
答案 (1)eq \f(\r(13)mveq \\al(2,0),6qE) (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(\r(3),3)))eq \f(mv0,ql)≤B≤eq \f(2mv0,ql)
(3)eq \f(39－10\r(3),44)l
解析 (1)带电粒子在电场中做类平抛运动，设粒子经过P点的速度在水平方向和竖直方向的分速度分别为vx和vy，运动至P点所用时间为t，加速度大小为a，有qE＝ma，
eq \f(vx,vy)＝tan 60°
vx＝v0
vy＝at
x＝v0t
y＝eq \f(1,2)at2，s＝eq \r(x2＋y2)
联立解得t＝eq \f(\r(3)mv0,3qE)，s＝eq \f(\r(13)mveq \\al(2,0),6qE)。
(2)粒子进入磁场的速度v＝eq \f(v0,sin 60°)＝eq \f(2\r(3)v0,3)，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝eq \f(mv2,r)，解得r＝eq \f(mv,qB)
若粒子从Q点射出，粒子在磁场中运动的轨迹半径最小，设为r1，如图甲所示，则由几何知识可得r1＝eq \f(\r(3),3)l，
甲
解得最大磁感应强度B1＝eq \f(2mv0,ql)
若粒子从N点射出，粒子在磁场中运动的轨迹半径最大，设为r2，由如图乙所示，由几何知识得sin 15°＝eq \f(\f(\r(2),2)l,r2)
乙
解得r2＝(eq \r(3)＋1)l，最小磁感应强度B2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(\r(3),3)))eq \f(mv0,ql)，即磁感应强度的范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(\r(3),3)))eq \f(mv0,ql)≤B≤eq \f(2mv0,ql)。
(3)画出粒子的轨迹如图丙所示，设此时粒子的轨迹半径为r′，粒子从QN的中点E射出，由几何知识得
PE＝eq \r(l2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)l))\s\up12(2))＝eq \f(\r(5),2)l，
r′＝eq \f(PE,2sin∠POO′)
sin∠POO′＝sin∠FPO′＝sin(60°－∠QPE)
解得r′＝eq \f(5（2\r(3)＋1）,22)l
轨迹上与MN距离最近的点与圆心O的连线与QN平行，由几何关系得最近的距离d＝QN－eq \f(r′,2)＝eq \f(39－10\r(3),44)l。
丙
高考题型4 带电粒子在周期性变化电场或磁场中的运动
1.基本思路
变化的电场或磁场往往具有周期性，粒子的运动也往往具有周期性。这种情况下要仔细分析带电粒子的运动过程、受力情况，弄清楚带电粒子在变化的电场、磁场中各处于什么状态，做什么运动，画出一个周期内的运动轨迹的草图。
2.分析重点
【例4】(2021·山东青岛市黄岛区期末)如图7甲所示的坐标系中，在x轴上方的区域内存在着如图乙所示周期性变化的电场和磁场，交变电场的电场强度大小为E0，交变磁场的磁感应强度大小为B0，取x轴正方向为电场的正方向，取垂直纸面向外为磁场的正方向。在t＝0时刻，将一质量为m，带电荷量为q，重力不计的带正电粒子，从y轴上A点由静止释放。粒子经过电场加速和磁场偏转后垂直打在x轴上。求：
图7
(1)粒子第一次在磁场中运动的半径；
(2)粒子打在x轴负半轴上距O点的最小距离；
(3)起点A与坐标原点间的距离d应满足的条件；
(4)粒子打在x轴上的位置与坐标原点O的距离跟粒子加速和偏转次数n的关系。
答案 (1)eq \f(πmE0,qBeq \\al(2,0)) (2)eq \f(πmE0,qBeq \\al(2,0))(π＋2) (3)d＝eq \f(n2πmE0,qBeq \\al(2,0))(n＝1，2，3…) (4)s＝eq \f(nπmE0,2qBeq \\al(2,0))(π＋2)(n＝1，2，3…)
