数学选择性必修 第三册7.1 条件概率与全概率公式公开课教学ppt课件

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事件A与事件B至少有一个发生的事件，叫做A与B的和事件，记为A∪B(或A+B)。
事件A与事件B同时发生的事件，叫做A与B的积事件，记为A∩B(或AB)。
若AB(即A、B都发生)为不可能事件，则称事件A与B为互斥事件。
若事件A与事件B的发生互不影响，即P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与B相互独立。
如果事件A与B不相互独立，如何表示积事件AB的概率呢? 下面我们从具体问题入手。
若事件A与事件B为互斥事件，P(A∪B)=P(A)+P(B)
在班级里随机选择一人做代表。(1) 选到男生的概率是多少?(2) 如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少?
问题1 某个班级有 45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表所示：
随机选择一人做代表，则样本空间Ω包含45个等可能的样本点。
(2)“在选到团员的条件下，选到男生”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为P(B|A) 。 此时相当于以A为样本空间来考虑事件B发生的概率，而在新的样本空间中事件B就是积事件AB，包含的样本点数n(AB)=16。根据古典概型可知：
用A表示事件“选到团员”，B表示事件“选到男生”，根据表中的数据可得：
n(Ω)=45, n(A)=30, n(B)=25。
(1) 根据古典概型知识可知，选到男生的概率为：
问题2 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭、随机选择一个家庭，那么：(1)该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大?(2)如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率是多大?
用b表示男孩，g表示女孩，则样本空间Ω＝{gg, gb,bg, bb}，且所有样本点是等可能的。
用A表示事件“选择的家庭中有女孩”，B表示事件“选择的家庭中两个小孩都是女孩”，则：
A＝{gg，gb, bg }，B＝{gg}。
(2)“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为P(B|A)。此时A成为样本空间，事件B就是积事件AB，根据古典概型可知：
(1) 根据古典概型知识可得，两个小孩都是女孩的概率为：
在上面两个问题中，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率都是
这个结论对于一般的古典概型仍然成立。事实上，如图所示，若已知事件A发生，则A成为样本空间。 此时，事件B发生的概率是AB包含的样本点数与A包含的样本点数的比值，即
一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称
为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率。
知识点1：条件概率的定义
知识点2：概率乘法公式
由这个定义可知，对任意两个事件A，B，若P(A)>0，则有
我们称上式为概率的乘法公式。
探究 在问题1和问题2中，都有P(B|A) ≠ P(B)。一般地，P(B|A)与P(B)不一定相等。如果P(B|A)与P(B)相等，那么事件A与B应满足什么条件?
直观上看，当事件A与B相互独立时，事件A发生与否不影响事件B发生的概率，这等价于P(B|A)＝P(B)成立. 事实上，若事件A与B相互独立，即P(AB)＝P(A)P(B)，且P(A)>0，则
反之，若P(B|A)＝P(B)，且P(A)>0，则
即事件A与B相互独立。
因此当P(A)>0 时，当且仅当事件A与B相互独立时，有P(B|A)＝P(B)成立。
例1 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回。求: (1) 第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率; (2) 在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率。
(1)“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件AB。从5道试题中每次不放回地随机抽取2道，则
设A＝“第1次抽到代数题”，B＝“第2次抽到几何题”。
(2)“在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的概率。由于
已知第1次抽到代数题，这时还余下4道试题，其中代数题和几何题各2道。因此，事件A发生的条件下，事件B发生的概率为
解法2：(在缩小的样本空间A上求P(B|A))
知识点3：求条件概率有两种方法
① 是基于样本空间Ω，先计算P(A)和P(AB)，再利用条件概率公式求P(B|A)；② 是根据条件概率的直观意义, 增加了“A发生”的条件后, 样本空间缩小为A, 求P(B|A)就是以A为样本空间计算AB的概率。
条件概率只是缩小了样本空间, 因此条件概率同样具有概率的性质。 设P(A)>0，则条件概率的性质为：
知识点4：条件概率的性质
例2 已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张. 他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗?
用A，B，C分别表示甲、乙、丙中奖的事件，则
事实上，在抽奖问题中，无论是放回随机抽取还是不放回随机抽取，中奖的概率都与抽奖的次序无关。
例3 银行储蓄卡的密码由 6位数字组成。某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字。求: (1) 任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率； (2) 如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率。
(1) 设Ai＝“第i次按对密码”(i＝1, 2)，则事件“不超过2次就按对密码”可表示为
(2) 设B＝“最后1位密码为偶数”，则
2.从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中随机抽出1张扑克牌，抽出的牌不再放回，已知第1次抽到A牌，求第2次抽到A牌的概率。
设第1次抽到A牌为事件A，第2次抽到A牌为事件B，则
3. 袋子中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球。每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回。求: (1) 在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率； (2) 两次都摸到白球的概率。
设第1次摸到白球为事件A，第2次摸到白球为事件B，则
3. 条件概率的性质：