解析 (1)粒子第一次进入电场中qE0＝ma，v1＝at0
粒子第一次进入磁场中qv1B0＝eq \f(mveq \\al(2,1),R1)
联立方程解得R1＝eq \f(πmE0,qBeq \\al(2,0))
(2)可知粒子经2次加速和偏转后打在x轴负半轴上距O点的距离最小，如图所示
第一次加速的位移为Δs1＝eq \f(a1teq \\al(2,0),2)＝eq \f(π2mE0,2qBeq \\al(2,0))
第二次加速的位移Δs2＝3Δx1
v2＝2a1t0＝eq \f(2πE0,B0)
ΔsP＝Δs2－Δs1＋R2＝eq \f(πmE0,qBeq \\al(2,0))(π＋2)
(3)分析带电粒子运动，如图所示
可知A与坐标原点间的距离d应满足
d＝n2R1＝eq \f(n2πmE0,qBeq \\al(2,0))(n＝1，2，3…)
(4)由上图知，若粒子经过n次加速和偏转后打在x轴上，则与坐标原点O的距离
s＝n(Δx1＋R1)＝eq \f(nπmE0,2qBeq \\al(2,0))(π＋2)(n＝1，2，3…)
专题限时训练
(限时：40分钟)
1.(多选)[2021·湖北七市(州)教科研协作体3月联考]智能手机中的电子指南针利用了重力传感器和霍尔元件来确定地磁场的方向。某个智能手机中固定着一个矩形薄片霍尔元件，四个电极分别为E、F、M、N，薄片厚度为h，在E、F间通入恒定电流I、同时外加与薄片垂直的匀强磁场B，M、N间的电压为UH，已知半导体薄片中的载流子为正电荷，电流与磁场的方向如图1所示，下列说法正确的是( )
图1
A.N板电势高于M板电势
B.磁感应强度越大，UH越大
C.增加薄片厚度h，UH增大
D.将磁场和电流分别反向，N板电势低于M板电势
答案 AB
解析 电流的方向由E流向F，根据左手定则，带正电的载流子受洛伦兹力的方向指向N，带正电的载流子向N偏转，则N板电势高，故A正确；设左右两个表面相距为d，载流子所受的电场力等于洛伦兹力，即eq \f(eUH,d)＝evB，设材料单位体积内载流子的个数为n，材料横截面积为S，则I＝neSv，S＝dh，解得UH＝eq \f(BI,neh)，令k＝eq \f(1,ne)，则UH＝eq \f(BI,neh)＝keq \f(BI,h)，所以若保持电流I恒定，则M、N间的电压UH与磁感虑强度B成正比，故B正确；根据UH＝keq \f(BI,h)，可知增加薄片厚度h，UH减小，故C错误；若磁场和电流分别反向，依据左手定则，带正电的载流子仍向N偏转，则N板电势仍高于M板电势，故D错误。
2.(2021·1月广东学业水平选择考适应性测试，13)如图2所示，M、N两金属圆筒是直线加速器的一部分，M与N的电势差为U；边长为2L的立方体区域abcda′b′c′d′内有竖直向上的匀强磁场。一质量为m、电荷量为＋q的粒子，以初速度v0水平进入圆筒M左侧的小孔。粒子在每个筒内均做匀速直线运动，在两筒间做匀加速直线运动。粒子自圆筒N出来后，从正方形add′a′的中心垂直进入磁场区域，最后由正方形abb′a′中心垂直飞出磁场区域，忽略粒子受到的重力。求：
图2
(1)粒子进入磁场区域时的速率；
(2)磁感应强度的大小。
答案 (1)eq \r(\f(2qU,m)＋veq \\al(2,0)) (2)eq \f(\r(m（mveq \\al(2,0)＋2qU）),qL)
解析 (1)粒子在电场中加速，由动能定理可得
qU＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
解得v＝eq \r(\f(2qU,m)＋veq \\al(2,0))。
(2)根据题意从正方形add′a′的中心垂直进入磁场区域，最后由正方形abb′a′中心垂直飞出磁场区域，粒子在磁场中运动的轨道半径R＝L
在磁场中运动时洛伦兹力提供了向心力
qvB＝meq \f(v2,R)
解得B＝eq \f(\r(m（mveq \\al(2,0)＋2qU）),qL)。
3. (2021·湖北八市3月联考)如图3所示，在xOy平面的轴左侧存在着半径为L的圆形匀强磁场区域Ⅰ，磁场方向垂直纸面向里，边界与y轴在O点相切；在xOy平面的y轴右侧存在一个沿y轴负方向的电场强度为E＝eq \f(mveq \\al(2,0),qL)的有界匀强电场区域Ⅱ，匀强电场的右侧有一个方向垂直纸面向里的匀强磁场区域Ⅲ，区域Ⅱ的宽度为L，区域Ⅱ和区域Ⅲ的高度足够长。质量为m、电荷量为q的带负电粒子从A点沿半径以初速度v0、方向与x轴正方向成θ＝60°角射入匀强磁场区域Ⅰ，恰好从坐标原点O沿x轴正方向进入区域Ⅱ。不计粒子的重力。
图3
(1)求区域Ⅰ内磁场的磁感应强度大小B；
(2)求粒子离开区域Ⅱ时的位置坐标；
(3)若粒子进入区域Ⅲ后刚好沿右边界垂直穿过x轴，求区域Ⅲ的宽度L′和磁感应强度的大小B′分别为多少？
答案 (1)eq \f(\r(3)mv0,3qL) (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(L，\f(L,2))) (3)eq \f(1＋\r(2),2)L eq \f(2mv0,qL)
解析 (1)如图所示
粒子在磁场区域Ⅰ中做匀速圆周运动的轨迹为一段圆弧，圆心为O′，对应的圆心角为θ＝60°，设半径为R，由几何关系得R＝eq \f(L,tan \f(θ,2))
由洛伦兹力提供向心力qvB＝eq \f(mveq \\al(2,0),R)
联立解得B＝eq \f(\r(3)mv0,3qL)。
(2)带电粒子从坐标原点O沿x轴正方向进入区域Ⅱ做类平抛运动，设带电粒子在区域Ⅱ中运动的时间为t，加速度为a，离开区域Ⅱ时的位置坐标为(L，y)，由运动分解得
水平方向L＝v0t
竖直方向y＝eq \f(1,2)at2
由牛顿第二定律得qE＝ma，联立解得y＝eq \f(L,2)
则带电粒子离开区域Ⅱ时的位置坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(L，\f(L,2)))。
(3)粒子进入区域Ⅲ后在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由题意知其轨迹如图所示，设粒子进入区域Ⅲ时的速度大小为v，沿y轴方向的速度为vy，进入磁场区域Ⅲ时速度的反向延长线过水平位移的中点，可知速度与竖直方向成45°角，则vy＝v0，联立可得v＝eq \r(2)v0
即粒子以与x轴正方向成45°角射入匀强磁场区域Ⅲ。
设粒子在区域Ⅲ的半径为R′，由几何关系得R′＝eq \r(2)y
L′＝y＋R′，联立得L′＝eq \f(1＋\r(2),2)L
由洛伦兹力提供向心力qvB′＝eq \f(mv2,R′)，联立解得B′＝eq \f(2mv0,qL)。
4. (2021·广东肇庆市第二次统一测试)在如图4所示的直角坐标系xOy中，第一象限内存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E(未知)。在第四象限内，有一半径为l的圆形匀强磁场区域，该磁场区域圆心坐标为(2l，－l)，磁场方向垂直于坐标平面向外。在第三、四象限内、磁场区域外存在竖直向上的匀强电场，电场强度大小为E′(未知)。现将某一电荷量为＋q，质量为m的带电粒子(不计重力)从坐标为(0，eq \r(3)l)的M点以初速度v0沿x轴正方向射入第一象限，粒子恰好从(2l，0)处进入磁场区域，后经过第三、四象限中的磁场、电场偏转后与x轴交于N点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)l，0))(图中未标出)，已知粒子在磁场中运动的轨道半径R＝l，求：
图4
(1)匀强电场场强E和E′的大小和圆形磁场区域的磁感应强度B的大小；
(2)粒子从M点运动到N点所用的时间。
答案 (1)eq \f(\r(3)mveq \\al(2,0),2ql) eq \f(3mveq \\al(2,0),ql) eq \f(2mv0,ql) (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋\f(π,3)))eq \f(l,v0)
解析 (1)粒子在匀强电场E中做类平抛运动，设加速度为a1，类平抛运动的水平、竖直位移分别为x1＝2l，y1＝eq \r(3)l，由类平抛运动规律得x1＝v0t1，y1＝eq \f(1,2)a1teq \\al(2,1)
又有qE＝ma1，解得E＝eq \f(\r(3)mveq \\al(2,0),2ql)
竖直方向速度vy1＝a1t1
设粒子进入磁场时的速度方向与x轴正方向的夹角为φ，tan φ＝eq \f(vy1,v0)＝eq \f(2y1,x1)＝2×eq \f(\r(3)l,2l)＝eq \r(3)，故φ＝60°，由几何关系，粒子进入磁场的速度为v＝2v0，粒子的运动轨迹如图所示。
因粒子在磁场中运动的半径R＝l，
故以出射点、入射点、磁场圆圆心和轨迹圆圆心为顶点的四边形为菱形，所以粒子出磁场时的速度为2v0，且沿x轴负方向，由qvB＝meq \f(v2,R)，得B＝eq \f(2mv0,ql)
粒子进入匀强电场后做类平抛运动，粒子的水平和竖直位移分别为x2＝2l－lsin 60°＋eq \f(\r(3),2)l＝2l
y2＝eq \f(1,2)l＋l＝eq \f(3,2)l
由x2＝2v0t3
y2＝eq \f(1,2)a2teq \\al(2,3)
又有qE′＝ma2
解得E′＝eq \f(3mveq \\al(2,0),ql)。
(2)由(1)可得，粒子在第一象限运动的时间为t1＝eq \f(x1,v0)＝eq \f(2l,v0)
粒子在磁场中运动的时间为t2＝eq \f(1,3)×eq \f(2πl,2v0)＝eq \f(πl,3v0)
粒子在三、四象限电场中运动的时间为t3＝eq \f(x2,2v0)＝eq \f(2l,2v0)＝eq \f(l,v0)
故总时间为t＝t1＋t2＋t3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋\f(π,3)))eq \f(l,v0)。
5.(2021·新疆维吾尔自治区第二次联考)如图5所示，大量的同种粒子从静止经电压U1加速后，沿虚线方向射入正交的电磁场之中，恰好做直线运动，电场强度方向竖直向下，磁感应强度大小B1＝0.2 T。方向垂直纸面向里，两平行板之间的距离d＝6 cm。平行板右侧有一圆形磁场区域，圆心O在虚线上、半径r＝10 cm，圆内有垂直纸面向里的磁场B，B的大小可以调控。圆形区域的上方安装有荧光屏，荧光屏与虚线平行。与O的距离l＝20eq \r(3) cm，M、N是荧光屏上两点，MO连线与屏垂直，N到M点之间的距离L＝20 cm。已知加在平行板间的电压U2＝1.2×104 V，粒子的比荷为eq \f(q,m)＝108 C/kg。不计重力的影响，求：
图5
(1)加速电场U1大小；
(2)要使粒子打到荧光屏上MN之间，圆形区域内的磁场B范围。
答案 (1)5000 V (2)eq \f(\r(3),30) T≤B≤0.1 T
解析 (1)设粒子在正交的电磁场中做匀速直线运动的速度为v，则有qE1＝qvB1
又E1＝eq \f(U2,d)，联立解得v＝eq \f(U2,B1d)
代入数据解得v＝1×106 m/s
粒子在U1电场中加速，由动能定理有qU1＝eq \f(1,2)mv2
联立解得U1＝5 000 V。
(2)粒子沿半径方向射出磁场，作出粒子分别打到荧光屏上M和N点的运动轨迹，圆心分别为O1和O2，轨迹圆的半径分别为R1和R2
由几何关系知R1＝r
图中tan α＝eq \f(l,L)＝eq \r(3)，则α＝60°
由几何关系有taneq \f(α,2)＝eq \f(r,R2)，又由R＝eq \f(mv,qB)
联立代入数据解得B1＝0.1 T，B2＝eq \f(\r(3),30) T
则满足条件的B范围为eq \f(\r(3),30) T≤B≤0.1 T。专题
复习
定位
解决问题
本专题主要解决带电粒子在电场和磁场中运动的综合问题，掌握带电粒子在复合场中运动问题的分析思路和方法。
高考重点
回旋加速器、质谱仪等带电粒子在复合场中运动的实例分析；带电粒子在叠加场中的运动；带电粒子在组合场中的运动；带电粒子在周期性变化电场或磁场中的运动。
题型难度
本专题选择题和计算题都有可能命题，选择题一般考查质谱仪和回旋加速器的原理、粒子在复合场中运动的简单分析，题目相对简单；计算题考查带电粒子在复合场中运动的多过程问题，是带电粒子在电场和磁场中运动的组合问题，综合性强，难度较大。